Dreiecks߬ ache

Wir beweisen den folgenden Satz

Satz 52: Sei 4ABC ein Dreieck. Wir spiegeln A an der Seite BC, B an der Seite AC und C an der Seite AB. Die Spiegelpunkte bezeichnen wir mit A,˜ B˜ und C. Sei˜ F die Fl¨ache des Dreiecks4ABC und F˜ die des Dreiecks4A˜B˜C. Dann gilt˜ F˜ ≤5F. Sind alle Winkel des Dreiecks 4ABC kleiner oder gleich 120⁰, dann gilt sogar F˜ ≤4F.

Wir zeigen zuerst

Hilfssatz: Gilt u+v+w= 360⁰, dann auch cosu+ cosv+ cosw≥ −³₂.

Beweis: Es gilt cosw = cos(u+v) = cos^{2 u+v}₂ −sin^{2 u+v}₂ = 2 cos^{2 u+v}₂ −1. Weiters gilt cosu+ cosv= 2 cos ^u+v₂ cos^u−₂^v. Setzt man x = cos^u+v₂ und y = cos^u−₂^v, dann hat man cosu + cosv + cosw = 2xy+ 2x² −1. Nat¨urlich gilt auch x ∈ [−1,1] und y ∈ [−1,1].

F¨ur x ≥0 folgt 2xy+ 2x² −1 ≥ −2x+ 2x²−1 = 2(x− ¹₂)² − ³₂ ≥ −³₂. F¨ur x ≤ 0 folgt 2xy+ 2x²−1≥2x+ 2x²−1 = 2(x+ ¹₂)²− ³₂ ≥ −³₂. Also in jedem Fall ≥ −³₂.

A B

C

C˜

A˜ B˜

Wir bezeichnen die Fl¨ache eines Dreiecks 4U V W mit #U V W. Wir beweisen Satz 52 f¨ur den Fall, dass die Winkel α, β und γ des Dreiecks 4ABC alle ≤ 120⁰ sind. Wir gehen von den Dreiecken4ABC,4ABC,˜

4ABC˜ und 4ABC˜ aus, das ist das ur-spr¨ungliche Dreieck und drei aufgesetzte Dreiecke mit Spitzen ˜A, ˜B und ˜C. Da die aufgesetzten Dreiecke kongruent zum urspr¨unglichen Dreieck und wegen der Vo-raussetzung, dass alle Winkel ≤120⁰ sind, auch paarweise disjunkt sind, haben die vier Dreiecke zusammen Fl¨ache 4F. Wir wollen das Dreieck4A˜B˜C˜ erhalten. Dazu m¨ussen wir das Dreieck4AB˜C˜ wegschnei-den, wenn ]BA˜ C˜ = 3α kleiner als 180⁰ ist und sonst dazugeben. Analog verfahren wir mit den Dreiecken4AB˜ C˜und4A˜BC˜ . Nun gilt aber #AB˜C˜ = ^bc₂ sin 3α, wenn 3α < 180⁰ ist, und #AB˜C˜ = −^bc₂ sin 3α,

wenn 3α≥180⁰ ist. Die Fl¨ache der vier Dreiecke, nachdem wir 4AB˜C˜ im Fall 3α <180⁰ weggeschnitten oder im Fall 3α ≥ 180⁰ dazugegeben haben, ist 4F − ^bc₂ sin 3α. Hat man dasselbe auch mit den Dreiecken 4AB˜ C˜ und 4A˜BC˜ getan, dann verbleibt die Fl¨ache 4F − ^bc₂ sin 3α− ^ac₂ sin 3β− ^ab₂ sin 3γ. Das ist die Fl¨ache ˜F des Dreiecks 4A˜B˜C.˜

Nun gilt F = ^bc₂ sinα = ^ac₂ sinβ = ^ab₂ sinγ. Damit erhalten wir

F˜ = 4F −F^{sin 3α}_sinα −F^{sin 3β}_sinβ −F^{sin 3γ}_sinγ =F(4− ^{sin 3α}_sinα − ^{sin 3β}_sinβ − ^{sin 3γ}_sinγ )

Es ist also 4− ^{sin 3α}_sinα − ^{sin 3β}_sinβ − ^{sin 3γ}_sinγ ≤4 zu zeigen, das heißt ^{sin 3α}_sinα + ^{sin 3β}_sinβ + ^{sin 3γ}_sinγ ≥0.

Wegen sin 3α = 3 sinαcos²α−sin³α erhalten wir

sin 3α

sinα = 3 cos²α−sin²α = 1 + 2 cos²α−2 sin²α = 1 + 2 cos 2α Macht man das auch f¨ur die anderen Winkel, so hat man

sin 3α

sinα + ^{sin 3β}_sinβ + ^{sin 3γ}_sinγ = 3 + 2 cos 2α+ 2 cos 2β+ 2 cos 2γ Das ist ≥3−2· ³₂ = 0 nach dem Hilfssatz, da ja 2α+ 2β+ 2γ = 360⁰ gilt.

A B

C

C˜ A˜

B˜ Wir beweisen den Satz f¨ur den Fall, dass γ > 120⁰ gilt. In diesem Fall berechnen wir ˜F als Summe der Fl¨achen der drei Dreiecke 4A˜BC˜ , 4A˜CC˜ und 4B˜CC. Sollte˜ der Punkt C nicht im Dreieck 4A˜B˜C˜ liegen, dann ist die Fl¨ache des Dreiecks 4A˜CC˜ oder die des Dreiecks 4B˜CC˜ nicht zu addieren, sondern zu subtrahieren. Das geschieht wieder automatisch, da dann der Winkel, der unten bei der Berechnung der Fl¨ache dieses Dreiecks verwendet wird, gr¨oßer als 180⁰ und der sin dieses Winkels somit negativ ist.

