Diskussion des Ausgangpunktes für die Analyse

Ausgangspunkt für die Untersuchung des geregelten Prozesses ist meist eine der in Abschnitt 4.4 auf-geführten Gleichungen für "_k oder "˜_k für den Zeitpunkt k =2. Damit muss"₁ oder"˜₁ als Anfangswert vorgegeben werden und es stellt sich die Frage, welcher der beiden Werte gewählt werden soll.

Aus Sicht der Anwendung wäre es vorteilhaft, mit "˜₁ anstelle von "₁ arbeiten zu können, da letztere Größe nicht gemessen werden kann. Mit der Normierung von Gl. (4.3) und (4.4) gilt

"₁=−d (4.19)

bzw.

"˜₁="₁−n₁=−d−n₁. (4.20)

Die Größen"₁ und"˜₁sind beide Zufallsvariablen, dadundn₁ Zufallsvariablen sind.

Das Ersetzen von "₁ durch−d ist nicht sinnvoll, da über die Verteilung von d keine sicheren Aussagen gemacht werden können. Daher muss bei dieser Variante"₁ als bekannt vorausgesetzt werden und die Ergebnisse werden immer von"₁ abhängen. Da d in den betrachteten Gleichungen nicht auftritt, muss nicht berücksichtigt werden, dass{d}r{d|"₁}rist. Und da das Rauschenn₁unabhängig von"₁ ist, gilt {n₁}r∼ {n₁|"₁}r. Es ist damit unproblematisch,"₁ als Startwert vorzugeben.

Nachteilig ist aber, dass"₁ nicht gemessen wird, so dass man nur qualitative Aussagen darüber erhalten kann, wie sich das System bei niedrigen oder hohen Anfangsabweichungen verhält. Es ist nicht möglich, die Analysen zunächst für ein"₁durchzuführen, und diese Ergebnisse mit der ArgumentationE{"˜₁}r="₁ auf die gemessene Größe"˜₁ zu übertragen, da das Rauschen n₁ sowohl in"˜₁="₁−n₁ als auch in den der Analyse zugrundeliegenden Gleichungen vorkommt und so eine Korrelation besteht.

Wählt man dagegen die Variante mit"˜₁ als Startwert, dann hätte dies den Vorteil, dass man in Abhängig-keit der gerade gemessenen Regelabweichung die optimale Strategie bestimmen und anwenden könnte.

Wählt man für jedes"˜₁ die optimale Strategie, so hat man auch insgesamt die beste Strategie.

Allerdings müsste bei gegebenen"˜₁beachtet werden, dass"˜₁vonn₁abhängt, und damit im Allgemeinen {n₁}r {n₁|"˜₁}r gilt. Diese bedingte Verteilung hängt wiederum von d ab, was im Folgenden gezeigt wird. Da überd keine sicheren Aussagen getroffen werden können, kann im Allgemeinen{n₁|"˜₁}r nicht bestimmt werden.

Ausgangspunkt für die Analyse wird daher immer eine gegebene (ungestörte) Anfangsabweichung "₁ sein.

4.5 Diskussion des Ausgangpunktes für die Analyse 37

4.5.1 Bedingte Verteilung

Im Folgenden wird zunächst für den Fall, dass{d}r gleichverteilt ist, die Dichte der bedingten Verteilung {n₁|"˜₁}r für zwei Werte von"˜₁ beispielhaft dargestellt. Die zur Bestimmung dieser Verläufe vollzogenen Rechnungen finden sich im Anhang A.2. Im Anschluss wird der Fall betrachtet, dass{d}r normalverteilt ist. Dies hat den Vorteil, dass die Rechnungen einfacher sind, allerdings sind bei der ersten Variante die zu besprechenden Effekte in den Graphen deutlicher zu sehen.

{"₁}rgleichverteilt

Das Rauschen {n₁}r wird als standardnormalverteilt angenommen. Für die Störung {d}r werden für dieses Beispiel zwei verschiedene Gleichverteilungen angenommen, die jeweils den Mittelwert von 2,5 besitzen und sich in der Breite der Streuung unterscheiden. Diese werden als „hohe Streuung“ bzw.

„geringe Streuung“ bezeichnet:

„Hohe Streuung“: {−d}r={"₁}r∼G(2,5, 5)

„Geringe Streuung“: {−d}r={"₁}r∼G(2,5, 0,1).

In Abbildung 4.2 sind für beide Fälle die Verteilungsdichten von {n₁}r und {"₁}r, sowie die Dichte der Verteilung{"˜₁}r={"₁−n₁}r geplottet.

