Satz 153 (Satz von Pascal) Seien a, b, c, d, e, f ∈ P verschiedene Punkte, sodass keine vier auf einer Geraden liegen. Sei u der Schnittpunkt von ℓ(a,b) und ℓ(d,e). Sei v der Schnittpunkt von ℓ(b,c) und ℓ(e,f). Sei w der Schnittpunkt von ℓ(c,d) und ℓ(f,a). Die drei Punkte u, v undw liegen genau dann auf einer Gerade, wenn die sechs Punkte a,b, c,d, e und f auf einem Kegelschnitt liegen.
Beweis: Aus Hilfssatz A folgt u = |a,b,d| ·e− |a,b,e| ·d, v = |e,f,b| ·c− |e,f,c| ·b und w=|c,d,f| ·a− |c,d,a| ·f. Nach Satz 150 liegen die Punkteu, vund wgenau dann auf einer Gerade, wenn |u,v,w|= 0 gilt. Setzt man u, v und wein, so hat man
|a,b,d| ·e− |a,b,e| ·d, |e,f,b| ·c− |e,f,c| ·b, |c,d,f| ·a− |c,d,a| ·f= 0 Da die Determinante in jeder Spalte linear ist, erhalten wir
|a,b,d| · |e,f,b| · |c,d,f| · |e,c,a| − |a,b,d| · |e,f,b| · |c,d,a| · |e,c,f|
−|a,b,d| · |e,f,c| · |c,d,f| · |e,b,a|+|a,b,d| · |e,f,c| · |c,d,a| · |e,b,f|
−|a,b,e| · |e,f,b| · |c,d,f| · |d,c,a|+|a,b,e| · |e,f,b| · |c,d,a| · |d,c,f| +|a,b,e| · |e,f,c| · |c,d,f| · |d,b,a| − |a,b,e| · |e,f,c| · |c,d,a| · |d,b,f|= 0
Da die Determinante bei Vertauschen zweier Spalten das Vorzeichen ¨andert, k¨urzen sich der zweite und der vierte Summand, der dritte und der siebente Summand und der f¨unfte und der sechste Summand weg. ¨Ubrig bleibt nur
|a,b,d| · |e,f,b| · |c,d,f| · |e,c,a| − |a,b,e| · |e,f,c| · |c,d,a| · |d,b,f|= 0
Wir setzen φ(x) =|a,b,d| · |e,x,b| · |c,d,x| · |e,c,a| − |a,b,e| · |e,x,c| · |c,d,a| · |d,b,x|. Dann liegen die Punkte u, vund w genau dann auf einer Gerade, wenn φ(f) = 0 gilt.
Eine Determinante, die x als eine Spalte enth¨alt, ist eine lineare Funktion in x1, x2 und x3. Somit ist φ(x) eine quadratische Form in den Variablen x1, x2, x3 und die Gleichung φ(x) = 0 ist die eines Kegelschnitts.
Die Funktion φ kann nicht identisch null sein. Wir zeigen, dass ein x ∈ P existiert, f¨ur das φ(x) 6= 0 gilt. Wir schreiben φ(x) = α· |e,x,b| · |c,d,x| −β · |e,x,c| · |d,b,x| mit α =|a,b,d| · |e,c,a| und β = |a,b,e| · |c,d,a|. Wir zeigen, dass α = β = 0 nicht gelten kann. W¨urde es gelten, dann m¨usste eine der folgenden vier Aussagen erf¨ullt sein
|a,b,d|=|a,b,e|= 0, |a,b,d|=|c,d,a|= 0,
|e,c,a|=|a,b,e|= 0, |e,c,a|=|c,d,a|= 0
Wegen Satz 150 w¨urde in jedem der vier F¨alle folgen, dass vier der f¨unf Punkte a, b, c,d, e auf einer Geraden liegen. Dieser Widerspruch zeigt, dass α und β nicht beide null sein k¨onnen. Wir nehmen an, dass α6= 0 gilt. Der Beweis f¨urα= 0 undβ 6= 0 verl¨auft analog.
