Wir nennen eine Funktionf :R2 →Rlinear, wenn reelle Zahlenk1, k2 undd existieren, sodassf(x1, x2) =k1x1+k2x2+d f¨ur alle (x1, x2)∈R2 gilt. Wie man leicht nachrechnet, gilt dann f(λ(x1, x2) + (1 −λ)(y1, y2)) = λf(x1, x2) + (1 −λ)f(y1, y2) f¨ur alle (x1, x2) und (y1, y2) in R2 und f¨ur alle λ ∈ R. Die Ebene, in der das Dreieck liegt, identifizieren wir mit dem R2. Wir verwenden dann auch eine entsprechende Schreibweise. Die lineare Funktion f ordnet jedem Punkt der Ebene eine reelle Zahl zu. Es gilt f(λP+ (1−λ)Q) = λf(P) + (1−λ)f(Q) f¨ur alle Punkte P und Q und f¨ur alle λ∈R.
Hilfssatz: Sei 4ABC ein Dreieck und f eine lineare Funktion. Ist m eine relle Zahl, sodass f(A), f(B) und f(C) gr¨oßer oder gleich m sind, dann gilt f(P) ≥ m f¨ur alle Punkte P des Dreiecks4ABC.
Beweis: Sei zuerst Q ein Punkt auf der Seite AB. Es existiert dann ein λ ∈ [0,1] mit Q = λA+ (1−λ)B. Es folgt f(Q) =λf(A) + (1−λ)f(B) ≥λm+ (1−λ)m= m, da f linear ist.
Sei jetzt P ein beleibiger Punkt des Dreiecks 4ABC. Dann hat die Gerade ℓ(C, P) einen Schnittpunkt Q mit der Seite AB. Da P auf der Strecke CQ liegt, existiert ein µ ∈[0,1]
mit P =µC+ (1−µ)Q. Es folgt f(P) =µf(C) + (1−µ)f(Q)≥µm+ (1−µ)m=m, da f linear ist.
Der folgende Satz wurde in “Dao, Nguyen Tien Dung, Pham: A strengthened version of the Erdos-Mordell inequality, Forum Geometricorum 16, 2016, 317–321” bewiesen.
Satz 143: SeiP ein Punkt im Dreieck4ABC. SeienD,E undF die Fußpunkte der Lote von P auf die Geraden ℓ(B, C), ℓ(A, C) und ℓ(A, B). Seien H, K und L die Fußpunkte der Lote von P auf die Tangenten des Umkreises in den Punkten A, B und C. Dann gilt
|P H|+|P K|+|P L| ≥2|P D|+ 2|P E|+ 2|P F|
Beweis: Seien da(P) db(P) und dc(P) wie in Satz 134 definiert. Wir setzen P = (x1, x2).
Im Beweis dieses Satzes wurde gezeigt, dass Konstanten pa, qa, ra, pb, qb, rb, pc, qc
und rc existieren, f¨ur die da(P) = pax1 +qax2 − ra, db(P) = pbx1 + qbx2 − rb und dc(P) = pcx1+qcx2−rc gilt. Somit sind da(P), db(P) und dc(P) lineare Funktionen, die jedem Punkt P der Ebene eine reelle Zahl zuordnen.
Mit u, v und w bezeichnen wir die Seiten des Dreiecks, das von den Tangenten des Um-kreises in den Punkten A, B und C gebildet wird, und mit du(P), dv(P) und dw(P) die orientierten Abst¨ande des PunktesP von diesen Seiten. Wir k¨onnen obiges Resultat auch auf das von den Tangenten gebildete Dreieck anwenden und erhalten, dass du(P), dv(P) und dw(P) ebenfalls lineare Funktionen sind, die jedem Punkt P der Ebene eine reelle Zahl zuordnen.
Seif(P) = du(P)+dv(P)+dw(P)−2 da(P)−2 db(P)−2 dc(P). Dann istf ebenfalls eine lineare Funktion, wie man leicht nachrechnet. Nun gilt du(P) = |P H|, dv(P) = |P K|, dw(P) = |P L|, da(P) = |P D|, db(P) = |P E| und dc(P) = |P F|, da P im Dreieck 4ABC und somit auch im Tangentendreieck liegt und daher alle vorkommenden orien-tierten Abst¨ande gr¨oßer oder gleich null sind. Es gen¨ugt also,f(P)≥0 f¨ur alle Punkte P des Dreiecks4ABC zu zeigen. Wegen des Hilfssatzes m¨ussen wir nurf(A)≥0,f(B)≥0 undf(C)≥0 zeigen. Dazu verwenden wir Trigonometrie und die Standardbezeichnungen, die f¨ur ein Dreieck ¨ublich sind. Auch der Tangentenwinkelsatz kommt zum Einsatz.
