Wäreαˆ=α=1, so würde diese untere Grenze bei 35 % liegen. Wäre dagegenϑˆ1,r=0,9·ϑ1, so ergäbe sich mitαˆ =1überα=1,1zunächst Var{"∞}r =1,22 und damit 56 % als untere Grenze vonqOK,99%! Bezüglich dieser Werte ist, wie bei der Beschreibung des Testfalls in Abschnitt 5.5.1 schon erwähnt, ein zu niedrig geschätztesθ1 und damit ein zu hohesαdeutlich kritischer.
Dieses Verhalten der festeingestellten Regler spiegelt sich auch in Abbildung 5.14b wider. Fürα =0,9 ist der MSE fürk=2relativ hoch, aber ab k=3ist kaum ein Unterschied zum Grenzwert des MSE für k→ ∞auszumachen. In der Hälfte der Simulationen ist mitk=2auch der OK-Bereich schon erreicht, so dass der hohe Wert des MSE beik=2die hohen – und damit schlechten – Werte der GrößenqOK,99%und pOK,>1% für∆kOK =0erklärt. Ab den nächsten Regelschritten ist der MSE beiα=0,9näherungsweise konstant, und so ändern sich auch qOK,99% und pOK,>1% nicht mehr, wenn man noch Nachführungen durchführt.
Für αˆ = 0,95 ergibt sich α = 0,86. Damit lässt sich in Abbildung 5.14b erkennen, dass hier auch bei k=3der MSE ein Stück von seinem Endwert entfernt ist. Entsprechend verbessern sich die Kenngrößen bei der ersten Nachführung (∆kOK=2) noch etwas, um dann konstant zu bleiben.
Bei∆kOK =1sind der Regler mit Filter sowie der erweiterte abweichungsabhängige Regler α∗a("˜k) un-gefähr gleich gut wie der Regler mit αˆ =1, verbessern sich aber bis ca. ∆kOK =8stetig und erreichen deutlich bessere Werte fürqOK,99%und pOK,>1%.
Der abweichungsabhängige Reglerαa("˜k)ohne die erweiterte Logik erreicht bei vielen Nachführungen letztlich auch die Werte des erweiterten Reglers α∗a("˜k), jedoch ist er bei ∆kOK =2 und 3 (fürqOK,99%) bzw. ∆kOK = 2, . . . , 7 (für pOK,>1%) zum Teil deutlich schlechter als der erweiterte Regler. Dies liegt an dem Kriechen, welches auch in Abbildung 5.29b deutlich zu sehen ist. In Abbildung 5.27a zeigt sich dieses Verhalten im nur langsamen Abbau des MSE bei1/κθ=0,91. Bei der erweiterten Variante existiert dies nicht, wie in Abbildung 5.28b zu sehen ist, was sich auch durch die Simulationsergebnisse bestätigt.
5.5.3 Fazit
Zunächst kann festgehalten werden, dass sich die Wahl des MSE als Gütekriterium bestätigt hat. Es hat sich darüber hinaus gezeigt, dass sich schon kleine Unterschiede beim MSE deutlich auf die Verteilung von{pOK}r auswirken können, wenn knappe Anforderungen an die Toleranz"OK gestellt sind.
Wenn sich die Anforderungen ohne Nachführungen, d. h. ∆kOK = 1, erfüllen lassen, dann bringt ein Regler mit Filter oder abweichungsabhängiger Verstärkung bezüglich der Anforderungen keinen Vorteil gegenüber einem Regler mit festem α, jedoch würde sich auch in diesem Fall die Varianz von {"k}r
über die weiteren Nachführungen verringern, was sich auch in kleineren Stellgrößenänderungen nieder-schlägt.
Können die Anforderungen nicht mit einem festeingestellten Regler erreicht werden, so ist ein Regler mit abweichungsabhängiger Reglerverstärkung oder ein Filter zu verwenden. Dabei sind dann aber auch immer zwingend Nachführungen nötig.
Ist abzusehen, dass die Maschine mit dem folgenden Regelschritt den OK-Bereich erreicht und lässt man diese daher durchlaufen, so hat das Beispiel gezeigt, dass dann (bei∆kOK=0) das Verbleiben im OK-Bereich deutlich schlechter ausgeprägt sein kann.
Überschwin-gen), und solchen, die den Verbleib im OK-Bereich, d. h. die OK-Quote bzw.OK-Quote der Fertigteile in der Produktionsphase beschreiben.
