6.4 Identifikation während eines Auftrags
6.4.5 Schätzen der sekundären Parameter bei festem primären Parameter
Neue Messdatenψ, y,u2
u26=u2,prev?
L2 = L,r2 = r u2,prev = u2 θˆ1,Zm = ˆθ1,Z+
σ2ˆ
θ1,Zm = σ2ˆ
θ1,Z+
L = L + ψψT r = r + ψy LZ = (L−L2)[1 2],[1 2]
rZ = (r − r2)[1 2]
rank(LZ) =2? θˆ1,Z = L−1Z rZ
2
σ2ˆ
θ1,Z =
σ2y·L−Z1
2,2
τ = σ2ˆ
θ1,Z/(σ2ˆ
θ1,Zm+σ2ˆ
θ1,Z) θˆ1,Z+=τ·θˆ1,Zm+ (1−τ)·θˆ1,Z σ2ˆ
θ1,Z+= (1/σ2ˆ
θ1,Zm+1/σ2ˆ
θ1,Z)−1
θˆ1,Z,σ2ˆ
θ1,Z+
Nein
Ja
Nein
Ja
Initialisierung bei neuem Auftrag
L=0 r=0 θˆ1,Z+=0 σ2ˆ
θ1,Z+=∞ u2,prev=NaN
Abbildung 6.6:Phasenweises Schätzen vonθ1
Mit dem gezeigten Vorgehen ergibt sich ein biasfreier Schätzer fürθ1. Da aber der normale LS-Schätzer effizient bezüglich aller biasfreier Schätzer ist, bedeutet das, dass die Varianz des Schätzwertes aus Ab-bildung 6.6 immer genauso groß oder größer wie die des LS-Schätzwertes ist, d. h.
σ2ˆ
θ1≤σ2ˆ
θ1,Z+.
Genauer lässt sich zeigen, dass die Varianz des Schätzwertesθˆ1 der Drei-Parameter-Schätzung bei einer einzigen Änderung der sekundären Eingangsgröße genauso groß wie die Varianz bei der Zwei-Parameter-Schätzung ist. Bei mehreren Änderungen der sekundären Eingangsgröße ist die Drei-Parameter-Schätzung im Allgemeinen besser, d. h. deren Varianz fürθˆ1 geringer.
Damit ist eine Schätzung nach Abbildung 6.6 nicht sinnvoll, sondern der Algorithmus in Abbildung 6.3 stellt schon das Optimum im Sinne der Varianz dar.
6.4.5 Schätzen der sekundären Parameter bei festem primären Parameter
so lautet diese
θˆe|f= ˆθe−Ce|f·(ˆθf−θf).
Würde man nicht von den Parametern θˆf, sondern θˆ0f ausgehen, so würde sich damit natürlich ein anderer Schätzwert
θˆ0e|f= ˆθe−Ce|f·(ˆθ0f−θf)
ergeben. Subtrahiert man die letzten beiden Gleichungen, so erhält man nach Umstellen
θˆ0e|f= ˆθe|f−Ce|f·(ˆθ0f−θˆf). (6.21)
Geht man abermals von einem anderen Parametersatzθˆ00f aus, so kann der dazu gehörende Schätzwert θˆ00e|ffürθenach
θˆ00e|f= ˆθe|f−Ce|f·(ˆθ00f −θˆf) = ˆθ0e|f−Ce|f·(ˆθ00f −θˆ0f) ausθˆe|foderθˆ0e|fbestimmt werden.
Die MatrixCe|fstellt also einen Korrekturfaktor dar, mit dessen Hilfe die Schätzung von θenachträglich an ein neuesθˆfangepasst werden kann.
Der Nutzen dieser Möglichkeit der nachträglichen Korrektur des Bezugswertesθˆfliegt darin, dass damit die Schätzwerte θˆe|f,l0 aller Aufträge l0 an den immer besser werdenden Schätzwert für θf angepasst werden können, ohne die Schätzung mit den alten Messdaten und dem neuenθˆfzu wiederholen. Geht man davon aus, dass mitl0→ ∞auchθˆf,l0 →θf geht, so werden dadurch alle korrigierten Schätzwerte θˆe|f,l0 ebenfalls biasfrei und durch die Mittelung erhält man einen asymptotisch biasfreien Schätzwert für θˆfmit immer geringer werdender Varianz.
