Punkte (x1, x2)) der Ebene haben wir durch erweiterte Vektoren ˆx = x1
x2
1
mit 1 als dritter Koordinate dargestellt. Dadurch lassen sich Geraden- und Kegelschnittgleichungen einfach als atxˆ = 0 und ˆxtCxˆ = 0 schreiben. Allerdings k¨onnen wir x genausogut durch λxˆ mit λ∈R\ {0} darstellen. Es gilt ja dann auchat(λˆx) = 0 und (λˆx)tC(λx) = 0.ˆ
Sei P=R3\ {0}. Wir fassen Pals die Menge aller Punkte der Ebene auf. Sind u undv in P, dann stellen sie jedoch denselben Punkt dar, wenn u=λv f¨ur ein λ 6= 0 gilt. Das ist genauso wie bei Br¨uchen. Der Wert des Bruches ¨andert sich nicht, wenn man Z¨ahler und Nenner mit derselben Zahl 6= 0 multipliziert.
Sei u ∈ P. Ist u3 6= 0, dann stellt u den Punkt (uu1
3,uu2
3) dar. Das sind die eigentlichen Punkte. Wir lassen jedoch auch Punkte u ∈ P mit u3 = 0 zu. Diese Punkte heißen Fernpunkte. Der Vektor
u1
u2 ε
entspricht dem Punkt (uε1, uε2). F¨ur ε → 0 wandert er die Gerade {t(uu12) : t ∈ R} entlang nach Unendlich, in die eine oder die andere Richtung, je nachdem, welches Vorzeichen ε hat. Wir k¨onnen uns den Fernpunkt
u1
u2 0
so vorstellen, dass er die Gerade {t(uu12) :t∈R}zu einer durchgehenden Kurve schließt. Wir k¨onnen die Gerade hinauswandern, durch den Fernpunkt hindurchgehen, und dann die Gerade von der anderen Seite wieder hereinwandern.
Ahnliches gilt f¨¨ ur Geraden. Die Gerade a1x1 +a2x2 +a3 = 0 stellen wir durch den Vektor a der Koeffizienten dar. Auch hier gilt, dass durch λa mit λ 6= 0 dieselbe Gerade
dargestellt wird. Sei G = R3 \ {0}. Das ist dieselbe Menge wie P, wir fassen jedoch G als die Menge aller Geraden der Ebene auf. Sind a und b in G, dann stellen sie dieselbe Gerade dar, wenn a=λb f¨ur ein λ6= 0 gilt.
Ein Punkt u∈P liegt auf einer Geradena∈G, wenn a1u1+a2u2+a3u3 = 0 gilt. Das kann man auch alsatu= 0 schreiben. Die zuageh¨orige Geradengleichung in der Variable x ist dann a1x1 +a2x2+a3x3 = 0 oder atx = 0. Ein Punkt u ∈P liegt genau dann auf der Gerade, wenn er die Geradengleichung erf¨ullt.
Es sei noch auf 0
0 1
∈ G hingewiesen. Dieser Vektor stellt auch eine Gerade dar. Ein Punkt u liegt genau dann auf dieser Gerade, wenn u3 = 0 gilt. Somit liegen genau die Fernpunkte auf dieser Gerade. Man nennt sie daher Ferngerade.
Satz 147: Seien u und v in P. Wenn u und v nicht denselben Punkt darstellen, dann existiert genau eine Gerade durch diese zwei Punkte.
Beweis: Ista∈G eine Gerade durch die zwei Punkte, dann muss gelten a1u1+a2u2+a3u3 = 0
a1v1+a2v2+a3v3 = 0
Dieses Gleichungssystem ist nach den Variablen a1,a2 unda3 aufzul¨osen. F¨uhrt man das Eliminationsverfahren durch, dann verschwindet die zweite Gleichung nicht, da u 6= λv f¨ur alle λ gilt. Es ergibt sich eine einparametrige L¨osungsmenge. Da 0 eine L¨osung ist, existiert einb ∈G, sodass{λb:λ∈R}die L¨osungsmenge ist. Die Geradebist die einzige, die durch u und v geht (durchλb mit λ 6= 0 wird ja dieselbe Gerade dargestellt).
Der folgende Satz hat denselben Beweis wie der vorhergehende. Er wird aber anders interpretiert. Punkte und Geraden tauschen ihre Rollen. Solche S¨atze nennt man dual.
Satz 148: Seien a und b in G. Wenn a und b nicht dieselbe Gerade darstellen, dann existiert genau ein Punkt, der auf beiden Geraden liegt.
