Simulation

Für deni-ten Parameter werden die Korrekturvektoren entsprechend dem Schätzwert nach c^T_i|f,m(l+1) = λg_i,m(l)·c^T_i|f,m(l) +c^T_i|f(l+1)

λg_i,m(l) +1 (Mittelung mit Vergessensfaktor) bzw.

c^T_i|f,m(l+1) = (1−γ_i(l))·c^T_i|f,m(l) +γ_i(l)·c^T_i|f(l+1)

(Kombination der varianz-optimalen Mittelung und der Mittelung mit Vergessensfaktor) gemittelt.

Die Mittelung der eigentlichen Parameterschätzwerte geschieht nach den für den ersten Parameter an-gegebenen Gleichungen, nur ist darauf zu achten, dass sich der alte Mittelwertθˆ_i,m und der neue Wert θˆ_i(l+1)auf dieselben festen Parameterwerte beziehen.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 30

40 50 60 70

˜y

0 10 20 30 40 50 60 70 80

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

ˆθ1,r

0 10 20 30 40 50 60 70 80

−2

−1,5

−1

−0,5 0

ˆθ2,r

0 10 20 30 40 50 60 70 80

−4

−3

−2

−1 0

k ˆq2,r

Abbildung 6.15:Standardverfahren, σˆθ₂,r,max = ¹₅ ·θ₂, σθˆ₂,m,max = ¹₂ ·θ₂ (Neue Schätzung bei jedem Auftrag) (1 000 Simulationen)

Vergleich Zwei- und Drei-Parameter-Schätzung fürθ₂

In Abbildung 6.15 ist die Simulation des Standardtestfalls gezeigt, wobei der Parameter θ₂ über den Zwei-Parameter-Schätzer bei festgehaltenemθˆ₁bestimmt wird. Die Grenzenσˆθ₁,r,maxundσθˆ₂,r,maxliegen jeweils auf einem Fünftel des jeweiligen Parameterwertes.

Im Vergleich zu Abbildung 6.2b liegt hier zu Beginn eine geringere Regelabweichung vor. Damit ist die Variation vonu₁ geringer und entsprechend werden mehr Regelschritte als in Abbildung 6.2b benötigt, bisθ₁in allen Fällen geschätzt werden kann.

Während des zweiten Auftrags ändert sich erstmals die sekundäre Eingangsgrößeu₂, was hier in allen Fällen direkt die Schätzung von θ₂ ermöglicht. Es zeigt sich in θˆ_1,r ein kleiner Bias, der während des dritten Auftrags noch etwas größer wird. Dieser entsteht durch die Identifikation im geschlossenen

Re-0 10 20 30 40 50 60 70 80 30

40 50 60 70

˜y

0 10 20 30 40 50 60 70 80

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

ˆθ1,r

0 10 20 30 40 50 60 70 80

−2

−1,5

−1

−0,5 0

ˆθ2,r

0 10 20 30 40 50 60 70 80

−4

−3

−2

−1 0

k ˆq2,r

Abbildung 6.16:θ₂ über Drei-Parameter-Schätzung bestimmt,σθˆ₂,r,max= ¹₅ ·θ₂,σθˆ₂,m,max = ¹₂·θ₂(1 000 Simulationen)

gelkreis und wird später in Abschnitt 6.6 noch diskutiert. Hier ist der Effekt zu beobachten, dass θ₂ ebenfalls betragsmäßig überschätzt wird, so dass{q_2,r}r, das Verhältnis beider Größen, zumindest nähe-rungsweise biasfrei ist. Auch darin liegt ein Vorteil der Zwei-Parameter-Schätzung fürθ₂. Daθˆ₂ immer auf das aktuelle θˆ_1,r bezogen wird, wird das Verhältnisq₂ auch bei (nicht übertrieben großen) Fehlern des Schätzwertes für θ₁ noch gut geschätzt. Dies wird nochmal in Anhang D betrachtet. Hier werden beim Vergleich zunächst nur die in den Plots sichtbaren Effekte berücksichtigt.

Die gute Schätzung von q₂ zeigt sich schon im dritten Auftrag. Bei diesem ändert sich die sekundäre Eingangsgröße ebenfalls, aber die Kompensation funktioniert schon so gut, dass dies ohne die Markie-rungslinie kaum auszumachen wäre.

6.5 Identifikation über mehrere Aufträge 137

Durch die hohe Regelabweichung zu Beginn des vierten Auftrags verbessert sich die Schätzung vonθ₁ nochmals deutlich, wovon durch die Korrektur auch die Schätzwerte fürθ₂etwas profitieren. Im weiteren Verlauf der Simulation können Änderungen der sekundären Eingangsgröße am Verlauf von{˜y}rgar nicht mehr ausgemacht werden.

