S¨ atze ¨ uber einander ber¨ uhrende Kreise

Hat man zwei Kreise oder einen Kreis und eine Gerade, die einander ber¨uhren, dann gilt das auch f¨ur deren Bilder unter einer Inversion, wobei diese Bilder Kreise oder Geraden sind. Das gilt deshalb, weil sich die Anzahl der Schnittpunkte bei der Inversion nicht

¨

andert. Wenn sie einander ber¨uhren, dann haben sie genau einen Schnittpunkt. Die

Bilder haben dann ebenfalls genau einen Schnittpunkt, in dem sie einander ber¨uhren. Ist der Ber¨uhrpunkt zweier Kreise das Inversionszentrum, dann sind die Bilder zueinander parallele Geraden. (Ihr Ber¨uhrpunkt liegt im Unendlichen.)

Wir beginnen mit dem Vierkreisesatz von Descartes.

Satz 128: Seien k1, k2 und k3 Kreise in der komplexen Ebene mit Radien r1, r2 und r₃ und Mittelpunkten m₁, m₂ und m₃, die einander paarweise von außen ber¨uhren. Sei k ein vierter Kreis mit Radius r4 und Mittelpunkt m4. Wird k von den anderen drei Kreisen von außen ber¨uhrt, dann gilt (_r¹

1 + _r¹

42 . Wird k von den anderen drei Kreisen jedoch von innen ber¨uhrt, dann gilt (_r¹

1 + _r¹

Beweis: Wir behandeln zuerst den Fall, dass k die anderen Kreise von außen ber¨uhrt. Sei P(z) = (^m1_r^−z Sei b die komplexe Zahl, die dem Ber¨uhrpunkt der Kreise k1 und k2 entspricht. Wir zeigen, dass P(b) = 0 gilt. Wir verschieben die Figur um den Vektor −b. Dann ist 0 der Ber¨uhrpunkt. Die Mittelpunkte der vier Kreise entsprechen dann den komplexen Zahlen

˜

m₁ =m₁−b, ˜m₂ =m₂−b, ˜m₃ =m₃−b und ˜m₄ =m₄−b.

Da k₁ und k₂ jetzt durch 0 gehen, haben wir |m˜₁| = r₁ und |m˜₂| =r₂. Sei a = ^m˜_r¹

1 . Die komplexe Zahl a hat Betrag 1. Als Vektor zeigt sie von 0 in Richtung ˜m1. Da der Kreis k₂ den Kreis k₁ in 0 ber¨uhrt, zeigt −a von 0 in Richtung ˜m₂. Es gilt somit −a= ^m˜_r²

2 . Wir wenden die Inversion mit Zentrum 0 und beliebigem Inversionsradius an. Da der Kreis k₁ durch das Zentrum 0 geht, ist sein Bild eine Gerade g₁ mit Normalvektor a, die auf derselben Seite von 0 liegt wie k1. Ebenso ist das Bild von k2 eine Gerade g2

mit Normalvektor a, die auf derselben Seite von 0 liegt wie k2. Somit liegt 0 zwischen g1

undg2. Die Geradeng1 undg2 liegen parallel. Ihren Normalabstand bezeichnen wir mit 2s.

k2 k1 ber¨uhren. Sie liegen zwischeng1 undg2 und haben daher beide Radiuss. Ihr Ber¨uhrpunkt entspricht einer komplexen Zahl u. Das Inversionszentrum 0 liegt außerhalb von k3 und k und daher auch außerhalb von l3 und l. Die Kreise k1, k2, k3 und k und ihre Bilder unter der Inversion sind in zwei getrennte Zeichnungen gezeichnet. Diese sind jedoch so

¨

ubereinander zu legen, dass der Vektor a ubereinstimmt.¨

Oben hatten wir bereits ^m˜_r¹

1 = a und ^m˜_r²

2 = −a. Der Ber¨uhrpunkt der Bildkreise l3 und l entspricht der komplexen Zahl u, und ihre Radien sind gleich s. Da a senkrecht zu g1

und g₂ liegt und Betrag 1 hat, entsprechen die komplexen Zahlen u+ias undu−ias den Mittelpunkten der Bildkreise l3 und l. Aus Satz 124 folgt ^m˜_r³

3 = ^u+ias_s und ^m˜_r⁴

Genauso gilt, dassP(z) auch im Ber¨uhrpunkt der Kreisek1undk3und im Ber¨uhrpunkt der Kreise k₂ undk₃ eine Nullstelle hat. Das PolynomP(z) hat Grad 2, aber drei Nullstellen, und muss daher identisch null sein. Nun ist (_r¹

1 + _r¹ Glied im Polynom P(z). Beide sind somit gleich 0.