Beweis: Istu ∈P ein Punkt auf beiden Geraden, dann muss gelten a1u1+a2u2+a3u3 = 0
b1u1+b2u2+b3u3 = 0
Dieses Gleichungssystem ist nach den Variablen u1, u2 und u3 zu l¨osen. F¨uhrt man das Eliminationsverfahren durch, dann verschwindet die zweite Gleichung nicht, da a 6= λb f¨ur alle λ gilt. Es ergibt sich eine einparametrige L¨osungsmenge. Da 0 eine L¨osung ist, existiert ein v∈P, sodass{λv:λ ∈R}die L¨osungsmenge ist. Der Punktvist der einzige, der auf a und b liegt (durch λvmit λ 6= 0 wird ja derselbe Punkt dargestellt).
Bemerkung: Bemerkenswert ist, dass auch zwei zueinander parallele Geraden einen Schnittpunkt haben. In diesem Fall sinda1u1+a2u2+a3u3 = 0 unda1u1+a2u2+b3u3 = 0 mit a3 6=b3 die Gleichungen. Beide haben denselben Normalvektor (aa12). Die L¨osung ist v =
a2
−a1
0
und alle Vielfachen davon. Der Schnittpunkt ist der Fernpunkt, den beide Geraden gemeinsam haben.
Jetzt kommen wir zu den Kegelschnitten. Ein Kegelschnitt ist durch eine symmetrische 3×3-Matrix C bestimmt, das heißt es gilt Ct = C. Die Gleichung des Kegelschnitts in der Variable x ist xtCx = 0. Ein Punkt u ∈ P liegt genau dann auf dem Kegelschnitt, wenn utCu = 0 gilt, wobei die Gleichung bestehen bleibt, wenn wir den Punkt durch eine
andere Darstellung ersetzen. Ist der Kegelschnitt eine Hyperbel, dann ist zu beachten, dass es zwei Fernpunkte gibt, die auf der Hyperbel liegen. Es sind die Fernpunkte der beiden Asymptoten. Ist der Kegelschnitt eine Parabel, dann gibt es einen solchen Fernpunkt. Es ist der Fernpunkt der Parabelachse.
Sind die Eintragungen der Matrix C so wie zu Beginn des ersten Abschnitts, dann gilt xtCx = a1x21 +a2x22 + 2a3x1x2 + 2b1x1x3 + 2b2x2x3 +cx23. Den auf der rechten Seite stehenden Ausdruck nennt man eine quadratische Form in den Variablen x1, x2, x3.
Analog l¨asst sich die Gleichung einer Tangente in einem Punkt u an den Kegelschnitt
¨
ubertragen. Man bildet einfach den VektorCu. Da die MatrixC eines echten Kegelschnitts eine Inverse besitzt, liegt Cu in G. Diese Gerade Cu ist dann die Tangente im Punkt u, da ja (Cu)txˆ = 0 die in Satz 146 gefundene Tangentengleichung ist.
Wir geben noch eine Bedingung daf¨ur, dass eine Gerade Tangente an einen Kegelschnitt ist. Diese Bedingung nennen wir Ber¨uhrbedingung.
Satz 149: Seia∈GundC die Matrix eines echten Kegelschnitts. Die Geradeaist genau dann Tangente an den Kegelschnitt, wenn atC−1a = 0 gilt. Da der Kegelschnit echt ist, existiert die inverse Matrix C−1.
Beweis: Die Geradeasei eine Tangente. Dann existiert ein Punktuauf dem Kegelschnitt, das heißt utCu = 0, sodass a=Cu gilt. Es folgt at =utCt =utC und u=C−1a. Setzt man das in die Gleichung utCu= 0 ein, so hat man atC−1a= 0.
Sei atC−1a = 0. Wir setzen u = C−1a. Es folgt a = Cu und at = utCt = utC. Setzt man das in die Gleichung atC−1a = 0 ein, so hat man utCu = 0. Somit ist u ein Punkt auf dem Kegelschnitt. Da auch a=Cu gilt, ist a die Tangente im Punkt u.
Bemerkung: Damit Satz 149 richtig ist, muss man bei der Hyperbel auch die beiden Asymptoten als Tangenten auffassen. Jede der beiden Asymptoten hat einen Fernpunkt.
Diese beiden Fernpunkte liegen auch auf der Hyperbel und die Asymptoten sind die Tan-genten in diesen Punkten.
