5.4 Entwurf durch Minimierung des Mean-Squared-Errors
5.4.3 I-Regler mit konstanter Verstärkung k I – Bestimmung der optimalen Verstärkung . 64
Wie im letzten Abschnitt besprochen, ist es nicht sinnvoll, den Reglerparameter so zu optimieren, dass die Varianz des tatsächlichen oder des gemessenen Rauschens minimal wird.
Ein Maß, welches die mittlere Abweichung zu einem (beliebigen) Punkt bewertet, ist der Mean-Squared-Error, MSE. Für die Regelabweichungηsoll−ηk lautet dieser hier mit Gl. (5.26) und (5.27)
MSE{ηsoll−ηk}r= E{ηsoll−ηk}r
2
+Var{ηk}r
= (1−α)2k−2·(ηsoll−η1)2+α·1−(1−α)2k−4
2−α . (5.29)
Fürηsoll−η˜k ist der Wert immer um1höher,MSE{ηsoll−η˜k}r=MSE{ηsoll−ηk}r+1. Damit gilt arg min
0≤α<2MSE{ηsoll−η˜k}r=arg min
0≤α<2MSE{ηsoll−ηk}r
und
0≤α<2min MSE{ηsoll−η˜k}r= min
0≤α<2MSE{ηsoll−ηk}r+1 .
Daher reicht es aus, das Minimum vonMSE{ηsoll−ηk}r zu betrachten.
In Gl. (5.29) wird dazu nochηsoll−η1durch"1 ersetzt, womit man mit MSE{ηsoll−ηk}r= (1−α)2k−2·"21+α·1−(1−α)2k−4
2−α
eine Darstellung erhält, die nur noch von den bekannten Abkürzungen αund"1 sowie der Anzahl der Schrittekabhängt.
Das optimaleαhängt damit auch von"1 undkab und wird als αopt("1,k) =arg min
α∈[0, 2)MSE{ηsoll−ηk}r
bezeichnet.
0 2 4 6 8 10
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
"1 αopt
k=2 k=3 k=4 k=5
(a)Optimalesα
0 2 4 6 8 10
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
"1 MSE(αopt)
k=2 k=3 k=4 k=5
(b)Wert beiα=α˜opt
Abbildung 5.13:Optimalesαin Abhängigkeit von"1und verschiedenen Werten fürk
In Abbildung 5.13a sind die optimalen Werte für αund in Abbildung 5.13b die sich damit ergebenden optimalen Werte des MSE angegeben. Den Graphen sind zwei wesentliche Punkte zu entnehmen. Zum einen ist bei kleinen"1, also bei kleinen Anfangsabweichungen, die Wahl eines geringeren Wertes fürα sinnvoll, während bei größeren Abweichungen der optimale Wert fürα gegen eins geht. Zum anderen hängtαauch von der Wahl des „Zeitpunktes“kab, an dem das Optimum betrachtet wird. Je später dies der Fall ist, desto kleiner istαzu wählen. Dies liegt darin begründet, dass bei den späteren Regelschritten die Varianz aufgrund eines hohenαdominiert.
In Abbildung 5.14 ist der Verlauf des MSE über αfür verschiedene Zeitpunkte aufgetragen. Dabei sind auch die Werte vonαmarkiert, die für die dargestellten „Zeiten“k optimal sind.
In der oberen Abbildung 5.14a ist der Fall"1=2betrachtet. In diesem lässt sich gut erkennen, welchen schlechteren MSE man für die ersten Schritte in Kauf nehmen muss, wenn αbezüglich eines späteren Schrittesk>2als optimal ausgelegt wird.
5.4 Entwurf durch Minimierung des Mean-Squared-Errors 65
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 0
2 4 6 8
α MSE{ηsoll−ηk}r
k=2 k=3 k=4 k=5 k→ ∞
(a)"1=2
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8
0 2 4 6 8
α MSE{ηsoll−ηk}r
k=2 k=3 k=4 k=5 k→ ∞
(b)"1=20
Abbildung 5.14:MSE{ηsoll−ηk}rfür"1=2und 20 bei konstanter Reglerverstärkung
(Die senkrechten schwarzen Linien markieren die Werte fürα, bei denen fürk=2, . . . , 5 jeweils das Minimum vorliegt.)