Ein ¨ahnlicher Beweis wie oben zeigt auch, dass|e,d,b| · |c,d,b| und|e,c,b| · |c,d,e|nicht beide null sein k¨onnen. Ist |e,d,b| · |c,d,b| 6= 0, dann w¨ahlen wir x=b+d und erhalten φ(b+d) =α· |e,d,b| · |c,d,b| −β· |e,b+d,c| · |d,b,b+d|=α· |e,d,b| · |c,d,b| 6= 0.
Ist das null, dann muss |e,c,b| · |c,d,e| 6= 0 gelten. Wir w¨ahlen x = c+e und erhalten φ(c+e) = α· |e,c,b| · |c,d,e| −β · |e,c+e,c| · |d,b,c+e| = α· |e,c,b| · |c,d,e| 6= 0.
In allen F¨allen existiert somit ein x∈P mit φ(x)6= 0.
Es gilt φ(a) =|a,b,d| · |e,a,b| · |c,d,a| · |e,c,a| − |a,b,e| · |e,a,c| · |c,d,a| · |d,b,a|= 0, da die Determinante bei Vertauschen zweier Spalten das Vorzeichen ¨andert. Ebenso gilt φ(b) =φ(c) =φ(d) =φ(e) = 0, da eine Determinante mit zwei gleichen Spalten null ist.
Somit ist φ(x) = 0 die Gleichung eines Kegelschnitts, auf dem die f¨unf Punkte a, b, c, d und e liegen. Die Punkte u, vund w liegen genau dann auf einer Gerade, wenn φ(f) = 0 gilt, das heißt, wenn auch der sechste Punkt f auf diesem Kegelschnitt liegt.
Bemerkung: Dieser Beweis zeigt auch, dass durch
(∗) |a,b,d| · |e,x,b| · |c,d,x| · |e,c,a| − |a,b,e| · |e,x,c| · |c,d,a| · |d,b,x|= 0
die Gleichung eines Kegelschnitts gegeben ist, auf dem die f¨unf Punktea, b,c, d,e liegen, wenn keine vier dieser Punkte auf einer Geraden liegen.
Liegen von diesen f¨unf Punkten a,b,c, dunde keine drei auf einer Geraden, dann ist der Kegelschnitt, auf dem sie liegen, ein echter Kegelschnitt. W¨are er unecht, dann best¨unde er aus einem Punkt, einer Gerade oder einem Geradenpaar. Der erste Fall ist nicht m¨oglich, da f¨unf verschiedene Punkte auf dem Kegelschnitt liegen. Die beiden anderen auch nicht, da dann mindestens drei der f¨unf Punkte auf einer Geraden liegen m¨ussten.
Dieses Resultat kann man mit Hilfe von Satz 150 und Satz 145 auch so formulieren: Zur Kegelschnittgleichung (∗) gibt es eine symmetrische Matrix C, sodass diese als xtCx = 0 geschrieben werden kann. Aus den f¨unf Vektoren a, b, c, d und e kann man zehn De-terminanten bilden mit je drei dieser Vektoren als Spalten. Sind alle diese DeDe-terminanten ungleich Null, dann hat die Matrix C eine inverse Matrix.
Der Satz von Brianchon ist dual zum Satz von Pascal. F¨ur dessen Beweis ben¨otigen wir den zum Hilfssatz A dualen Satz.
Hilfssatz B: Durch p, q, r, s ∈G seien vier Gerade gegeben, die nicht alle durch einen Punkt gehen. Die Geradenpundqseien verschieden, ebenso die Geradenrunds. Weiters sei u =|p,q,r| ·s− |p,q,s| ·r. Dann ist u die Gerade durch den Schnittpunkt von p und q und durch den von r und s.
Beweis: Wir zeigen zuerst, dass u in G liegt. Es kann nicht |p,q,r|= 0 und |p,q,s|= 0 gelten, sonst w¨urden entweder p und q dieselbe Gerade darstellen oder die vier Geraden p,q,r undsw¨urden nach Satz 151 durch einen Punkt gehen. Da auchr undsinGliegen und nicht dieselbe Gerade darstellen, kann |p,q,r| ·s =|p,q,s| ·r nicht gelten. Somit ist u nicht der Nullvektor, das heißt u liegt in G.