Im zweiten Fall, in dem k von den anderen drei Kreisen von innen ber¨uhrt wird, liegt l auf der anderen Seite von l3 und das Inversionszentrum 0 ist im Innern von l. Das hat

˜ m3

r₃ = ^u−_s^ias und ₋^m˜_r⁴

4 = ^u+ias_s zur Folge. Es gilt jetzt|u+ias|²−s² <0, daher das Minus-zeichen bei r4. Die Rechnung bleibt dieselbe, es ist nur r4 durch −r4 zu ersetzen.

Wir beweisen folgende Verallgemeinerung von Archimedes’ Formel.

Satz 129: Sei AB eine Strecke der L¨ange 2r und q > 0. Der Punkt C wird auf AB so gew¨ahlt, dass ^CB_AC = q gilt. Sei K1 der Kreis mit Durchmesser AB und K2 der Kreis mit Durchmesser AC. (Die Kreise K1 und K2 ber¨uhren einander in A.) In dem Bereich zwischen K₁ und K₂ liegen weitere Kreise k₀, k₁, k₂, k₃ und so fort, die alle K₁ von innen und K2 von außen ber¨uhren. Weiters ber¨uhren kn und kn+1 einander von außen f¨ur alle n ≥ 0. Sei r_n der Radius des Kreises k_n. Dann existiert ein c ∈ R, sodass

g₁ und g₂, die senkrecht auf die reelle Achse stehen. Der Abstand von g₁ zum Zentrum 0 ist ^R_2r² = 2r und der Abstand vong2 zum Zentrum 0 ist ^R2(1+q)_2r = 2r(1 +q). Die Kreise k0, k₁, k₂, . . . werden auf Kreise l₀, l₁, l₂, . . . abgebildet, die sowohl g₁ als auch g₂ ber¨uhren und somit zwischen diesen beiden Geraden liegen. Weiters ber¨uhren ln und ln+1 einander

von außen f¨ur allen≥0. In der Zeichnung sind nurl0,l1,l2 undl3 dargestellt. Die Radien dieser Kreise sind alle gleich rq, das ist der halbe Normalabstand der Geraden g₁ und g₂. Sei d der Abstand des Mittelpunkts des Kreises l0 von der reellen Achse. Er hat positives Vorzeichen, wenn der Mittelpunkt oberhalb der reellen Achse liegt, sonst negatives. Dem Mittelpunkt des Kreises ln entspricht dann die komplexe Zahl 2r+rq+i(d+ 2nrq). Nach Satz 124 gilt dann f¨ur den Radius r_n des Kreises k_n

rn= _(2r+rq)2+(d+2nrq)^{R2rq 2}−r²q² = _4r2+4r²q+d^24r+4ndrq+4n^{3q 2}r²q²

Setzt man c= _2r^d , so erh¨alt man r_n = _1+q+c2+2cqn+q^{rq 2}n², die gesuchte Formel.

Bemerkung: Liegt in Satz 129 der Mittelpunkt vonk0auf der StreckeAB, dann giltd= 0 f¨ur den im Beweis eingef¨uhrten Abstand. Daraus folgt dann c = 0 und rn = _1+q+q^rq2n². Das ist Archimedes’ Formel.

Liegt k0 oberhalb der StreckeAB und ber¨uhrt diese, dann ber¨uhrtl0 die Verl¨angerung der Strecke AB von oben und es gilt d=rq. Es folgt c= ^q₂ und rn= ₍₁₊^{q rq}

2)²+q²n+q²n². Ubung:¨ Es liege die Situation aus Satz 129 vor. Man zeige _r¹

0 − _r³₁ + _r³

2 − _r¹₃ = 0.

Ubung:¨ Es liege die Situation aus Satz 129 vor. Man zeige _r^j

0 − _rm^m_−j + _r^m

m+j − _r2m^j = 0 und ^2j−1_r

0 − ^2m−1_rm−j + _r^2m−1

m+j−1 − _r^2j−1_2m−1 = 0, wobei m > j ≥1 gilt.

Ubung:¨ Es liege die Situation aus Satz 129 vor, aber der Mittelpunkt des Kreisesk0 liege auf der Strecke AB. Sei dn der Normalabstand des Mittelpunkts des Kreises kn von der Strecke AB. Man zeige, dass dn = 2nrn gilt (Pappos Circle Theorem oder Pappos Chain Theorem). Hinweis: Inversion mit Zentrum A und Inversionsradius p

u²_n−r²_n, wobei un

der Abstand des Mittelpunkts des Kreises k_n vom Punkt A ist. Diese Inversion f¨uhrt k_n in sich selbst ¨uber und ebenso die Gerade ℓ(A, B).

