Wir verwenden Satz 59, um weitere Geraden zu finden, auf denen mehr als zwei beson-dere Punkte liegen. Wir untersuchen zuerst den LongchampspunktL, den Gergonnepunkt G und den Inkreismittelpunkt I.
Satz 63: Sei 4ABC ein nicht gleichschenkeliges Dreieck mit Longchampspunkt L, Ger-gonnepunkt G und Inkreismittelpunkt I. Seien La, Ga und Pa die Fußpunkte der Lote von L, G und I auf ℓ(B, C), seien Lb, Gb und Pb die auf ℓ(A, C) und Lc, Gc und Pc die auf ℓ(A, B). Dann gilt LPaPa
aGa = LPbPb
bGb = PLcPc
cGc.
Beweis: Der Gergonnepunkt G ist der Schnittpunkt der Geraden ℓ(A, Pa), ℓ(B, Pb) und ℓ(C, Pc). Aus einer Erg¨anzung zum Satz von Ceva (Satz 132(b)) folgt GPCG
c = CPP a
Sei Hc der Fußpunkt der H¨ohe durch C. Dann gilt ALc = HcB = acosβ = a2+c2c2−b2. Wegen APc =s−a und PcB =s−bfolgt LcPc =APc−ALc =s−a− a2+c2c2−b2 =sb−ca und PcHc =PcB−HcB=s−b− a2+c2c2−b2 = (sc −1)(b−a).
Da GGc und HHc senkrecht auf ℓ(A, B) stehen und somit parallel zueinander liegen, erhalten wir PPcGc
cHc = PPcG
cC aus dem Strahlensatz. Mit Hilfe der oben gefundenen Formeln ergibt sich PcGc = PPcG
cCPcHc = 2s2(s2−(a−a)(s2+b−2+cb)2)(sc −1)(b−a) = 2(s2s2−−a)(s(a2−+bb)(s2+c−2c)) b−a
c . Mit obiger Formel f¨ur LcPc erhalten wir schließlich LPcPc
cGc = 2s2(s3−−a)(ss(a2−+bb)(s2+c−2c)). Damit ist PLcPc
cGc berechnet. Mit einer analogen Rechnung erh¨alt man auch PLaPa
aGa und PLbPb
bGb, wobei die Seitenl¨angen a, b und c ihre Pl¨atze vertauschen. Da sich das Endergebnis
2s3−s(a2+b2+c2)
2(s−a)(s−b)(s−c) bei dieser Vertauschung nicht ¨andert, ist LPaPa
aGa = PLbPb
bGb = LPcPc
cGc gezeigt.
Damit erhalten wir
Satz 64: Sei 4ABC ein Dreieck. Der Longchampspunkt L, der Gergonnepunkt G und der Inkreismittelpunkt I liegen auf einer Geraden.
Beweis: In Satz 63 haben wir PLbPb
bGb = LPcPc
cGc f¨ur die Fußpunkte der Lote von den Punkten L,G und I auf die Geraden ℓ(A, C) undℓ(A, B) gezeigt. Aus Satz 59 folgt jetzt, dass die Punkte L, G und I auf einer Gerade liegen. Ist das Dreieck gleichschenkelig, dann liegen die Punkte L, G und I auf der Symmetrieachse des Dreiecks..
Indem wir diesen Satz auf das Seitenmittendreieck anwenden, erhalten wir auch
Satz 65: Sei 4ABC ein Dreieck. Der Mittenpunkt T, der Spiekerpunkt K und der H¨ohenschnittpunktH liegen auf einer Geraden.
Beweis: Nach Satz 55 ist T der Gergonnepunkt des Seitenmittendreiecks 4MaMbMc. Nach Definition ist K der Inkreismittelpunkt des Seitenmittendreiecks 4MaMbMc. Es bleibt zu zeigen, dass H der Longchampspunkt des Dreiecks 4MaMbMc ist. Dann folgt aus Satz 64 angewendet auf 4MaMbMc, dass T, K und H auf einer Geraden liegen.
SeienU undZ die Mittelpunkte des Umkreises und und des Neunpunktkreises des Dreiecks 4ABC. Die Seitensymmetralen des Dreiecks 4ABC sind die H¨ohen des Seitenmitten-dreiecks 4MaMbMc und der Neunpunktkreis geht durch die Seitenmitten. Somit ist U der H¨ohenschnittpunkt und Z der Umkreismittelpunkt des Dreiecks 4MaMbMc. Den Longchampspunkt des Dreiecks 4MaMbMc erh¨alt man, indem man U an Z spiegelt. Da Z der Mittelpunkt der Strecke U H ist, erh¨alt man H als Longchampspunkt des Dreiecks 4MaMbMc.