Es gilt |p,q,u| = |p,q,r| · |p,q,s| − |p,q,s| · |p,q,r| = 0, da die Determinante linear in den Spalten ist. Es gilt auch |r,s,u| = |p,q,r| · |r,s,s| − |p,q,s| · |r,s,r| = 0, da eine Determinante mit zwei gleichen Spalten gleich 0 ist. Nach Satz 151 geht die Gerade u durch den Schnittpunkt der Geraden p undq und durch den Schnittpunkt der Geradenr und s.
Satz 154 (Satz von Brianchon) Seien a, b, c, d, e, f ∈ G verschiedene Gerade, sodass keine drei durch einen Punkt gehen. Sei u die Gerade durch den Schnittpunkt von a und b und durch den von d unde. Seiv die Gerade durch den Schnittpunkt vonb undc und durch den von e und f. Sei wdie Gerade durch den Schnittpunkt von c und d und durch den von f und a. Die drei Geraden u, v und w gehen genau dann durch einen Punkt, wenn die sechs Geraden a, b, c, d, e und f Tangenten an einen Kegelschnitt sind.
Beweis: Der Beweis ist weitgehend derselbe wie der von Satz 153, er ist nur anders zu in-terpretieren. Aus Hilfssatz B folgtu=|a,b,d| ·e− |a,b,e| ·d,v=|e,f,b| ·c− |e,f,c| ·b undw=|c,d,f| ·a− |c,d,a| ·f. Nach Satz 151 gehen die Geradenu,vundwgenau dann durch einen Punkt, wenn |u,v,w|= 0 gilt. Setzt man u, v und w ein, so hat man
|a,b,d| ·e− |a,b,e| ·d, |e,f,b| ·c− |e,f,c| ·b, |c,d,f| ·a− |c,d,a| ·f= 0 Wir setzen φ(x) =|a,b,d| · |e,x,b| · |c,d,x| · |e,c,a| − |a,b,e| · |e,x,c| · |c,d,a| · |d,b,x|. Wie im Beweis von Satz 153 folgt, dass die Geraden u, v und w genau dann durch einen Punkt gehen, wenn φ(f) = 0 gilt. Nun ist φ(x) eine quadratische Form in den Variablen x1,x2 und x3. Es existiert daher eine symmetrische Matrix M, sodass φ(x) =xtMx gilt.
Aus der Voraussetzung und mit Hilfe von Satz 151 folgt, dass die zehn Determinanten, die man mit je drei der Vektoren a, b,c, d und e als Spalten bilden kann, ungleich Null sind.
Aus obiger Bemerkung folgt dann, dass die Matrix M eine inverse Matrix C besitzt.
Es gilt M C = CM = I3. Es folgt CtMt = MtCt = I3 und CtM = M Ct = I3 wegen Mt =M. Wir erhalten CM = CtM, woraus CM C = CtM C und wegen M C =I3 auch C =Ct folgt. Somit ist C eine symmetrische Matrix, deren Inverse die MatrixM ist. Die Gleichung xtCx= 0 ist die eines echten Kegelschnitts und es folgt φ(x) =xtC−1x.
Es gilt φ(a) =|a,b,d| · |e,a,b| · |c,d,a| · |e,c,a| − |a,b,e| · |e,a,c| · |c,d,a| · |d,b,a|= 0, da die Determinante bei Vertauschen zweier Spalten das Vorzeichen ¨andert. Ebenso gilt φ(b) =φ(c) =φ(d) =φ(e) = 0, da eine Determinante mit zwei gleichen Spalten null ist.
Nach Satz 149 sind die f¨unf Geraden a, b, c, d unde Tangenten an den Kegelschnitt mit der Gleichung xtCx= 0. Wie oben gezeigt wurde, gehen die Geraden u, v und w genau dann durch einen Punkt, wenn φ(f) = 0 gilt, das heißt, wenn auch die sechste Gerade f Tangente an diesen Kegelschnitt ist.