−5 0 5 10

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

n₁,"₁,"˜₁ f{n1}r,f{"1}r,f{˜"1}r

f_{n1}r f_{"1}r f_{"˜1}r

(a)Hohe Streuung von{"₁}r

−5 0 5 10

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

n₁,"₁,"˜₁ f{n1}r,f{"1}r,f{˜"1}r

f_{n1}r f_{"1}r f_{"˜1}r

(b)Geringe Streuung von{"₁}r

Abbildung 4.2:Verteilungsdichten für{n₁}r,{"₁}rund{"˜₁}r

(Die beiden senkrechten grauen Linien markieren die Punkte"˜₁=2,5und"˜₁=6,5.) Im Falle der hohen Streuung von{"₁}r ändert sich der Verlauf der Dichte von{"˜₁}r deutlich, wohingegen bei der geringen Streuung von{"₁}r der Dichteverlauf von{"˜₁}rdem von{n₁}rbis auf eine Verschiebung sehr ähnlich sieht.

In Abbildung 4.3 sind die mit"˜₁ =2,5 und"˜₁ =6,5 bedingten Verteilungen{n₁|"˜₁}r im Vergleich zur unbedingten Verteilung{n₁}rgezeigt.⁸

Bei der hohen Streuung und dem Wert von "˜₁ =2,5, der genau dem Mittelwert von {"₁}r entspricht, unterscheiden sich die unbedingte und bedingte Verteilung nicht sichtbar. Geht man aber von"˜₁ =6,5 aus, so zeigt sich, dass der Verlauf der bedingten Verteilung quasi „abgeschnitten“ ist, und sich somit von der unbedingten Verteilung unterscheidet.

8 Für die Berechnung siehe Anhang A.2.

Bei der geringen Streuung von{"₁}r zeigt sich, dass die bedingte Verteilung{n₁|"˜₁}r für beide Werte für

˜

"₁ ebenfalls kaum streut, wobei der Mittelwert von"˜₁abhängt. Damit unterscheidet sich der Verlauf der bedingten Verteilung deutlich von der unbedingten Verteilung{n₁}r.

−5 0 5 10

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

n₁ f{n1}r,f{n1|˜"1}r

f_{n1}r f_{{n1|˜"1=2,5}r} f_{{n1|"˜1=6,5}r}

(a)Hohe Streuung von{"₁}r

−5 0 5 10

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

n₁ f{n1}r,f{n1|˜"¹}r

f_{n1}r f_{{n1|"˜1=2,5}r} f_{{n1|"˜1=6,5}r}

(b)Geringe Streuung von{"₁}r

Abbildung 4.3:Vergleich der unbedingten Verteilung{n₁}r mit bedingten Verteilungen{n₁|"˜₁}r

{"₁}rnormalverteilt

Die folgenden Rechnungen nutzen Gleichungen aus [R^INNE, 2008, S. 309]. Ein alternativer Rechenweg ist in [K^AMENund S^U, 1999, S. 41] angegeben.

Wenn{"₁}r∼N(µ_d,σ_d)und{n₁}r∼N(0,σ²_n1)gilt⁹, dann ist auch{"˜₁}r normalverteilt mit {"˜₁}r∼N(µ_d,σ_n²₁+σ_d²).

Um die Eigenschaften der bedingten Verteilung {n₁|"˜₁}r angeben zu können, muss noch der Korrelati-onskoeffizient%zwischen{n₁}r und{"˜₁}r bekannt sein. Dieser ergibt sich mit den Zwischenschritten

Cor({n₁}r,{"˜₁}r) =E{n₁·"˜₁}r=E{"₁n₁−n²₁}r=E{"₁}r·E{n₁}r−E{n²₁}r=−E{n²₁}r=−σ_n²

1

undCov({n₁}r,{"˜₁}r) =Cor({n₁}r,{"˜₁}r)−µ_n1µ_d=−σ_n²₁zu

%=Cov({n₁}r,{"˜₁}r)

σ_n1σ_d = −σ²_n1

σ_n1·Æ σ_n²

1+σ_d² .

Die bedingte Dichte zweier korrelierter Normalverteilungen ist wieder die einer Normalverteilung, {n₁|"˜₁}r∼N(µ_n1|"˜1,σ_n²

1|˜"₁). Mit den vorliegenden Größen gilt µ_n1|"˜1=%σ_n1

σ_d ·("˜₁−µ_d) =− σ_n²

1

σ²_n1+σ²_d ·("˜₁−µ_d) und

σ²_n

1|"˜₁=σ²_n

1·(1−%²) = σ²_n1σ²_d

σ²_n1+σ²_d . (4.21)

9 Auch wennσ²_n

1=1definiert ist, bietet es sich an, mitσ²_n

1als Variable zu arbeiten, um das Ergebnis besser interpretieren zu können.

