Der Beweis des Satzes von Desargues ist relativ einfach.
Satz 35 (Satz von Desargues) Seien 4ABC und 4DEF zwei Dreiecke, sodass A 6= D, B 6= E und C 6= F gilt. Sei U der Schnittpunkt der Geraden ℓ(A, B) und ℓ(D, E). Sei V der Schnittpunkt der Geraden ℓ(B, C) und ℓ(E, F) und sei W der Schnittpunkt der Geraden ℓ(C, A) und ℓ(F, D). Wir nehmen an, dass diese Schnittpunkte existieren und eindeutig sind. Wenn die drei Geraden ℓ(A, D), ℓ(B, E) und ℓ(C, F) durch einen Punkt gehen oder parallel sind, dann liegen die Punkte U, V und W auf einer Gerade.
A
B C
D
E
F P
W V U
Beweis: Wir nehmen zuerst an, dass die drei Geraden ℓ(A, D), ℓ(B, E) undℓ(C, F) durch einen Punkt P gehen. Der Satz von Menelaos wird auf das Dreieck 4ABP und die Geradeℓ(D, E) angewendet, dann auf Dreieck 4BCP und die Geradeℓ(E, F), und auf Dreieck4CAP und die Gerade ℓ(D, F). Das ergibt
U A
U B · EBEP · DPDA = 1
V B
V C · F CF P · EPEB = 1
W C
W A · DADP · F PF C = 1
Wir multiplizieren diese drei Gleichungen miteinander. Wir erhalten
U A
U B · V BV C · W CW A = 1
Aus dem Satz von Menelaos, angewendet auf das Dreieck 4ABC, folgt jetzt, dass die drei Punkte U, V und W auf einer Gerade liegen.
Wir nehmen jetzt an, dass die drei Geradenℓ(A, D),ℓ(B, E) undℓ(C, F) parallel liegen. In diesem Fall wenden wir den Strahlensatz an. Da ℓ(A, D) parallel zu ℓ(B, E) liegt, erhalten wir U BU A = ADBE. Da ℓ(B, E) parallel zuℓ(C, F) liegt, erhalten wir V BV C = BECF. Und da auch ℓ(C, F) parallel zu ℓ(A, D) liegt, erhalten wir W CW A = CFAD. Wir multiplizieren diese drei Gleichungen miteinander und erhalten
U A
U B · V BV C · W CW A = 1
Wie oben folgt, dass die drei Punkte U, V und W auf einer Gerade liegen.
Der nachfolgende Satz ist der Satz von Pascal f¨ur einen Kreis. Als Vorbereitung beweisen wir eine Umkehrung des Strahlensatzes.
Satz 36: Seien S, A und C verschiedene Punkte auf einer Geraden g und B und D zwei weitere Punkte, die nicht auf g liegen. Weiters seien die Geraden ℓ(A, B) und ℓ(C, D) parallel. Wenn SASC = ABCD gilt, dann liegen die Punkte S, B und D auf einer Gerade.
Beweis: Sei h die Gerade ℓ(S, D). Sei B∗ der Schnittpunkt von h mit ℓ(A, B). Man beachte, dass ℓ(A, B) parallel zu ℓ(C, D) liegt und damit nicht parallel zu h liegen kann.
Daℓ(A, B) undℓ(C, D) parallel sind, folgt SCSA = ABCD∗ aus dem Strahlensatz. Da SASC = CDAB vorausgesetzt wird, erhalten wir AB∗ = AB. Da die Punkte A, B und B∗ alle auf einer Geraden liegen, folgt B∗ =B. Somit liegen die Punkte S, B und D auf der Gerade h.
Satz 37 (Satz von Pascal f¨ur einen Kreis) Sei ABCDEF ein konvexes Sechseck, dessen Eckpunkte auf einem Kreis liegen. Sei U der Schnittpunkt der Geraden ℓ(A, B) und ℓ(D, E). SeiV der Schnittpunkt der Geradenℓ(B, C)undℓ(E, F). SeiW der Schnittpunkt der Geradenℓ(C, D)undℓ(F, A). Wir nehmen an, dass diese Schnittpunkte existieren und eindeutig sind. Dann liegen die drei Punkte U, V und W auf einer Gerade.
A
B C
E D F
P
Q R
V W
U Beweis: SeiP der Schnittpunkt
der Geradenℓ(A, B) undℓ(C, D).
Sei Q der Schnittpunkt der Ge-raden ℓ(C, D) und ℓ(E, F) und sei R der Schnittpunkt der Ge-raden ℓ(E, F) und ℓ(A, B). Wir wenden den Satz von Menelaos auf das Dreieck 4P QR an und auf die Geradenℓ(B, C),ℓ(D, E) und ℓ(F, A). Das ergibt
CP
CQ · V QV R · BRBP = 1
DP
DQ · EQER · U RU P = 1
W P
W Q · F QF R · ARAP = 1
Wir multiplizieren diese drei Gleichungen miteinander und ordnen die Br¨uche auf der linken Seite anders an. Auf diese Weise ergibt sich
W P
W Q · V QV R · U RU P · CPAP··DPBP · CQEQ··F QDQ · ARER··BRF R = 1
Aus dem Sehnensatz erhalten wir CP ·DP = P C·P D = P A·P B = AP ·BP. Ebenso ergibt sich QE·QF =CQ·DQ und RA·RB =ER·F R. Damit erhalten wir
W P
W Q· V QV R · U RU P = 1
Aus dem Satz von Menelaos, angewendet auf das Dreieck 4P QR, folgt jetzt, dass die drei Punkte U, V und W auf einer Gerade liegen.