Auch bei der Parabel hat man dieses Problem. Der Fernpunkt der Parabelachse liegt auf der Parabel. Die Tangente in diesem Fernpunkt ist die Ferngerade.
3. Der Satz von Desargues
Sind u, v und w Vektoren im R3, dann bezeichnen wir mit |u,v,w| die Determinante mit den Spalten u, v und w.
Satz 150: Seien u, v und w in P. Die drei Punkte u, v und w liegen genau dann auf einer Gerade, wenn |u,v,w|= 0gilt.
Beweis: Die drei Punkte u, v und w liegen genau dann auf einer Gerade, wenn atu = 0, atv= 0, atw= 0
f¨ur ein a ∈G gilt. Ein homogenes lineares Gleichungssystem mit drei Variablen und drei Gleichungen hat genau dann eine L¨osung 6= 0, wenn die Determinante gleich Null ist.
Daher liegen u, v und w genau dann auf einer Gerade, wennwuv11
Wir beweisen auch gleich den dazu dualen Satz, auch wenn wir ihn erst sp¨ater brauchen.
Der Beweis ist derselbe, er ist nur anders zu interpretieren.
Satz 151: Seien a, b und c in G. Die drei Geraden a, b und c gehen genau dann durch einen Punkt, wenn |a,b,c|= 0gilt.
Beweis: Die drei Geraden a, b und c gehen genau dann durch einen Punkt, wenn atu = 0, btu = 0, ctu= 0
f¨ur ein u ∈ P gilt. Wie im letzten Beweis folgt, dass das genau dann der Fall ist, wenn
|a,b,c|= 0 gilt.
Seien p und q in P. Wir nehmen an, dass sie verschiedene Punkte darstellen. Dann bezeichnen wir die Gerade durch p undq mit ℓ(p,q).
Hilfssatz A: Durch p, q, r, s ∈ P seien vier Punkte gegeben, die nicht alle auf einer Geraden liegen. Die Punktepundqseien verschieden, ebenso die Punkterunds. Weiters sei u =|p,q,r| ·s− |p,q,s| ·r. Dann ist u der Schnittpunkt der beiden Geraden ℓ(p,q) und ℓ(r,s).
Beweis: Wir zeigen zuerst, dass u in P liegt. Es kann nicht |p,q,r|= 0 und |p,q,s|= 0 gelten, sonst w¨urden entweder p und q denselben Punkt darstellen oder die vier Punkte p, q, r und s w¨urden nach Satz 150 auf einer Gerade liegen. Da auch r und s in P liegen und nicht denselben Punkt darstellen, kann |p,q,r| ·s=|p,q,s| ·r nicht gelten. Somit ist u nicht der Nullvektor, das heißt u liegt in P.
Es gilt |p,q,u| = |p,q,r| · |p,q,s| − |p,q,s| · |p,q,r| = 0, da die Determinante linear in den Spalten ist. Nach Satz 150 liegt u auf der Gerade ℓ(p,q).
Es gilt auch |r,s,u| = |p,q,r| · |r,s,s| − |p,q,s| · |r,s,r| = 0, da eine Determinante mit zwei gleichen Spalten gleich 0 ist. Nach Satz 150 liegt u auf der Gerade ℓ(r,s).
Damit ist gezeigt, dass u der Schnittpunkt der Geraden ℓ(p,q) und ℓ(r,s) ist.
Ubung:¨ Man zeige, dass |a,d,b| · |a,e,c| − |a,d,e| · |a,b,c|+|a,b,e| · |a,d,c| = 0 f¨ur beliebige Vektoren a, b, c, d und e im R3 gilt.
Hinweis: Da die vier Vektoren b, c, d und e im R3 liegen, muss einer von ihnen eine Linearkombination der anderen sein. Wir nehmen an, dass das f¨ur e zutrifft, das heißt es gilt e = λ1a+λ2b +λ3c mit λ1, λ2 und λ3 in R. Wir setzen das ein und wenden die Rechenregeln f¨ur Determinanten an.
Satz 152 (Desargues)Seien a,b,c,d,eundfinPgegeben, sodass weder die drei Punkte a, b und c noch die drei Punkte d, e und f auf einer Gerade liegen. Weiters nehmen wir an, dass weder die vier Punkte a, b, d und e, noch die vier Punkte b, c, e und f, noch die vier Punkte a,c, d undf auf einer Gerade liegen. Seiu der Schnittpunkt der Geraden ℓ(a,b) und ℓ(d,e). Sei v der Schnittpunkt der Geraden ℓ(b,c) und ℓ(e,f). Sei w der Schnittpunkt der Geraden ℓ(c,a) und ℓ(f,d). Dann sind ¨aquivalent
(1) Es existiert ein Punkt s ∈ P, sodass die Punkte s, a und d, die Punkte s, b und e und die Punkte s, c und f jeweils auf einer Gerade liegen.