In Abbildung 6.16 ist für denselben Testfall die Drei-Parameter-Schätzung fürθ₂ verwendet. Mit dersel-ben Varianzgrenze werden hier drei Änderungen der sekundären Eingangsgröße dersel-benötigt, bis zumindest in etwa der Hälfte der Fälle die Varianz des gemittelten Schätzwertes so gering ist, dass dieser zur Re-gelung verwendet werden kann. Auch kann bei den Schätzwerten fürq₂ ein geringer Bias ausgemacht werden. Als Konsequenz zeigen sich auch bei den Änderungen der sekundären Eingangsgröße im dritten und fünften Auftrag noch deutliche Sprünge in{˜y}r. Und auch bei den folgenden beiden Änderungen vonu₂ist die Streuung noch erhöht.

Die Schätzwerte fürθ₁ sind vergleichbar mit denen aus Abbildung 6.15, da für diesen Parameter dassel-be Schätzverfahren verwendet wird. (Genau genommen sind die Schätzwerte im zweiten Fall minimal besser, da die Variation von u₁ etwas größer ist, da die schlechtere Kompensation von u₂ ausgeglichen werden muss.)

In Abbildung 6.17 ist die Varianzgrenze σ_θˆ2,m,max auf ein Drittel des Parameterwertes gesenkt, um ein früheres Schätzen vonθ₂zu erreichen. Dies tritt auch ein, so liegt im Großteil der Fälle nach der zweiten Änderung der sekundären Eingangsgröße ein Schätzwert fürθ₂vor, der zur Regelung verwendet werden kann. Es zeigt sich in den Verläufen für{˜y}r aber, dass aufgrund der hohen Streuung und des Bias von {ˆq_2,r}r die Kompensation der Änderungen von u₂ insgesamt nicht so gut funktioniert wie in Abbildung 6.15, woθ₂ durch die Zwei-Parameter-Schätzung bestimmt und immer anθˆ_1,rangepasst wird.

Verhalten bei Sprung inθ₂

In Abbildung 6.18 und 6.19 ist der Testfall simuliert, bei dem sich zusätzlich zu Beginn des vierten Auftrags der sekundäre Parameterθ₂ von−1auf−0,75verändert.

In Abbildung 6.18 erfolgt die Mittelung der Parameter optimal bezüglich der Varianz, d. h. nach Abbil-dung 6.13 mitλ₂=1.

Man erkennt, wie mit jeder Änderung des sekundären Eingangs u₂ während der Aufträge fünf, sechs und acht der Schätzwertθˆ_2,retwas in Richtung des neuen Schätzwertes korrigiert wird, womit sich auch ˆq_2,r dem neuen Wert von−1,5langsam annähert. Der Fehler inˆq_2,rist im Verlauf von ˜y an den kleinen Fehlern bei den Änderungen vonu₂ zu erkennen.

In Abbildung 6.19 istλ₂ =0,5gewählt. Es ist deutlich zu erkennen, dass die Korrektur schneller statt-findet, was hier nur durch eine moderate Zunahme der Streuung von{θˆ_2,r}r bzw. {ˆq_2,r}r erkauft wird.

Bei der Änderung der sekundären Eingangsgröße in Auftrag fünf zeigt sich noch ein Sprung in {˜y}r, welcher unvermeidbar ist, da hier erst die Änderung des Parametersθ₂ erkannt werden kann. Bei der Änderung vonu₂ im sechsten Auftrag und insbesondere im achten Auftrag fallen aber die Sprünge von {˜y}r deutlich geringer aus als bei der Wahlλ₁=1.

Verhalten bei Sprung inθ₁

In Abbildung 6.20 ist, analog zu Abbildung 6.18 ein Sprung des Parameters θ₁ zum fünften Auftrag gezeigt. Dabei ist zusätzlich zum bisher vorhandenen Sprung des Parametersθ₀ zum vierten Auftrag ein weiterer zum siebten Auftrag simuliert.

Aufgrund der sehr guten Anregung durch die anfänglich hohe Regelabweichung im vierten Auftrag ist die Varianz des Schätzwertes {θˆ₁}r im vierten Auftrag relativ gering. Dagegen ist die Anregung in den folgenden beiden Aufträgen sehr gering. Entsprechend dominiert der vierte Auftrag zunächst die Mit-telwertbildung, und der Mittelwert nähert sich nur sehr langsam dem neuen Wert für θ₁ an. Mit der

0 10 20 30 40 50 60 70 80 30

40 50 60 70

˜y

0 10 20 30 40 50 60 70 80

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

ˆθ1,r

0 10 20 30 40 50 60 70 80

−2

−1,5

−1

−0,5 0

ˆθ2,r

0 10 20 30 40 50 60 70 80

−4

−3

−2

−1 0

k ˆq2,r

Abbildung 6.17:θ₂ über Drei-Parameter-Schätzung bestimmt,σθˆ₂,r,max= ¹₃ ·θ₂,σθˆ₂,m,max = ¹₂·θ₂(1 000 Simulationen)

größeren Anregung durch den Sprung inθ₀ im siebten Auftrag ist die Korrektur des Schätzwertes etwas deutlicher, jedoch bei weitem noch nicht vollständig.