In Satz 61 wurde gezeigt, dass der Bevanpunkt V, der Spiekerpunkt K und der H¨ ohen-schnittpunkt H eines Dreiecks 4ABC auf einer Gerade liegen. Satz 65 zeigt, dass auch der Mittenpunkt T auf dieser Gerade liegt.
Einen weiteren besonderen Punkt k¨onnen wir noch behandeln, n¨amlich den Symmedi-anpunkt, der auch Grebepunkt oder Lemoinepunkt genannt wird.
Zuerst f¨uhren wir die Symmedianen des Dreiecks4ABC ein. Spiegelt man die Schwer-linie durch den Eckpunkt A an der Winkelsymmetrale durchA, dann erh¨alt man die Sym-medianefA durch A. Ganz analog sind die SymmedianenfB undfC durch die Eckpunkte B und C definiert.
Satz 66: Sei 4ABC ein Dreieck. Sei Da der Schnittpunkt von fA mit ℓ(B, C), sei Db E, dem Symmedianpunkt des Dreiecks 4ABC.
Beweis: Sei P ein beliebiger Punkt auf der Seite AB. Sei φ=]ACP und ψ=]P CB. Satz von Ceva schneiden die drei Symmedianen einander in einem Punkt.
Satz 67: Sei4ABCein nicht gleichschenkeliges Dreieck mit SymmedianpunktE, Inkreis-mittelpunkt I und Mittenpunkt T. Seien Ea, Pa und Ta die Fußpunkte der Lote von E, I und T auf ℓ(B, C), seien Eb, Pb und Tb die Fußpunkte der Lote auf ℓ(A, C) und Ec, Pc und Tc die Fußpunkte der Lote auf ℓ(A, B). Dann gilt PPaEa
aTa = PPbEb
bTb = PPcEc
cTc.
Beweis: Der SymmedianpunktE ist der Schnittpunkt der Geradenℓ(A, Da),ℓ(B, Db) und ℓ(C, Dc). Aus einer Erg¨anzung zum Satz von Ceva (Satz 132(b)) folgt EDAE
a = ADD c
Wir m¨ussenPcTc berechnen. Dazu verwenden wir Satz 63. Im Beweis dieses Satzes wurde PcGc = 2(s2s2−−a)(s(a2−+bb)(s2+c−2c))
b−a
c gezeigt, wobei Gc der Fußpunkt des Lots vom Gergonnepunkt G auf die Seite AB ist. Es folgt BGc =PcGc−PcB= 2(s2s2−−a)(s(a2−+bb)(s2+c−2c)) analogen Rechnung erh¨alt man auch PPaEa
aTa und PPbEb
bTb, wobei die Seitenl¨angen a, b und c
ihre Pl¨atze vertauschen. Da sich das Endergebnis a2+ba2+b2+c2+c2−2s2 2 bei dieser Vertauschung nicht ¨andert, ist PPaEa
aTa = PPbEb
bTb = PPcEc
cTc gezeigt.
Satz 68: Sei4ABC ein Dreieck. Der SymmedianpunktE, der InkreismittelpunktI und der Mittenpunkt T liegen auf einer Geraden.
Beweis: In Satz 67 haben wir PPbEb
bTb = PPcEc
cTc f¨ur die Fußpunkte der Lote von den Punkten E,T und I auf die Geradenℓ(A, C) und ℓ(A, B) gezeigt. Aus Satz 59 folgt jetzt, dass die Punkte E, T und I auf einer Gerade liegen. Ist das Dreieck gleichschenkelig, dann liegen die Punkte E, T und I auf der Symmetrieachse des Dreiecks..
In der folgenden Darstellung sind alle besonderen Punkte eingetragen, die wir behandelt haben, und die Geraden, auf denen sie liegen.
L
U S
H
N
K
I
T
G
V
E
Die Geraden, die durch den Schwerpunkt S gehen, sind als durchgehende Linien einge-zeichnet. Auf der Eulergerade liegen der H¨ohenschnittpunkt H, der Schwerpunkt S, der Umkreismittelpunkt U und der Longchampspunkt L. Die anderen beiden durchgehenen Geraden sind die aus Satz 56. Auf der einen liegen der MittenpunktT, der SchwerpunktS und der Gergonnepunkt G. Auf der anderen liegen der Inkreismittelpunkt I, der Schwer-punkt S und der Nagelpunkt N. Sie geht auch durch den Spiekerpunkt K, da dieser der Inkreismittelpunkt des Seitenmittendreiecks ist und daherφ(I) =K f¨ur die im Beweis von Satz 56 verwendete zentrische Streckunkg gilt.