(2) Die Punkte u, v undw liegen auf einer Gerade.
Beweis: F¨urpundqinPschreiben wirp∼q, wennpundqden selben Punkt darstellen, das heißt, wenn p =λq f¨ur einλ ∈R gilt. Sonst schreiben wirp 6∼q.
Solltea∼d oderb ∼eoder c∼fgelten, dann nehmen wir an, dassc ∼fgilt. Ansonsten
¨
andern wir die Bezeichnung. Es folgt a6∼ d und b 6∼e, sonst w¨urden die Punkte a, c, d und f beziehungsweise die Punkte b, c, e und f auf einer Gerade liegen, im Widerspruch zu einer der Voraussetzungen.
Da die Punkte a, b und c nicht auf einer Gerade liegen, gilt |a,b,c| 6= 0 nach Satz 150.
Es existieren reelle Zahlen α, β und γ, sodass f=αa+βb+γc gilt.
Da a 6∼ d und b 6∼ e gilt und die Punkte a, b, d und e nicht auf einer Gerade liegen, ist s=|a,d,b| ·e− |a,d,e| ·b nach Hilfssatz A der Schnittpunkt vonℓ(a,d) und ℓ(b,e).
Genau dann gilt (1), wenn die Punkte s, c und f auf einer Gerade liegen, das heißt, wenn
|s,c,f|= 0 gilt. Wir setzen ein und erhalten|a,d,b| ·e− |a,d,e| ·b,c, αa+βb+γc= 0.
Mit Hilfe der Rechenregeln f¨ur Determinanten ergibt sich
α· |a,d,b| · |e,c,a| −α· |a,d,e| · |b,c,a|+β· |a,d,b| · |e,c,b|= 0.
Aus obiger ¨Ubung erhalten wir |a,d,b| · |e,c,a| − |a,d,e| · |b,c,a| = −|a,b,e| · |c,a,d|. Somit ist (1) genau dann erf¨ullt, wenn α· |a,b,e| · |c,a,d|=β· |a,d,b| · |e,c,b| gilt.
Aus den Voraussetzungen folgt a6∼b und d6∼e. Weiters liegen die Punktea, b, d unde nicht auf einer Gerade. Daher folgt u=|a,b,d| ·e− |a,b,e| ·d aus Hilfssatz A. Ebenso erhalten wir v=|b,c,e| ·f− |b,c,f| ·e undw=|c,a,f| ·d− |c,a,d| ·f. Wegen Satz 150 ist (2) genau dann erf¨ullt ist, wenn |u,v,w|= 0 gilt. Wir setzen f¨ur u, vund w ein
|a,b,d| ·e− |a,b,e| ·d, |b,c,e| ·f− |b,c,f| ·e, |c,a,f| ·d− |c,a,d| ·f= 0 Da die Determinante in jeder Spalte linear ist, ergibt sich eine Summe mit acht Summan-den, von denen jedoch nur zwei ungleich null sind, da alle anderen eine Determinante mit zwei gleichen Spalten als Faktor enthalten und somit null sind. ¨Ubrig bleibt nur
|a,b,d| · |b,c,e| · |c,a,f| · |e,f,d| − |a,b,e| · |b,c,f| · |c,a,d| · |d,e,f|= 0
Da |e,f,d|=|d,e,f| 6= 0 aus einer Voraussetzung folgt, k¨onnen wir k¨urzen. Es bleibt nur
|a,b,d| · |b,c,e| · |c,a,f| − |a,b,e| · |b,c,f| · |c,a,d|= 0. Wir setzenf =αa+βb+γc ein und wenden die Rechenregeln f¨ur Determinanten an. Da auch |c,a,b|= |b,c,a| 6= 0 aus einer Voraussetzung folgt, k¨onnen wir wieder k¨urzen. ¨Ubrig bleibt nur
β· |a,b,d| · |b,c,e| −α· |a,b,e| · |c,a,d|= 0
Somit ist (2) genau dann erf¨ullt, wennα·|a,b,e|·|c,a,d|=β·|a,b,d|·|b,c,e|gilt. Wegen
|a,b,d| · |b,c,e|=|a,d,b| · |e,c,b| ist damit die ¨Aquivalenz von (1) und (2) gezeigt.