Es wurden kurz Standardverfahren aus der Literatur zur Regelung stochastischer Systeme vorgestellt, und dargelegt, weshalb diese nicht (direkt) verwendet wurden.
Für den Reglerentwurf wurde zunächst die Reglerverstärkung des aus Kapitel 3 bekannten I-Reglers betrachtet und ein Bereich für diese bestimmt, mit der die Regelziele bezüglich des Erreichens des OK-Bereichs erfüllt werden.
Danach wurde der MSE als Gütekriterium für den Reglerentwurf betrachtet. Dieses wurde bei der Un-tersuchung verschiedener Varianten des I-Reglers verwendet. Zuletzt wurde das Verhalten der verschie-denen Regler bezüglich des Verbleibs im OK-Bereich bewertet und damit auch die Wahl des MSE als Gütekriterium bestätigt.
Damit wurde dann eine Bewertung der verschiedenen Regler möglich und es konnten die Einflüsse verschiedener Faktoren auf das Erreichen der Regelziele dargelegt werden.
5.6 Zusammenfassung 89
6 Online-Identifikation und Adaption
6.1 Einführung
In den Kapiteln 3 und 5 wurde die Reglerauslegung bei (zumindest in Grenzen) bekannten Strecken-parametern behandelt. Dabei wurde insbesondere fürθ1 ein Wertebereich angenommen, in dem dieser Parameter liegt. Natürlich ist der damit entworfene Regler nicht optimal für alle zulässigen Werte für θ1. Insbesondere wenn für das vom Regler angenommene θˆ1,r < 0,5·θ1 gilt, ist der geschlossene Re-gelkreis fürαˆ =1 instabil. Da dies bei (zunächst noch) unbekannten Werkzeug- und Rohstoffvarianten durchaus auftreten kann, ist eine Adaption des Reglers nicht nur zur Verbesserung des Einregelverhaltens wünschenswert, sondern zur Sicherstellung der Stabilität zwingend notwendig. Auch verbessern sich die Kompensation der sekundären Eingangsgrößen und die Voreinstellung durch eine Adaption, wobei hier nochθSundθ0 berücksichtigt werden muss.
Der Regelkreis mit Adaption hat den in Abbildung 6.1 gezeigten Aufbau. Dabei ist der Regler unverändert aus Kapitel 5 übernommen. Die Reglerparameterθˆ1,r,θˆS,rundθˆ0,r sind jedoch nicht mehr fest, sondern werden von dem Block Adaption anhand der Messungen(u˜1,k, ˜uS,k, ˜yk)bzw.(u1,k,uS,k, ˜yk)während der Regelvorgänge bestimmt. Wie diese Online-Identifikation bzw. das Lernen durchgeführt wird, ist Thema dieses Kapitels.
Regler Strecke
Adaption uS,soll
uS,r
ysoll ˜e ˜y
−
˜
uS=uS u˜1=u1
u1,r θˆ1,r,θˆS,r,θˆ0,r
ny
Abbildung 6.1:Regelkreis mit Adaption Für die Identifikation kann unterschieden werden, ob die Parameter
• während eines Auftrags (Einricht- und Produktionsphase) oder
• über mehrere Aufträge bestimmt werden.
In der Einrichtphase kann i. d. R. davon ausgegangen werden, dass die Parameter, insbesondere auch θ0 konstant sind.1 Je nach Dauer des Auftrags könnte in der Produktionsphase schon eine Drift des Parametersθ0 auftreten. Ausreißer können natürlich auch während der Einrichtphase auftreten.
Über mehrere Aufträge können sich alle Parameter ändern. Insbesondere θ0 kann deutlich springen.
Dies muss entsprechend berücksichtigt werden. Für die weiteren Parameter wird maximal ein leichter Drift über mehrere Aufträge angenommen. Liegt ein System vor, bei dem auch hier Sprünge vorkommen können, so ist ein Lernen der Parameter über mehrere Aufträge schlicht nicht sinnvoll.
1 Für Fälle, in denen dennoch ein Sprung vonθ0auftritt, siehe Abschnitt 6.7.2.
Weiteres Vorgehen
Im Anschluss wird die Identifikationsaufgabe kurz beschrieben und die Benennung der Größen erläutert.
Im Abschnitt 6.2 wird eine Übersicht über die relevante Literatur gegeben.