Für diese Korrektur müssen keine Messdaten, d. h. die Informationsmatrizen Ll0 sowie die Vektoren rl0
der einzelnen Aufträge vorgehalten werden, sondern lediglich die Korrekturmatrizen Ce|f,l0. Genauer müssen nur die Zeilen ausCe|f,l0 gespeichert werden, die zu den Parametern gehören, deren Schätzwerte korrigiert werden sollen. So muss die Konstante θ0 sowohl bei der kompletten Schätzung wie auch bei der Schätzung von θf mitgeschätzt werden, es wird aber nur der Wert aus der Gesamtschätzung verwendet. Somit muss die erste Zeile jedesCe|f,l0 nicht gespeichert werden. Bestehtθenebenθ0 nur aus einem weiteren Parameter, so muss nur ein Skalar gespeichert werden.
Im Folgenden wird die Mittelung der Schätzwerte der einzelnen Aufträge etwas genauer betrachtet und gezeigt, dass man mit noch weniger zu speichernden Daten auskommen kann.
Mittelung über mehrere Aufträge
Später wird in Abschnitt 6.5.2 besprochen, wie die Schätzwerte verschiedener Aufträge sinnvoll gemittelt werden, um zu besseren Ergebnissen zu kommen. Der gemittelte Schätzvektor nach dem l-ten Auftrag wird mitθˆe|f,m(l)bezeichnet.12 Dann kann diese Mittelung iterativ in der Form
θˆe|f,m(l+1) = g(l)·θˆe|f,m(l) + ˆθe|f(l+1)
g(l) +1 θˆe|f,m(1) = ˆθe|f(1)
12 Abweichend zum übrigen Text wird in diesem Abschnitt die Unabhängige nicht im Index, sondern in Klammern angege-ben, um zu lange Indizes zu vermeiden.
6.4 Identifikation während eines Auftrags 113
dargestellt werden, wobei g(l)geeignete Gewichte sind, die im genannten Abschnitt beschrieben wer-den. Für die folgende Diskussion spielen die genauen Werte für g(l)keine Rolle.
Nach deml+1-ten Auftrag sollen die geschätzten Werte fürθˆe|f(l0)gemittelt werden. Dies soll bezüglich des Wertesθˆf(l+1)geschehen, da davon ausgegangen wird, dass dies die beste verfügbare Schätzung fürθfist. D. h. die bisherigen Schätzwerteθˆe|f(l0),l0=1, . . . ,l, müssen vor der Mittelung auf den neuen Bezugswertθˆf(l+1)umgerechnet werden. Die umgerechneten Werte werden mitθˆ0e|f(l0)bezeichnet, so dass diese Umrechnung schematisch als
θˆe|f(1),Ce|f(1),θˆf(1) θˆ−→f(l+1) θˆ0e|f(1) θˆe|f(2),Ce|f(2),θˆf(2) −→ θˆ0e|f(2)
... ...
θˆe|f(l),Ce|f(l),θˆf(l) −→ θˆ0e|f(l)
dargestellt werden kann. Mit diesen umgerechneten Werten kann nun der Mittelwertθˆ0e|f,m(l)bestimmt werden. Dieses geschieht über die iterative Berechnung vonθˆ00e|f,m(l,l+1). Allgemein soll θˆ00e|f,m(L, M) den Mittelwert bezeichnen, der sich aus den erstenL Aufträgen ergibt, wenn diese auf den Wertθˆfdes M-ten Auftrags bezogen werden. Damit giltθˆ0e|f,m(l) = ˆθ00e|f,m(l,l+1).
