Verbleiben im OK-Bereich

Der Ausgangswert, der gemessen wird, wenn Regler-OK erreicht ist, wird mit η˜_kOK bezeichnet. Dieser Wert entspricht aber nicht dem (mittleren) Wert η_kOK, den das reale System ohne Mess- und Prozess-rauschen bei der Eingangsgrößeu_1,kOK annehmen würde. In Abbildung 5.3 ist beispielhaft gezeigt, dass auch bei einem relativ guten η˜_kOK die tatsächliche mittlere Ausgangsgrößeη_kOK weit außerhalb des To-leranzbandes liegen kann. Würde man bei diesem Beispiel weitere Fertigteile vermessen, so würde sich zeigen, dass der Großteil der folgenden Teile nicht OK bzw.OKist.

η_kOK η_soll,min η˜_kOK η_soll η_soll,max

η_soll,min=η_soll−ǫ_OK η_soll,max=η_soll+ǫ_OK

η f_{η˜}r(η)

Abbildung 5.3:Zur Erläuterung vonη˜_kOK undη_kOK

In der Simulation istη_kOK bekannt und so lässt sich bei bekannter Verteilung des Rauschens die Wahr-scheinlichkeitp_OKbestimmen, mit der ein weiteres vermessenes FertigteilOKist,

p_OK=1−P(η_soll−"_OK≤ {η˜_k|η_kOK}^ω_r ≤η_soll+"_OK).

Diese Wahrscheinlichkeit entspricht den in Abbildung 5.4 markierten Flächen.

Unter Annahme einer Standardnormalverteilung N(0, 1)für das Rauschen ergibt sich (siehe auch An-hang A.1)

p_OK= Φ(η_soll−"_OK;η_kOK, 1) + (1−Φ(η_soll+"_OK;η_kOK, 1)) bzw. mit den Regelabweichungen²ausgedrückt

p_OK= Φ(−"_OK;"_kOK, 1) + (1−Φ("_OK;"_kOK, 1)).

2 Es ist zu unterscheiden zwischen"_OK, der maximal zulässigen Regelabweichung, und"_kOK, der Regelabweichung bei k=k_OK.

5.1 Regelziele 45

η_soll,min=η_soll−ǫ_OK η_soll,max=η_soll+ǫ_OK

η_soll,min η_kOK η_soll η_soll,max η

f_{η}˜r(η)

Abbildung 5.4:Zur Erläuterung vonp_OK

Der Wertη_kOK ist nicht deterministisch, sondern stellt eine Realisierung der Zufallsvariablen{η_kOK}rdar.

Entsprechend ist auchp_OK nur die Realisierung der Zufallsvariablen{p_OK}r.

Für einen gegebenen Testfall und Regler kann die sich ergebende Verteilung für {p_OK}r simulativ be-stimmt werden. (Durch die Abbruchbedingung „OK?“ ist der Prozess unabhängig von seinen sonstigen Eigenschaften nicht-linear.) Diese Verteilung kann grafisch dargestellt werden, wie beispielsweise in Ab-bildung 5.5.

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 0

0,2 0,4 0,6 0,8 1

p_OK F{pOK}r(pOK)

Abbildung 5.5:Beispiel für eine (simulativ bestimmte) Verteilungsfunktion von{p_OK}r

In dieser Abbildung ist mit den gestrichelten Linien beispielhaft fürp_OK=10 %der WertF_{p

OK}r(10 %)≈ 0,93 abgelesen. Dies bedeutet, dass in 93 % der simulierten Einrichtvorgänge nach Erreichen von OK maximal 10 % der Fertigteile der Produktionsphase nicht OK sind. Oder andersherum, dass in 7 % der Simulationen nach Erreichen von OK mehr als 10 % der Fertigteile nicht OK sind. Letztere Aussage wird hier durch die Größep_OK,>10%=7 %ausgedrückt. Allgemein wird hier die Größe

p_OK,>x%=P({p_OK}^ω_r >x%) =1−P({p_OK}^ω_r ≤x%) =1−F_{p

OK}r(x%) (5.6)

zur Bewertung der Verteilung{p_OK}r verwendet.