4.5 Diskussion des Ausgangpunktes für die Analyse 39

Diskussion

Nach Gl. (4.21) wird die Varianz der bedingten Verteilung{n₁|"˜₁}rvon der geringeren der Varianzenσ_n² undσ²_d dominiert. 1

Ist die Varianz der Störung{d}rdeutlich kleiner als die des Rauschens{n₁}r,σ²_dσ²_n1, so ergibt sich für den Mittelwertµ_n1|"˜1≈ −("˜₁−µ_d)und für die Varianzσ²_n

1|˜"₁≈σ_d². Insbesondere ist fürσ²_d=0, also ein konstantesd, die bedingte Varianzσ²_n

1|"˜₁=0.

Im gegenteiligen Fall, also wenn die Varianz der Störung {d}r deutlich größer als die des Rauschens ist, σ²_d σ_n²₁, so gilt µ_n1|"˜1 ≈ 0 und σ_n²

1|˜"₁ ≈ σ²_n1. D. h. man nähert sich der unbedingten Verteilung {n₁}r∼N(0,σ²_n

1)an.

Damit erhält man qualitativ dieselben Aussagen, die auch aus dem Beispiel mit dem gleichverteilten {"₁}rgewonnen werden konnten, nämlich:

• Für große (gleichmäßige) Streuungen von{d}r={"₁}rnähert sich die bedingte{n₁|"˜₁}rder unbe-dingten Verteilung{n₁}r an.

• Für geringe Streuungen von{d}r ist auch die Streuung von{n₁|"˜₁}rgering. Falls dkonstant ist, ist {n₁|"˜₁}r für jedes"˜₁ ebenfalls eine Konstante.

• Die bedingte Verteilung hängt vom Wert"˜₁ ab.

Die allgemeine Problematik ist die, dass über die Verteilung von{d}r kaum Aussagen getroffen werden können.

4.5.2 Beispiel Bias

Als Beispiel für die Notwendigkeit der Beachtung der bedingten Verteilung wird hier der Bias der Schät-zung des Parameters θ₁ bei k = 2 Messwerten behandelt. Die Parameterschätzung wird im Kapitel 6 diskutiert, aber dieses Beispiel ist direkt verständlich und bietet sich sehr gut an, den genannten Punkt darzustellen.

Der Schätzwert der Steigungθ₁bezüglichu₁ beik=2ergibt sich einfach über θˆ_1,2= ˜y₂−˜y₁

u_1,2−u_1,1 . bzw.

ϑˆ_1,2= η˜₂−η˜₁ u_1,2−u_1,1

in der normierten Form. Ersetzt man in der normierten Darstellung η˜₁ und η˜₂ entsprechend durch Gl. (4.8), so erhält man

ϑˆ_1,2= ϑ₁·(u_1,2−u_1,1)

u_1,2−u_1,1 + n₂−n₁

u_1,2−u_1,1 =ϑ₁+ n₂−n₁ u_1,2−u_1,1 .

Der erste Summand entspricht dem wahren Wert des Parameters ϑ₁. Die Änderung der Stellgröße ist über u_1,2−u_1,1 = k_I·(y_soll− ˜y₁) = κ_I·(η_soll−η˜₁) gegeben, wobei κ_I = k_I·σ_y ist. Damit gilt auch u_1,2−u_1,1=κ_I·(η_soll−η₁−n₁)undϑˆ_1,2kann durch

ϑˆ_1,2=ϑ₁+ n₂

κ_I·(η_soll−η₁−n₁)− n₁

κ_I·(η_soll−η₁−n₁) (4.22)

ausgedrückt werden.

Der Fehler des Schätzwertes ist als

∆ ˆϑ_1,2= ˆϑ_1,2−ϑ₁

definiert. Damit ergibt sich für den Bias als Erwartungswert des Fehlers E{∆ ˆϑ_1,2}r=E{n₂}r·E

1

κ_I·(η_soll−η₁−n₁)

r−E

n₁

κ_I·(η_soll−η₁−n₁)

r

,

wobei die Linearität der Erwartungswertbildung berücksichtigt wurde und auch schon davon Gebrauch gemacht wurde, dass E{x· y}r =E{x}r·E{y}r gilt, wenn {x}r und {y}r unkorreliert sind. Da darüber hinausE{n_k}r=0ist, ergibt sich

E{∆ ˆϑ_1,2}r=−E

n₁

κ_I·(η_soll−η₁−n₁)

r=−1 κ_I·E

n₁

"₁−n₁

r

.