Ein weiterer wichtiger Punkt ist, dass durch den Sprung vonθ₁ auch der Schätzwert fürq₂ nicht mehr korrekt ist und das dieser bei jeder Änderung der sekundären Eingangsgröße nur langsam korrigiert wird.

Dies liegt daran, dass θ₂ bezüglich eines falschenθˆ_1,r geschätzt wird. Dies stellt aber kein prinzipielles Problem dar, es ist lediglich zu beachten, dass bei möglichen Sprüngen vonθ₁ nicht nur die Mittelung der Schätzwerte vonθ₁, sondern auch die Mittelung der Schätzwerte vonθ₂mit einem Vergessensfaktor durchgeführt wird.

6.5 Identifikation über mehrere Aufträge 139

0 10 20 30 40 50 60 70 80 30

40 50 60 70

˜y

0 10 20 30 40 50 60 70 80

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

ˆθ1,r

0 10 20 30 40 50 60 70 80

−2

−1,5

−1

−0,5 0

ˆθ2,r

0 10 20 30 40 50 60 70 80

−4

−3

−2

−1 0

k ˆq2,r

Abbildung 6.18:Sprung inθ₂ab dem vierten Auftrag,λ₂=1(1 000 Simulationen)

In Abbildung 6.21 ist θˆ₁ über eine Mittelung mit Vergessensfaktor und θˆ₂ über die Kombination von varianz-optimaler Mittelung und Mittelung mit Vergessensfaktor gemittelt. Die jeweiligen Vergessensfak-toren sindλ₁=0,75undλ₂=0,5.

Es zeigt sich bei θˆ_1,r und ˆq_2,r ein deutlich besseres Anpassen an die neuen Parameterwerte. Dies wird aber mit einer Zunahme der Varianz der Schätzwerte erkauft, was unvermeidbar ist.

Betrachtet man{˜y_k}r, so zeigt sich, insbesondere im letzten Auftrag, ein deutlich besseres Regelverhal-ten.

In Abbildung 6.22 sind die Verteilungen von {θˆ_1,r,k}r für den Fall einer Kombination von varianz-optimaler Mittelung und Mittelung mit Vergessensfaktor dargestellt. Dabei sind die Parameterλ₁=0,75 und p_1,min = ¹₂ ·σ²_ˆ

θ₁,r,max verwendet. Aufgrund der beschriebenen Dominanz der niedrigen Varianz für {θˆ_1,l0=4}r des vierten Auftrags unterscheiden sich die Verläufe bis einschließlich zum Auftrag sechs in

0 10 20 30 40 50 60 70 80 30

40 50 60 70

˜y

0 10 20 30 40 50 60 70 80

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

ˆθ1,r

0 10 20 30 40 50 60 70 80

−2

−1,5

−1

−0,5 0

ˆθ2,r

0 10 20 30 40 50 60 70 80

−4

−3

−2

−1 0

k ˆq2,r

Abbildung 6.19:Sprung inθ₂ab dem vierten Auftrag,λ₂=0,5(1 000 Simulationen)

diesem Fall nicht von der reinen varianz-optimalen Mittelung (Abbildung 6.20). Im siebten Auftrag er-gibt sich aber eine gute Korrektur, deren Varianz etwas geringer ist, als im Fall der reinen Mittelung mit Vergessensfaktor.

6.5 Identifikation über mehrere Aufträge 141

0 10 20 30 40 50 60 70 80 30

40 50 60 70

˜y

0 10 20 30 40 50 60 70 80

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

ˆθ1,r

0 10 20 30 40 50 60 70 80

−2

−1,5

−1

−0,5 0

ˆθ2,r

0 10 20 30 40 50 60 70 80

−4

−3

−2

−1 0

k ˆq2,r

Abbildung 6.20:Sprung inθ₁ab dem fünften Auftrag,λ₁=1,λ₂=1, varianz-optimale Mittelung (1 000 Simulationen)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 30

40 50 60 70

˜y

0 10 20 30 40 50 60 70 80

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

ˆθ1,r

0 10 20 30 40 50 60 70 80

−2

−1,5

−1

−0,5 0

ˆθ2,r

0 10 20 30 40 50 60 70 80

−4

−3

−2

−1 0

k ˆq2,r

Abbildung 6.21:Sprung inθ₁ ab dem fünften Auftrag,λ₁ =0,75, λ₂ =0,5, Mittelung mit Vergessens-faktor (1 000 Simulationen)

0 10 20 30 40 50 60 70 80

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

k ˆθ1,r

Abbildung 6.22:Sprung in θ₁ ab dem fünften Auftrag, λ₁ = 0,75, λ₂ = 0,5, Kombinierte Mittelung, p_1,min=¹₂ ·σ²_ˆ

θ₁,r,max(1 000 Simulationen)

6.5 Identifikation über mehrere Aufträge 143

Im Dokument Eine Methodik zur stochastischen adaptiven Qualitätsregelung (Seite 155-164)