θˆ00e|f,m(l,l+1)wird ausgehend von
θˆ00e|f,m(1,l+1) = ˆθ0e|f(1) = ˆθe|f(1)−Ce|f(1)·(ˆθf(l+1)−θˆf(1)) über
θˆ00e|f,m(l0+1,l+1) = g(l0)·θˆ00e|f,m(l0,l+1) + ˆθ0e|f(l0+1)
g(l0) +1 , fürl0=1, . . . ,l−1 bzw.
θˆ00e|f,m(l0+1,l+1) = g(l0)·θˆ00e|f,m(l0,l+1) + ˆθe|f(l0+1)−Ce|f(l0+1)·(ˆθf(l+1)−θˆf(l0+1))
g(l0) +1 ,
fürl0 =1, . . . ,l−1 (6.22) bestimmt.
Der Wertθˆ00e|f,m(l,l+1)stellt also jenen Mittelwert dar, der sich auch ergeben hätte, wenn von Beginn an mitθˆf(l+1)als Bezugswert gerechnet worden wäre.
Zuletzt ergibt sich
θˆe|f,m(l+1) = g(l)·θˆ00e|f,m(l,l+1) + ˆθe|f(l+1)
g(l) +1 (6.23)
als neuer Mittelwert nach deml+1-ten Auftrag.
Um diesen Algorithmus anzuwenden, müssten also für jeden Auftragl0die Größen θˆe|f(l0),Ce|f(l0)und θˆf(l0)sowie das Gewicht g(l0)vorgehalten werden.13Dies stellt schon einen Vorteil gegenüber der Mög-lichkeit dar, alle bisherigen Schätzungen anhand Gl. (6.12) zu wiederholen, wozu die L-Matrizen und r-Vektoren aller Aufträge behalten werden müssten.
Es kann aber parallel zur iterativen Mittelung der Schätzwerte auch ein Korrekturfaktor bestimmt wer-den, der sich auf den Mittelwert bezieht. Damit entfällt die Notwendigkeit, Daten zu einzelnen Aufträgen zu speichern. Dies wird im Folgenden gezeigt.
13 Allgemein wird sich das Gewicht für jeden geschätzten Parameter unterscheiden. Dies spielt aber keine Rolle, da die Mittelung ohnehin später parameterweise erfolgen wird.
Mittelung der Korrekturfaktoren
Erfolgt die Mittelung der Schätzwerte iterativ nach
θˆe|f,m(l+1) = g(l)·θˆ0e|f,m(l) + ˆθe|f(l+1)
g(l) +1 , (6.24)
wobeiθˆ0e|f,m(l)der aufθˆf(l+1)angepasste (gewichtete) Mittelwert der erstenlAufträge ist,
θˆ0e|f,m(l) = ˆθe|f,m(l)−Ce|f,m(l)·(ˆθf(l+1)−θˆf(l)), (6.25) und wird die KorrekturmatrixCe|f,m(l)durch eine analoge Mittelung
Ce|f,m(l+1) = g(l)·Ce|f,m(l) +Ce|f(l+1)
g(l) +1 (6.26)
bestimmt, so entspricht θˆe|f,m(l+1) dem Mittelwert nach Gl. (6.23), den man erhalten würde, wenn man vor allen Schritten sämtliche Schätzwerte aufθˆf(l+1)korrigiert. Bzw., wenn man Gl. (6.23) mit (6.24) vergleicht, giltθˆ00e|f,m(l, l+1) = ˆθ0e|f,m(l). Hierbei ist zu beachten, dass diese Gleichheit nur für das Argumentlgilt, nicht aber für allel0, dennθˆ00e|f,m(l0,l+1)ist immer aufθˆf(l+1)bezogen, während sichθˆ0e|f,m(l0)aufθˆf(l0+1)bezieht.
Der Beweis ist in Anhang C.1 zu finden. Damit ist gezeigt, dass zur Korrektur der Schätzwerte auf ein neuesθˆfnur eine einzige KorrekturmatrixCe|fgespeichert werden muss, unabhängig von der Anzahl der Aufträge bzw. Einzelschätzwerte.