Wir haben stillschweigend angenommen, dass die Schnittpunkte P, Q und R existieren.
Das muss nicht der Fall sein. Nehmen wir an, die Geraden ℓ(A, B) und ℓ(C, D) seien parallel. Dann kann aber ℓ(E, F) nicht auch noch dazu parallel liegen, da das Sechseck ABCDEF konvex ist. Die Schnittpunkte QundR existieren. Aus dem Strahlensatz folgt
V Q
V R = QCRB, EQER = QDRU, und F QF R = QWRA
Wir multiplizieren diese drei Gleichungen miteinander und ordnen die Br¨uche anders an
V Q
V R · EQ·F QQC·QD = ER·F RRA·RB · QWRU
Wir erhalten QC ·QD = QE ·QF = EQ·F Q und RA ·RB = RE ·RF = ER·F R aus dem Sehnensatz. Damit ergibt sich V QV R = QWRU . Da die Geraden ℓ(A, B) und ℓ(C, D) parallel sind, folgt jetzt aus Satz 36, dass die drei Punkte V, W und U auf einer Gerade liegen. Der Beweis l¨auft analog, wenn die Geraden ℓ(A, B) und ℓ(E, F) parallel sind oder die Geraden ℓ(C, D) und ℓ(E, F).
Bemerkung: Der Satz gilt auch ohne die Voraussetzung, dass das Sechseck ABCDEF konvex ist. Wenn man jedoch zul¨asst, dass die Sechseckseiten einander ¨uberkreuzen, dann kann es passieren, dass alle drei Geraden ℓ(A, B), ℓ(C, D) und ℓ(E, F) parallel liegen oder durch einen Punkt gehen. In diesem Fall funktioniert dieser Beweis nicht.
1. Ein Satz von Leibniz 35
2. Der Satz von Feuerbach 36
3. Sehnentangentenvierecke 39
4. Die Kieperthyperbel 42
5. Dreiecks߬ache 45
In diesem Kapitel arbeiten wir mit trigonometrischen Methoden und im Koordinaten-system. Im ersten, zweiten und f¨unften Abschnitt wird mit trigonometrischen Methoden gearbeitet, im vierten Abschnitt arbeiten wir im Koordinatensystem und der dritte Ab-schnitt ist gemischt.
Im ersten kurzen Abschnitt dieses Kapitels wird ein Satz von Leibniz ¨uber die Summe der Quadrate der Abst¨ande eines PunktesP von den Eckpunkten eines Dreiecks bewiesen.
Insbesondere sieht man, dass diese Summe minimal wird, wenn P der Schwerpunkt ist.
Im zweiten Abschnitt dieses Kapitels wird ein trigonometrischer Beweis des Satzes von Feuerbach gegeben. Dieser besagt, dass der Neunpunktkreis eines Dreiecks den Inkreis und die drei Ankreise ber¨uhrt. Im Verlauf des Beweises werden Formeln f¨ur den Abstand von Umkreismittelpunkt und Inkreismittelpunkt (diese Formel stammt von Euler), f¨ur den Abstand von Umkreismittelpunkt und H¨ohenschnittpunkt und f¨ur den Abstand von Inkreismittelpunkt und H¨ohenschnittpunkt bewiesen. Dieser Beweis ist sehr ¨ahnlich dem urspr¨unglichen Beweis, den Feuerbach gefunden hat.
Im dritten Abschnitt dieses Kapitels werden Vierecke untersucht, die sowohl einen Inkreis als auch einen Umkreis haben. Unter anderem wird gezeigt, dass der Umkreismittelpunkt, der Inkreismittelpunkt und der Diagonalenschnittpunkt auf einer Gerade liegen. Man kann mit den hier verwendeten Methoden auch die Fuss’sche Formel beweisen. Das ist eine Gleichung f¨ur die Radien des Umkreises und des Inkreises und den Abstand ihrer Mittelpunkte.
Im vierten Abschnitt dieses Kapitels werden gleichschenkelige Dreiecke mit gleich großen Basiswinkeln auf den Seiten eines Dreiecks 4ABC aufgesetzt. Verbindet man die Spitzen der aufgesetzten Dreiecke mit den gegen¨uberliegenden Eckpunkten des Dreiecks 4ABC, dann haben diese Verbindungslinien einen gemeinsamen Punkt P. Dieser Punkt P liegt immer auf der Hyperbel, die durch den H¨ohenschnittpunkt, durch den Schwerpunkt und durch die drei Eckpunkte des Dreiecks 4ABC geht.
Im f¨unften Abschnitt dieses Kapitels wird eine Ungleichung f¨ur Dreiecksfl¨achen bewiesen.
Wir spiegeln die Eckpunkte eines Dreiecks an der jeweils gegen¨uberliegenden Dreiecksseite und vergleichen die Fl¨ache des Dreiecks, dessen Eckpunkte die gespiegelten Punkte sind, mit der Fl¨ache des urspr¨unglichen Dreiecks.