Die drei Geraden durch den Bevanpunkt sind strichliert gezeichnet. Die eine ist die aus Satz 60. Auf dieser liegen der Inkreismittelpunkt I, der Umkreismittelpunkt U und der Bevanpunkt V. Die zweite ist die aus Satz 62. Auf dieser liegen der Longchampspunkt L, der Bevanpunkt V und der NagelpunktN. Die dritte ist die aus Satz 61. Auf dieser liegen der BevanpunktV, der SpiekerpunktK und der H¨ohenschnittpunktH. Nach Satz 65 liegt auch der Mittenpunkt T auf dieser Gerade.
Die Geraden aus Satz 64 und Satz 68 sind punktiert gezeichnet. Auf der ersten liegen der Longchampspunkt L, der Inkreismittelpunkt I und der Gergonnepunkt G. Auf der zweiten liegen der Symmedianpunkt E, der Inkreismittelpunkt I und der Mittenpunkt T. Ublicherweise werden die besonderen Punkte nicht mit synthetischen Methoden un-¨ tersucht, sondern mit Hilfe baryzentrischer Koordinaten. Baryzentrischen Koordinaten werden in diesem Skriptum nicht behandelt. Man findet sie zum Beispiel in “Paul Yiu:
Introduction to the Geometry of the Triangle, 2002”
Es werden laufend neue besondere Punkte erfunden. Das nimmt inzwischen un¨ uber-schaubare Ausmaße an. Siehe https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html.
Auch f¨ur Vierecke werden besondere Punkte untersucht und noch einiges mehr, siehe https://www.chrisvantienhoven.nl/mathematics/encyclopedia
1. Die zweite Steinergerade eines Dreiecks 57
2. Umkreise und H¨ohenschnittpunkte im Vierseit 58
3. Die Diagonalen eines Vierseits 60
Ein Vierseit besteht aus vier Geraden in allgemeiner Lage. Keine zwei Geraden liegen parallel und keine drei Geraden gehen durch einen Punkt. Diese vier Geraden haben dann sechs Schnittpunkte und sie bilden vier Dreiecke. L¨asst man eine Gerade weg, so bleibt ein Dreieck. Diese Figur wird in diesem Kapitel untersucht.
Der erste Abschnitt dieses Kapitels dient als Vorbereitung. Es wird ein Satz von Steiner
¨
uber das Dreieck bewiesen. Ein Punkt liegt genau dann auf dem Umkreis des Dreiecks, wenn die drei Punkte, die man durch Spiegelung dieses Punktes an den drei Dreiecksseiten erh¨alt, auf einer Gerade liegen. Diese Gerade heißt zweite Steinergerade und geht auch noch durch den H¨ohenschnittpunkt. Den Beweis f¨uhren wir mit Hilfe kartesischer Koordinaten.
(Es gibt es auch eine erste Steinergerade, die wir hier nicht brauchen. Sie wird sp¨ater in Kapitel VIII behandelt – Satz 113).
Im zweiten Abschnitt dieses Kapitels wird dieser Satz von Steiner verwendet, um das Vierseit zu untersuchen. Die Umkreise der vier Dreiecke eines Vierseits gehen durch einen Punkt, den sogenannten Miquelpunkt. Die vier Punkte, die man erh¨alt, wenn man den Miquelpunkt an den vier Geraden des Vierseits spiegelt, liegen auf einer Geraden, die wir die Steinergerade des Vierseits nennen. Die H¨ohenschnittpunkte der vier Dreiecke liegen dann ebenfalls auf der Steinergerade. Mit Hilfe des Peripheriewinkelsatzes zeigen wir dann, dass die Umkreismittelpunkte der vier Dreiecke und der Miquelpunkt auf einem Kreis liegen.
Im dritten Abschnitt dieses Kapitels werden die drei Diagonalen des Vierseits unter-sucht. Das sind die Verbindungsstrecken zwischen je zwei der sechs Punkte, die nicht durch die vier Geraden des Vierseits verbunden sind. Die Mittelpunkte dieser Diagonalen liegen dann auf einer Gerade. Diese steht senkrecht auf die Steinergerade des Vierseits. Die drei Kreise, deren Durchmesser die Diagonalen sind, sind entweder disjunkt, haben zwei Punkte, die auf der Steinergerade liegen, gemeinsam, oder alle drei Kreise ber¨uhren die Steinergerade im selben Punkt (Satz von Gauß-Bodenmiller). Weiters kann man zeigen, dass der Umkreismittelpunkt des Dreiecks, dessen Seiten die Verl¨angerungen der drei Diag-onalen sind, auf der Steinergerade liegt. Bei diesen Beweisen spielen Kreise, die senkrecht aufeinander stehen, und die Polare eines Kreises eine wesentliche Rolle.