In der unteren Abbildung 5.14b liegt mit"1=20 eine deutliche Anfangsabweichung vor. Daher steigen die Verläufe des MSE links und rechts vonα=1schnell sehr stark an.
Je weiter man sich links und rechts von α = 1 befindet, desto mehr dominiert eine Abweichung des Erwartungswertes den MSE. Bei kleinen α durch Kriechen, bei großen α durch schlecht gedämpftes Schwingen.
Die Graphen sind so skaliert, dass der MSE nur bis zu einem Wert von acht dargestellt wird. Bezogen auf eine Anforderung wie"OK=3oder"OK=5, also"2OK=9bzw."OK2 =25, erscheint ein MSE von acht nicht unbedingt viel. Dennoch wurde eingangs schon diskutiert, dass auch kleinere Varianzen in Hinblick auf ein möglichst geringespOK,maxals schlecht anzusehen sind.
Diese Art der Darstellung wird auch im Folgenden immer wieder verwendet, um zwei Punkte zu veran-schaulichen. Zum einen, wie schnell die Varianz mit steigender Anzahl an Regelschritten absinkt, und zum anderen, wie robust diese Wirkung gegenüber Unsicherheiten beiαist. Diese kann man bewerten, indem man vonα=1ausgehend den Verlauf der MSE-Kurven nach links und rechts betrachtet. Ein
mög-lichst flacher Verlauf (bei einem insgesamt akzeptabel kleinen MSE) ist dabei als robuster anzusehen als ein steiler Anstieg.
Fazit
Bei fester ReglerverstärkungkIbzw.αist es zur Minimierung des MSE über mehrere Schritte sinnvoll, die kleinste zulässige Regelabweichung zu nehmen. Legt man dabei die zulässigen Werte fürαzugrunde, die sich für die beispielhaften Anforderungen in Abschnitt 5.3 ergeben haben15, ist es aber nicht möglich, die Varianz auch nach mehreren Regelschritten effektiv zu reduzieren. So ist beiα=0,91nur ein minimaler MSE von 0,83, und beiα=0,83ein minimaler MSE von 0,71 zu erreichen.
5.4.4 I-Regler mit zeitvariabler VerstärkungkI,k
Lässt man eine zeitvariable VerstärkungkI,kzu, so stellt sich die Frage, welcher Verlauf optimal ist. Dabei wird hier weiter der MSE der Regelabweichung als zu optimierende Größe angesehen. In Anlehnung an [MEDITCH, 1968] wird so vorgegangen, dass der MSE in jedem Schritt optimiert werden soll.
Aus Gl. (4.16) folgt
E{"k}r= (1−αk−1)·E{"k−1}r
und
Var{"k}r= (1−αk−1)2·Var{"k−1}r+α2k−1, (5.30)
woraus sich direkt
MSE{"k}r= (1−αk−1)2·(E{"k−1}r)2+ (1−αk−1)2·Var{"k−1}r+α2k−1 ergibt. Ableiten des MSE nachαk−1 und Nullsetzen ergibt
2αk−1·(E{"k−1}r)2+2αk−1Var{"k−1}r+2αk−1−2·(E{"k−1}r)2−2·Var{"k−1}r=0 als notwendige Bedingung für ein Extremum. Diese Gleichung hat fürαk−1 die einzige Lösung
αk−1= (E{"k−1}r)2+Var{"k−1}r
1+ (E{"k−1}r)2+Var{"k−1}r
, (5.31)
wobei es sich um das Minimum handeln muss, da der MSE fürα→ ±∞unbeschränkt ist.