Daraufhin wird in Abschnitt 6.3 die Identifikation mithilfe des Least-Squares-Verfahrens allgemein vor-gestellt und dessen Verwendung begründet.
In Abschnitt 6.4 wird dann die Schätzung während eines Auftrages behandelt, wobei die Thematik der Identifikation im geschlossenen Regelkreis zunächst zurückgestellt wird.
Es folgt die Schätzung über mehrere Aufträge in Abschnitt 6.5.
Die Folgen, die durch die Identifikation im geschlossenen Regelkreis auftreten, werden dann in Ab-schnitt 6.6 betrachtet.
Die praktischen Versuche haben gezeigt, dass Erweiterungen des Algorithmus notwendig bzw. wün-schenswert sind. Die aufgetretenen Probleme und deren Lösung werden in Abschnitt 6.7 behandelt.
Der ausgewählte Algorithmus wird in Abschnitt 6.8 zusammengefasst und in Abschnitt 6.9 in den Kontext der Adaptiven Regelungen eingeordnet. Vor der Zusammenfassung dieses Kapitels wird in Abschnitt 6.10 beispielhaft eine Messung an dem Beispielsystem Druckmaschine vorgestellt.
6.1.1 Identifikationsaufgabe
Ziel ist es, die Parameterθi der Funktion
yk=θ0+θ1·(u1,k−u1,N) +θTS·(uS,k−uS,N)
anhand der bei den Eingangsgrößen u1,k und uS,k gemessenen Ausgangswerten ˜yk zu bestimmen, um diese dann zur Regelung zu verwenden. Dabei sind die Messungen durch ein Rauschen gestört, d. h.
˜
yk= yk+ny,k.
Für die Diskussion wird im Folgenden meist davon ausgegangen, dass{ny,k}r∼N(0,σy2)und unkorreliert ist. Damit gilt für die Messwerte
{˜yk}r∼N(yk,σ2y).
Betrachtet man das Regelgesetz (3.14) und dabei insbesondere die Kompensation der sekundären Ein-gänge, so wird deutlich, dass entweder die auch oben auftretenden Parameterθ1, . . . ,θp benötigt wer-den, oder alternativθ1 undq2, . . . ,qp, wobeiqi für die Quotienten
qi= θi
θ1 , i=2, . . . ,p
steht. Für eine gute Kompensation der sekundären Eingänge sind die Verteilungseigenschaften der qi auch wesentlicher als die vonθi undθ1 alleine.
6.1.2 Benennung der Größen
Die gemessene Ausgangsgröße wird mit ˜y bezeichnet. Die Eingangsgrößenu1 unduS sind in Abbildung 6.1 ebenfalls mit Tilden gekennzeichnet (˜u1, u˜S). Es handelt sich dabei aber nicht um Messgrößen.
6.1 Einführung 91
Die Motivation dieser Kennzeichnung liegt darin, dass der Bediener der Maschine diese Werte manuell ändern können soll. Damit müssen auch diese Daten wieder an die Regelung übertragen werden, so dass diese aus dieser Sicht zu den „Messgrößen“ gezählt werden. Im Weiteren werden hier aber ausschließlich die Bezeichnungenu1 unduS verwendet.
Die Schätzwerte, die der Algorithmus während eines Auftrags aus den aktuellen Messdaten berechnet, werden mit einem Dach markiert, alsoθˆ0,θˆ1 undθˆS. Diese werden aber nicht unbedingt in dieser Form für die Regelung verwendet. Die Parameterwerte, die an den Regler übergeben werden, sind neben dem Dach noch mit dem Index „r“ gekennzeichnet, d. h.θˆ0,r,θˆ1,rundθˆS,r.
In Abschnitt 6.5 treten noch gemittelte Schätzwerte auf. Diese besitzen den Index „m“, also θˆ0,m, θˆ1,m undθˆS,m.
Die „Zeitvariable“ wird mit k und k0 bezeichnet, wobei letztere Bezeichnung für Summenbildungen verwendet wird. So werden zur Schätzung des Parameters θk nach dem k-ten Schritt die Eingangs-und Messwerte der Schritte k0 = 1, . . . ,k verwendet. Der Index k wird an den auftretenden Matrizen und Vektoren weggelassen, wenn Verwechselungen ausgeschlossen sind und es der besseren Lesbarkeit dient, z. B.Ψk=Ψ.
Bei der Betrachtung der Identifikation über mehrere Aufträge wird die „Zeitvariable“ mit l und l0 be-zeichnet.