Ubung:¨ Gegeben seien ein Punkt A und zwei Kreise k1 und k2. Man konstruiere einen Kreis k, der durch A geht und k1 und k2 ber¨uhrt. Hinweis: Inversion mit Zentrum A.

Ubung:¨ Gegeben seien zwei Punkte A und B sowie ein Kreis k1. Man konstruiere einen Kreis k, der durch A und B geht und k₁ ber¨uhrt. Hinweis: Inversion mit Zentrum A.

Ubung:¨ Seienk1,k2,k3 undk4Kreise, sodassk1 undk2 einander im PunktP1 von außen ber¨uhren, ebenso k₂ und k₃ im Punkt P₂, k₃ und k₄ im Punkt P₃ und schließlich k₄ und k1 im Punkt P4. Man zeige, dass die Punkte P1, P2, P3 und P4 auf einem Kreis liegen.

Hinweis: Inversion mit Zentrum P₁.

Ubung:¨ Seien l₁ und l₂ Kreise, wobei l₂ innerhalb von l₁ liegt und diesen nicht ber¨uhrt.

Angenommen, es existiere eine Kette von Kreisen k0, k1, . . ., kn−1, die l1 von innen und l₂ von außen ber¨uhren, und von denen jeder den n¨achsten ber¨uhrt, wobei k_n = k₀ sei.

Sei k₀^∗ ein beliebiger Kreis, der l1 von innen und l2 von außen ber¨uhrt. Man zeige, dass eine Kette von Kreisen wie oben existiert, die den Kreis k₀^∗ als Startkreis k₀ hat. Hinweis:

Inversion, die l1 und l2 in Kreise mit gemeinsamen Mittelpunkt ¨uberf¨uhrt.

1. Orientierte Dreiecks߬ache 101

2. Orientierter Normalabstand 103

3. Vierecke 104

4. Die Erd¨os-Mordell-Ungleichung 107

In diesem Kapitel arbeiten wir mit orientierten Dreiecks߬achen und dem orientierten Normalabstand von einer Gerade. Durch die Orientierung erspart man sich Fallunter-scheidungen.

Im ersten Abschnitt dieses Kapitels definieren wir die orientierte Dreiecksfl¨ache und finden einige Rechenregeln. Damit beweisen wir dann den Satz von Ceva mit einigen Erg¨anzungen und den Satz von Routh, der den Satz von Ceva verallgemeinert.

Im zweiten Abschnitt dieses Kapitels f¨uhren wir den orientierten Normalabstand von einer Gerade ein und beweisen eine fundamentale Eigenschaft f¨ur die orientierten Normal-abst¨ande eines Punktes von den Tr¨agergeraden der Seiten eines Dreiecks. Zur Illustration beweisen wir damit einen einfachen Satz ¨uber das Dreieck.

Im dritten Abschnitt dieses Kapitels werden Vierecke untersucht. Wir ¨ubertragen die fundamentale Eigenschaft, die wir im zweiten Abschnitt f¨ur orientierten Normalabst¨ande bewiesen haben, auf orientierte Dreiecksfl¨achen und beweisen sie f¨ur Vierecke. Damit k¨onnen wir dann einen Satz von Newton ¨uber Tangentenvierecke beweisen. Dieser besagt, dass der Inkreismittelpunkt und die Mittelpunkte der beiden Diagonalen auf einer Gerade liegen. Mit derselben Methode erh¨alt man auch einen Beweis f¨ur den Satz von Gauß, der besagt, dass die Mittelpunkte der Diagonalen eines Vierseits auf einer Gerade liegen.

Im vierten Abschnitt dieses Kapitels kommen wir auf die Erd¨os-Mordell-Ungleichung zur¨uck, die bereits in Kapitel I bewiesen wurde. Wir beweisen eine Versch¨arfung dieser Ungleichung. Ist P ein Punkt im Innern eines Dreiecks, dann ist die doppelte Summe der Normalabst¨ande von P zu den Seiten des Dreiecks kleiner oder gleich der Summe der Normalabst¨ande von P zu den Tangenten an den Umkreis in den Eckpunkten des Dreiecks. Den Beweis f¨uhren wir mit Hilfe von orientierten Normalabst¨anden und ein wenig Trigonometrie.