Dieser Erwartungswert existiert nicht, da das Integral der dazugehörigen Dichtefunktion nicht konver-giert, was anschaulich darin begründet ist, dass im Nenner"₁−n₁ auch den Wert Null annehmen kann [MARSAGLIA, 2006]. In der genannten Quelle ist aber auch beschrieben, dass, wenn der Mittelwert von {n₁}rweit genug von"₁entfernt ist, aus praktischer Sicht dennoch sinnvoll ein Erwartungswert angege-ben werden kann. Dabei wird die Verteilung{n₁}rso angepasst, dass{n₁}^ω_r < "₁ist.

Dies ist, zumindest für kleine "₁, hier nicht möglich. Allerdings gibt es andere Erwägungen, die eine Bestimmung eines „praktischen“ Erwartungswertes sinnvoll zulassen. Und zwar werden, wie später in Kapitel 6 vorgestellt, zum einen nur Schätzwerte fürϑˆ₁verwendet, deren Varianz eine bestimmte Grenze unterschreiten. Zum anderen können noch absolute Grenzen für die Parameterwerte angegeben werden.

In der Simulation und den Versuchen zeigt sich, dass schon die erste Maßnahme dazu führt, zu hohe Abweichungen zwischen realen und geschätzten Parametern effektiv zu verhindern.

Der mit einer hier angedeuteten, und später in Abschnitt 6.6 genauer diskutierten Beschränkung be-stimmte Erwartungswert wird mitE{x}r bezeichnet, so dass der Bias zu

∆ ˆϑ_1,mean,2("₁) =E{∆ ˆϑ_1,2}r= 1 κ_I ·E

n₁ n₁−"₁

r

definiert wird. Solange {n₁}r symmetrisch verteilt ist, d. h. {n₁}r ∼ {−n₁}r gilt, ist auch∆ ˆϑ_1,mean,2("₁) symmetrisch bezüglich"₁,

∆ ˆϑ_1,mean,2("₁) = ∆ ˆϑ_1,mean,2(−"₁).

Wie oben dargelegt, sind{n₁}rund{"₁}runabhängige Zufallsvariablen, womit{n₁|"₁}r∼ {n₁}r∼N(0, 1) gilt. Dafür ist in Abbildung 4.4 der Verlauf des Bias gezeigt.

Bias bei gegebenem Messwert

Sieht man den Messwertη˜₁ als feste Größe an, so ergibt sich die Gleichung ϑˆ_1,2=ϑ₁+ n₂

κ_I·(η_soll−η˜₁)− n₁ κ_I·(η_soll−η˜₁) anstelle von Gl. (4.22). Weiter erhält man

E{∆ ˆϑ_1,2|"˜₁}r=E{n₂|"˜₁}r· 1

κ_I·(η_soll−η˜₁)−E{n₁|"˜₁}r· 1 κ_I·(η_soll−η˜₁)

4.5 Diskussion des Ausgangpunktes für die Analyse 41

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 0

0,5 1

ǫ₁

∆ˆϑ1,mean,2(ǫ1)·κI

Abbildung 4.4:Bias des ersten Schätzwertes fürθ₁ (k=2), normiert auf _k¹

I

für den Erwartungswert des Bias unter der Voraussetzung, dass{"˜₁}r="˜₁gilt.{n₂}r ist unabhängig von {"˜₁}rund damit giltE{n₂|"˜₁}r=E{n₂}r=0, womit sich

E{∆ ˆϑ_1,2|"˜₁}r=−E{n₁|"˜₁}r· 1 κ_I·"˜₁ ergibt.

Würde man nicht berücksichtigen, dass sich die Verteilung von{n₁}runter der Bedingung{"˜₁}r="˜₁ wie oben besprochen ändert, so würde man mitE{n₁}r=0auf das ErgebnisE{∆ ˆϑ_1,2|"˜₁}r=0kommen, also dass unabhängig vom ersten Messwert der Bias Null ist.¹⁰

Andererseits wurde auch dargelegt, dass sich {n₁|"˜₁}r der unbedingten Verteilung {n₁}r annähert, je weiter{d}r streut. Dies bedeutet, dass in diesem Fall der Erwartungswert des Bias tatsächlich gegen Null geht.¹¹

Im Dokument Eine Methodik zur stochastischen adaptiven Qualitätsregelung (Seite 57-62)