Alternative Darstellung der Mittelung
Eine alternative Darstellung der gewichteten Mittelung, die später benötigt wird, ergibt sich aus θˆe|f,m(l+1) = g(l)·θˆ0e|f,m(l) + ˆθe|f(l+1)
g(l) +1 = g(l)
g(l) +1·θˆ0e|f,m(l) + 1
g(l) +1·θˆe|f(l+1)
=
1− 1 g(l) +1
·θˆ0e|f,m(l) + 1
g(l) +1·θˆe|f(l+1)
= (1−γ(l))·θˆ0e|f,m(l) +γ(l)·θˆe|f(l+1) (6.27) mitγ(l) = g(l)+11 . Entsprechend kann dann die Korrekturmatrix über
Ce|f,m(l+1) = (1−γ(l))·Ce|f,m(l) +γ(l)·Ce|f(l+1) (6.28) gemittelt werden.
Diskussion
Im Allgemeinen wird nicht immer dieselbe Aufteilung inθeundθfvorliegen.
Diejenigen Parameter, die zu Eingängen gehören, die sich bei einem Auftrag nicht geändert haben, kön-nen prinzipbedingt nicht geschätzt werden und müssen daher den θf zugeordnet werden. Allerdings wurde auch schon dargelegt, dass dann ein Fehler in diesen Parametern keinen Fehler der übrigen Para-meterschätzung erzeugt (mit Ausnahme vonθˆ0).
6.4 Identifikation während eines Auftrags 115
Wenn nicht sichergestellt ist, dass alle Eingänge bei jedem Auftrag genügend angeregt werden, so muss die Mittelung und Korrektur parameterweise geschehen. Dabei fallen aber auch nicht mehr Daten an. So wird nicht eine Korrekturmatrix gespeichert, sondern mehrere Korrekturvektoren.
Wenn die Vereinbarung getroffen wird, dass ein sekundärer Parameter immer dann geschätzt wird, wenn sich der dazugehörige Eingang ändert und der primäre Eingang dabei immer festgehalten wird, dann bleibt die Handhabung relativ einfach. Da dann ein falsch angenommener Parameter bei einem sekun-därer Eingang nie einen Schätzfehler bei einem anderen sekundären Eingang verursacht, ist ein Fehler des Parameterschätzwertes θˆ1 des primären Eingangs die einzige Fehlerquelle und damit besteht der Korrekturvektor für jeden sekundären Eingang nur aus einem Skalar.
Wenn zwei sekundäre Eingänge während eines Auftrags zu ausschließlich gleichen Schritten geändert werden, dann muss einer der beiden Parameter für die Schätzung festgehalten werden. Beispielhaft seien u2undu3zwei Eingänge, die sich zusammen geändert haben, und der Parameterθ3wurde zur Schätzung des Parametersθ2 auf dem Wertθˆ3,r festgehalten. Dann muss zu dem Schätzwertθˆ2 noch ein weiterer Korrekturfaktorc2|3,m gespeichert werden, mit demθˆ2 bei einer Änderungen vonθˆ3,r angepasst werden kann. Werden danach Aufträge durchgeführt, bei denen beide Eingängeu2undu3unabhängig verändert werden und damit beide Parameter geschätzt werden können, oder der Eingangu3 gar nicht verändert wird, so wirdc2|3,m entsprechend der gegebenen Gleichung bei der Mittelung von θˆ2 angepasst, wobei der Korrekturwert dieser Aufträgec2|3=0ist.
Auf den Unterschied der hier vorgestellten Schätzung mit festgehaltenen primären Parametern und der normalen LS-Schätzung aller Parameter bezüglich der eigentlich interessierenden Werte ˆqi wird noch-mals in Anhang D eingegangen. Dabei wird auch noch eine weitere Variante zur Schätzung von qi vorgestellt und in den Vergleich einbezogen. Dazu ist es aber sinnvoll, zunächst in Abschnitt 6.5 die Identifikation über mehrere Aufträge zu besprechen.