Geht man für die Rechnung von einem bekannten"1aus, so ergibt sich für dasα1 des ersten Schritts mit E{"1}r="1 undVar{"1}r=0der Wert
α1= "21
1+"21 . (5.32)
Der Verlauf von α1 über"1 ist identisch mit dem des optimalen αfür k =2 in Abbildung 5.13a. Es ist dort zu erkennen, dass dieser Wert schnell gegen eins geht. Für"1 =3beträgtα1 beispielsweise schon 0,9 und für"1=5liegt das Optimum bei 0,96. Daher wirdα1=1gesetzt.
15 Das minimaleαliegt dabei – je nach Forderung – bei 0,91 oder 0,83.
5.4 Entwurf durch Minimierung des Mean-Squared-Errors 67
Mit der Wahl α1 = 1 folgt aus Gl. (4.16), dass E{"k}r = 0 für alle k ≥ 2 gilt. Somit ergibt sich nach Gl. (5.31)
αk−1= Var{"k−1}r
Var{"k−1}r+1
als optimaler Wert der Reglerverstärkung. Setzt man diesesαk−1wieder in Gl. (5.30) ein, so erhält man Var{"k}r= Var{"k−1}r
Var{"k−1}r+1
als rekursive Gleichung der optimalen (minimalen) Varianz im k-ten Schritt. Dabei bestimmt sich die optimale Reglerverstärkung nach der gleich aufgebauten Gleichung
αk= αk−1
αk−1+1 ,
bzw. fürα1=1auch direkt mit αk=1
k .
In Tabelle 5.3 sind die Werte fürVar{"k}rundαk in Abhängigkeit vonkdargestellt.
Tabelle 5.3:Optimalesαkmit minimalenVar{"k}r(für hohe Anfangsabweichungen"1→ ∞)
k 1 2 3 4 5 6
αk 1 0,5 0,33 0,25 0,2 0,17
Var{"k}r — 1 0,5 0,33 0,25 0,2
Es wurde der Anfangswertα1=1gesetzt, obwohl dies nur für große"1 dem optimalen Wert entspricht.
Daher wird hier noch der Fehler bzw. die Verschlechterung des MSE betrachtet, der dadurch in Kauf genommen wird. Dazu wird die Größe
∆MSErel,k= MSE{"k}r|α1=1−MSE{"k}r|optα1
MSE{"k}r|optα1
verwendet, wobeiMSE{"k}r|optα1 für den MSE steht, der sich mit dem optimalen Startwert fürα1 nach Gl. (5.32) ergibt.∆MSErel,k gibt also an, um wie viel der MSE imk-ten Schritt bei der Wahl vonα1=1 gegenüber dem optimalen Startwert schlechter ist, wobei dies auf den Optimalwert desk-ten Schrittes bezogen ist. In Tabelle 5.4 ist für verschiedene, kleinere Anfangswerte"1 diese Größe angegeben.
Tabelle 5.4:∆MSErel,k
k 2 3 4 5 6
"1=2 25,0 % 12,5 % 8,3 % 6,3 % 5 %
"1=3 11,1 % 5,6 % 3,7 % 2,8 % 2,2 %
"1=5 4,0 % 2,0 % 1,3 % 1,0 % 0,8 %
Es zeigt sich, dass der Abstand zum optimalen MSE umso größer ist, je geringer"1 ist. Allerdings baut sich dieser Abstand mit steigender Schrittzahl auch schnell ab.
Robustheit
Während bei dem bisher vorgestellten Regler mittels αnur der Streckenparameter ϑ1 im Entwurf ver-wendet wurde, wird in der allgemeinen Form des optimalen, zeitvarianten Reglers auch die bezogene Regelabweichung"1 bzw. damit die Varianzσ2y benötigt.