Aus Abbildung 5.5 kann daneben an der gepunkteten Linie auch abgelesen werden, dass in 80 % der Fälle p_OK einen Wert zwischen Null und ca. 4 % annimmt. Diese Größe stellt das 80 %-Quantil dar und wird hier mitq_OK,80%bezeichnet. Allgemein ist das Quantilq_OK,x%über

P({p_OK}^ωr ≤q_OK,x%) =F_{p

OK}r(q_OK,x%) =x% (5.7)

definiert [S^TORM, 2001, S. 46].

Diese beiden Größen p_OK,>x% und q_OK,x% sind geeignet, die Verteilungsfunktion zu bewerten bzw. um Anforderungen an die Verteilung von{p_OK}r zu formulieren. So bedeutet

p_OK,>1%≤^! 0,02 ,

dass gefordert wird, dass lediglich nach maximal 2 % der Einrichtvorgänge mehr als 1 %OK-Teile in der Produktionsphase gefertigt werden dürfen. Die Forderung

q_OK,99%<^! 0,01

drückt aus, dass nach (mindestens) 99 % der Einrichtvorgänge dieOK-Quote der Fertigteile maximal 1 % betragen darf.

Die „Maximalforderung“ nach keinenOK-Teilen kann durchp_OK,>0%=^!0bzw.q_OK,100%=^!0ausgedrückt werden.

Festlegung vonk_OK

Der „Zeitpunkt“k_OKbezeichnet jenen Anlauf, der ohne weiteren Stopp in die Produktionsphase übergeht.

Standardmäßig wird hierbei der Fall betrachtet, dass der Einregelvorgang wie in Abbildung 2.4 gezeigt abläuft.

Wird demnach ein vermessenes Fertigteil als OK bewertet, so muss ein weiterer Anlauf durchgeführt werden, da die Maschine zwischenzeitlich angehalten wurde. Bei diesem Anlauf wird auch wieder eine Korrektur der Stellgröße durch den Regler vorgenommen. Dieser (weitere) Anlauf wird hier standard-mäßig alsk_OK angesehen.

Allgemeiner könnte aber auch die Fertigung (grundsätzlich, oder zumindest beim letzten Schritt) nicht mehr angehalten werden. Oder es könnten noch bei laufender Maschine Nachführungen der Stellgröße vorgenommen werden.

Bezeichnet man den Schritt, bei dem ein Fertigteil erstmals als OK vermessen wurde, mit k^∗_OK, so kann allgemeiner

k_OK=k^∗_OK+ ∆k_OK (5.8)

betrachtet werden.∆k_OK ist dabei in der Regel eins, wenn nicht explizit anders bestimmt.

Systematische Grenzen der Regelgüte

Minimal erreichbaresp_OK

Der Wert fürp_OKist minimal, wennη_kOK=η_Sollbzw."_kOK =0ist. Dieser Wert hängt von der OK-Toleranz und dem Rauschen ab. In Abbildung 5.6 ist das minimal erreichbare p_OK über der zulässigen Toleranz

"_OK aufgetragen. Bei einer Toleranzgrenze von"_OK=2wäre ein minimales p_OK von 4,5 % zu erreichen, bei"_OK=3wärep_OK bestenfalls 0,25 %.

Minimal erreichbaresp_OKunter Rauschen

Das gerade bestimmte p_OK,min gibt die absolute untere Grenze an. Durch das Prozessrauschen, das sich durch die Regelung auch auf"_k überträgt, wird"_kOK aber niemals (sicher) Null sein, so dass dieser Wert nie erreicht werden wird. In diesem Abschnitt werden daher Grenzen angegeben, für die das Rauschen berücksichtigt wird.

Dazu wird zunächst die Frage betrachtet, welche Abweichung |"_k|max maximal zulässig ist, um eine bestimmte Ausschussquotep_OK,maxbei gegebenen"_OK nicht zu übertreffen. D. h. es wird

P(|{"˜_k}^ω_r |> "_OK)≤^! p_OK,max

5.1 Regelziele 47

2 3 4 5 0 %

1 % 2 % 3 % 4 % 5 %

ǫ_OK pOK,min

Abbildung 5.6:Minimal erreichbares p_OK

betrachtet. Es gilt hierbei{"˜_k}^ω_r ={|"_k|max−n_k}^ω_r , und damit istE{"˜_k}r=|"_k|max undVar{"˜_k}r=1. Geht man von einer Normalverteilung aus, so führt dies auf

1− Φ("_OK; |"_k|max, 1)−Φ(−"_OK; |"_k|max, 1)

| {z }

P(|{˜"_k}^ω_r|≤"OK)

≤! p_OK,max, (5.9)

was numerisch nach|"_k|maxaufgelöst werden kann.