Wir zeigen f(A) ≥ 0. Es gilt db(A) = dc(A) = 0, da A auf den Seiten AC und AB liegt. Weiters gilt da(A) = csinβ. Wegen sin(1800 −β) = sinβ gilt das auch, wenn β stumpf ist. Aus dem Sinussatz folgt da(A) = 2rsinγsinβ, wobei r der Umkreisradius ist. Es gilt du(A) = 0, da A auf der Tangente des Umkreises im Punkt A liegt. Aus dem Tangentenwinkelsatz folgt, dass AB mit der Tangente des Umkreises im Punkt B den Winkel γ bildet. Das ergibt dv(A) =csinγ. Ebenso bildet AC mit der Tangente des Umkreises im Punkt C den Winkel β, woraus dw(A) = bsinβ folgt. Aus dem Sinussatz ergibt sich dv(A) = 2rsin2γ und dw(A) = 2rsin2β. Setzt man alles ein, so erh¨alt man
f(A) = 2rsin2γ + 2rsin2β−4rsinγsinβ = 2r(sinγ −sinβ)2 ≥0 Genauso zeigt man, dass f(B)≥0 und f(C)≥0 gilt.
Als Folgerung erhalten wir die Erd¨os-Mordell-Ungleichung.
Satz 144: Sei P ein Punkt in einem Dreieck 4ABC. Seien D, E und F die Fußpunkte der Lote von P auf die Geraden ℓ(B, C), ℓ(A, C) und ℓ(A, B). Dann gilt
|P A|+|P B|+|P C| ≥2|P D|+ 2|P E|+ 2|P F|
Beweis: Die Bezeichnung sei wie in Satz 143. Da A ein Punkt auf der Tangente des Umkreises im Punkt A ist, erhalten wir |P A| ≥ |P H|. Ebenso ergibt sich |P B| ≥ |P K| und |P C| ≥ |P L|. Die gesuchte Ungleichung folgt jetzt aus Satz 143.
Ubung:¨ Die Bezeichnung sei wie in Satz 143. F¨ur beliebige t1, t2 und t3 inR gilt dann t21|P H|+t22|P K|+t23|P L| ≥2t2t3|P D|+ 2t1t3|P E|+ 2t1t2|P F|
Mit f(P) =t21du(P) +t22dv(P) +t23dw(P)−2t2t3 da(P)−2t1t3 db(P)−2t1t2 dc(P) funk-tioniert der Beweis wie oben.
1. Geraden und Kegelschnitte 110
2. Homogene Koordinaten 111
3. Der Satz von Desargues 113
4. Die S¨atze von Pascal und Brianchon 115
5. Verh¨altnisse von Abst¨anden 118
In diesem Kapitel arbeiten wir mit homogenen kartesischen Koordinaten. Wir betreiben keine projektive Geometrie sondern rechnen mit Vektoren, Matrizen und Determinanten.
Der erste Abschnitt dieses Kapitels dient der Vorbereitung. Es wird gezeigt, dass man Gleichungen von Geraden und Kegelschnitten einfach aufschreiben kann, wenn man den Ortsvektoren zu Punkten im R2 als dritte Koordinate 1 anf¨ugt. Damit finden wir dann die Tangentengleichung f¨ur Kegelschnitte in allgemeiner Lage.
Im zweiten Abschnitt dieses Kapitels werden homogene Koordinaten und Fernpunkte eingef¨uhrt. Dann existiert durch zwei nicht identische Punkte genau eine Gerade und zwei nicht identische Geraden haben genau einen Schnittpunkt (auch wenn sie parallel sind).
Damit werden Kegelschnitte behandelt, die Tangentengleichung und eine Ber¨uhrbedingung.
Im dritten Abschnitt dieses Kapitels wird der Satz von Desargues mit Hilfe homogener Koordinaten behandelt. Dieser Satz wurde bereits in Kapitel III und in Kapitel VII bewiesen, jedoch nur in eine Richtung. Jetzt beweisen wir eine ¨Aquivalenz. Im Beweis wird vor allem mit Determinanten gerechnet.
Im vierten Abschnitt dieses Kapitels werden die S¨atze von Pascal und Brianchon be-wiesen. Der Satz von Pascal besagt, dass die Eckpunkte eines Sechsecks genau dann auf einem Kegelschnitt liegen, wenn die drei Schnittpunkte der Verl¨angerungen einander gegen¨uberliegender Sechseckseiten auf einer Gerade liegen. Der Satz von Brianchon be-sagt, dass die Seiten eines Sechsecks genau dann Tangenten eines Kegelschnitts sind, wenn die drei Verbindungsgeraden von einander gegen¨uberliegenden Eckpunkten des Sechsecks durch einen gemeinsamen Punkt gehen.
Im f¨unften Abschnitt arbeiten wir mit Verh¨altnissen von orientierten Abst¨anden. Wir wechseln dazu zwischen homogenen und kartesischen Koordinaten hin und her. Wir be-weisen die S¨atze von Menelaos und Ceva und eine Erg¨anzung zum Satz von Pascal.