Da hier jedoch nur die suboptimale Lösung weiter betrachtet wird, indem unabhängig von "1 der An-fangswertα1=1verwendet wird, ergeben sich die Werteαk unabhängig von der Varianzσ2y und damit auch unabhängig von einem möglichen Fehler bei dem angenommen Wert für diese Varianz.16
Somit bleibt ein Fehler im angenommenen Streckenparameterϑˆ1,r, ϑˆ1,r=ϑ1·κθ
zu beachten. Dazu muss im Weiteren zwischen der Reglerverstärkung αˆk, die der Regler vorzugeben
„meint“, und der Reglerverstärkungαk, die tatsächlich wirkt, unterschieden werden.
Der Regler wird nach dem in diesem Abschnitt beschriebenen Vorgehen ausgelegt, so dass αˆk=1
k
gilt. Damit wirkt im Regelkreis tatsächlich eine Reglerverstärkung von αk= ˆαk· 1
κθ = 1
k·κθ .
Es interessiert, wie die Verteilungseigenschaften der tatsächlichen Regelabweichung{"k}r in Abhängig-keit des Fehlers κθ aussehen. Dazu werden Erwartungswert und Varianz von {"k}r für verschiedene Verläufe vonαk, die sich durch verschiedene Werte fürκθausαˆkergeben, über
E{"k}r= (1−αk−1)·E{"k−1}r und Var{"k}r= (1−αk−1)2·Var{"k−1}r+α2k−1 mit den Startwerten
E{"2}r= (1−α1)·"˜1 und Var{"2}r=1
bestimmt. Daraus kann für jedesκθderMSE{"k}r bestimmt werden. In Abbildung 5.15 ist der MSE für
"1=20und verschiedene Schrittekgrafisch dargestellt.
Es ist gerade der Kehrwert gewählt, da damit die Verläufe mit denen aus Abbildung 5.14 und 5.20 vergleichbar sind, die überαaufgetragen sind.
Es zeigt sich im Vergleich zu Abbildung 5.14b über alle dargestellten Schritte k ≥3 ein engerer „Kes-sel“ umκθ=1, was auf eine etwas geringere Robustheit gegenüber Parameterunsicherheiten hinweist.
Allerdings zeigt sich, dass der MSE auch bei κθ =1unter den Wert von eins abfällt, im Gegensatz zur Regelung mit konstantemα, worin der große Vorteil dieses Ansatzes liegt.
Fazit
Mit diesem Ansatz ergibt sich zwar das insgesamt, d. h. über viele Einrichtvorgänge, optimale Regelver-halten im Sinne des MSE, jedoch treten bei der praktischen Anwendung Probleme auf.
16 Wenn die optimale Lösung bezüglich einer gegebenen Regelabweichunge1 bestimmt werden soll, dann entspricht ein Fehler inσˆyeinem Fehler in"1, womitαkbezüglich eines falschen Startwertes bestimmt wird.
5.4 Entwurf durch Minimierung des Mean-Squared-Errors 69
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 0
2 4 6 8
1/κθ MSE{ηsoll−ηk}r
k=2 k=3 k=4 k=5 k=6
Abbildung 5.15:MSE{ηsoll−ηk}rfür"1=20bei zeitabhängigenαˆk
Zum einen sinkt die Reglerverstärkung mit steigender Schrittzahlk schnell auf sehr kleine Werte ab, so dass die nicht auszuschließenden sprungartigen Störungen nur noch sehr langsam ausgeregelt werden können.
Zum anderen werden auch bei dem optimalen Verlauf des MSE große Abweichungen auftreten, wenn auch mit geringer Wahrscheinlichkeit. Diese werden aufgrund der schon erwähnten starken Verkleine-rung der Reglerverstärkung nur noch sehr schlecht ausgeregelt, was praktisch nicht zu tolerieren ist.
Dies widerspricht aber nicht den Ergebnissen, dass der genannte Verlauf vonαk optimal im Sinne des MSE ist. Der MSE bewertet eine Schar verschiedener Einrichtvorgänge, nicht aber die verschiedenen Regelschritte eines einzelnen Einrichtvorgangs.
Möglichkeiten, damit umzugehen, werden am Ende des nächsten Abschnitts besprochen, da bei den Filtern ähnliche Probleme auftreten.