In Abbildung 5.7 sind die sich ergebenden Kurven für verschiedene Werte von p_OK,max dargestellt. Aus diesen lässt sich beispielsweise ablesen, dass bei einer „Schwankungsbreite“ von|"_k|max =2und einem p_OK,max=2,5 %die Grenze"_OKmindestens 4 betragen muss. Beip_OK,max=0,1 %liegt diese Grenze schon bei 5.

2 3 4 5 6 7

0 1 2 3 4 5

"_OK

|"k|max

p_OK,max=35 % p_OK,max=2,5 % p_OK,max=1,0 % p_OK,max=0,1 %

Abbildung 5.7:Maximal zulässige Abweichung|"_k|max

Geht man von einer mittelwertfreien Normalverteilung von {"_kOK}r aus, so kann leicht das Intervall [−|"|max,x%, |"|max,x%] bestimmt werden, innerhalb dem x% aller Werte "_kOK liegen.³ Mit dem Wert

|"|max,x%kann dann aus Abbildung 5.7 bei gegebenem"_OK der Wert des Quantilsq_OK,x%abgelesen wer-den. Da{"_kOK}rim Allgemeinen nicht mittelwertfrei ist, stellt dieser Wert eine untere Grenze für den sich tatsächlich einstellenden Wert dar.

3 |"|max,x%kann durch numerisches Lösen der Gleichung−1+2·Φ(|"|max,x%; 0, Var{"_kOK}r)−x%=0bestimmt werden,

Gl. (A.2).

Als Beispiel wird von"_OK=3undVar{"_kOK}r=1ausgegangen. Es liegen 99 % der Werte in dem Intervall [−2,58, 2,58]. In Abbildung 5.7 wird |"_k|max = 2,6 bei "_OK = 3 von der Kurve für p_OK,max = 35 % geschnitten. Das bedeutet, dass in 99 % der Einrichtvorgänge ein Wert fürp_OKvon maximal 35 % erreicht wird, bzw. dass in 1 % der Fälle der Wert für p_OK größer als 35 % ist:q_OK,99%≈35 %.

Für das 95 %-, 99 %- und 99,9 %-Quantil sind die erreichbaren Werte über "_OK in Abbildung 5.8a aufgetragen.⁴ Hieraus kann beispielsweise abgelesen werden, dass die Forderung q_OK,99% ≤^! 2 % bei Var{"_kOK}r=1nur erfüllt werden kann, wenn"_OK>4,6ist.

3 4 5 6 7

0 % 1 % 2 % 3 % 4 % 5 %

"_OK qOK,x%

q_OK,95%

q_OK,99%

q_OK,99,9%

(a)Minimal erreichbare Werte für q_OK,x% bei Var{"_kOK}r=1

2 3 4 5 6 7

0 % 1 % 2 % 3 % 4 % 5 %

"_OK qOK,99%

Var{"_kOK}r=1 Var{"_kOK}r=0,75² Var{"_kOK}r=0,5² Var{"_kOK}r=0,25²

(b)Minimal erreichbare Werte fürq_OK,99%

Abbildung 5.8:Zur Erreichbarkeit vonp_OK

Zuletzt ist in Abbildung 5.8b die Abhängigkeit der erreichbaren Werte für q_OK,99% von der Varianz Var{"_kOK}r dargestellt.⁵ Hieraus kann z. B. gefolgert werden, dass bei der Forderungq_OK,99%≤^!2 %und

"_OK=4die Varianz von{"_kOK}r maximal0,75²betragen darf.

Größen zur Bewertung des Reglers

Die Größen zur Bewertung des Reglers sind in Tabelle 5.1 zusammengefasst. Neben p_OK,>x%undq_OK,x% sind dort noch der Mittelwert ¯n_RS und das Quantil q_RS,x% angegeben, welche sich auf die Anzahl der Regelschritte bis Regler-OK beziehen.

Im Dokument Eine Methodik zur stochastischen adaptiven Qualitätsregelung (Seite 65-69)