Wegen ]AC˜ B˜ = 3γ −360⁰ folgt # ˜ABC˜ = ¹₂absin(3γ −360⁰). Da |CC˜| die doppelte H¨ohe durch C ist, gilt |CC˜| = 2bsinα = 2asinβ. Wegen ]AC˜ C˜ = 360⁰−(γ+ 90⁰−β) und ]BC˜ C˜ = 360⁰ − (γ + 90⁰ −α) erhalten wir

# ˜ACC˜ = basinβsin(360⁰ − (γ + 90⁰ − β)) und ebenso # ˜BCC˜ =absinαsin(360⁰−(γ+ 90⁰−α)).

Die Summe dieser Fl¨achen ist ˜F. N¨utzt man, dass sin(φ−360⁰) = sinφ und sin(360⁰ −φ) = −sinφ gilt und F = ¹₂absinγ, dann ergibt sich

F˜ =F(^{sin 3γ}_sinγ −^{2 sinβsin(γ+90}_sinγ ^0−β)−^{2 sinαsin(γ+90}_sinγ ^0−α)) Wegen sin(90⁰−φ) = cosφwird das zu

F˜ =F(^{sin 3γ}_sinγ − ^{2 sinβ}_sin^cos(β_γ ^−γ) − ^{2 sinα}_sin^cos(α_γ ^−γ)) Nun gilt cos(φ−γ) = cosφcosγ + sinφsinγ und 2 sinφcosφ= sin 2φ. Damit erh¨alt man

F˜ =F(^{sin 3γ}_sinγ −^cosγ(sin 2α+sin 2β)

sinγ −2 sin²α−2 sin²β)

F¨ur die Winkel eines Dreiecks gilt sin 2α+ sin 2β+ sin 2γ = 4 sinαsinβsinγ. (Diese Glei-chung beweist man am besten mit Hilfe der Eulerformel: sinφ= ^eiφ−_2i^e−iφ.) Damit folgt

F˜ =F(^{sin 3γ+cos}_sinγ^{γsin 2γ} − ^{4 cosγsin}_sin^α_γ^sinβsinγ −2 sin²α−2 sin²β)

Wegen sin 3γ = 3 sinγcos²γ−sin³γ = sinγ(4 cos²γ −1) und sin 2γ = 2 sinγcosγ folgt F˜ =F(6 cos²γ−1−4 cosγsinαsinβ−2 sin²α−2 sin²β)

Nun sind sinα und sinβ gr¨oßer als 0. Somit gilt 4 cosγsinαsinβ + 2 sin²α+ 2 sin²β ≥

−4 sinαsinβ+ 2 sin²α+ 2 sin²β = 2(sinα−sinβ)² ≥0. Da auch cos²γ ≤1 gilt, erhalten wir schließlich ˜F ≤5F.

Ubung:¨ Seig(x) = (3−4x²)(1 + 4x²) = 3 + 8x²−16x⁴. F¨ur ein gleichschenkeliges Dreieck mit α = β zeige man ˜F = F · |g(cosα)|. Man bestimme lokale Extrema und Nullstellen vong(x) f¨urx∈[0,1]. Hinweis: In den oben gefundenen Formeln setzt man β =α. Es gilt sin²α = 1−cos²αund cosγ = cos(180⁰−2α) =−cos(2α) = sin²α−cos²α= 1−2 cos²α.

1. Gergonnepunkt, Nagelpunkt und Mittenpunkt 48

2. Bevanpunkt, Spiekerpunkt und Longchampspunkt 50

3. Weitere Geraden und der Symmedianpunkt 52

Die bekannten besonderen Punkte eines Dreiecks 4ABC sind der Schwerpunkt S, der H¨ohenschnittpunkt H, der Umkreismittelpunkt U und der Inkreismittelpunkt I. Die Punkte U, S und H liegen auf der Eulergerade, wobei _SH^SU = −¹₂ gilt. Neben diesen bekannten Punkten werden wir weitere besondere Punkte untersuchen.

Im ersten Abschnitt dieses Kapitels behandeln wir den Gergonnepunkt G, den Nagel-punkt N und den Mittenpunkt T. Jeder dieser Punkte ist der Schnittpunkt von drei speziellen Geraden. Wir zeigen, dass die Punkte S, I und N auf einer Gerade liegen, ebenso die Punkte S, T und G.

Im zweiten Abschnitt dieses Kapitels f¨uhren wir den Bevanpunkt V ein. Er ist der Schnittpunkt der Senkrechten von den drei Ankreismittelpunkten auf die jeweils n¨ achstlie-gende Dreiecksseite. Weiters werden der Spiekerpunkt K, das ist der Inkreismittelpunkt des Seitenmittendreiecks, und der LongchampspunktL, das ist der am Umkreismittelpunkt U gespiegelte H¨ohenschnittpunktH, eingef¨uhrt. Wir zeigen, dass U der Mittelpunkt der Strecke IV, dass K der Mittelpunkt der Strecke V H, und dass V der Mittelpunkt der Strecke LN ist.

Im dritten Abschnitt dieses Kapitels wird es rechenintensiv. Wir finden einen weiteren besonderen Punkt, den Symmedianpunkt E. Er ist der Schnittpunkt der drei Symmedi-anen, das sind die an den Winkelsymmetralen gespiegelten Schwerlinien. Außerdem finden wir weitere Geraden, auf denen drei besondere Punkte liegen. Der Longchampspunkt L, der Gergonnepunkt G und der Inkreismittelpunkt I liegen auf einer Geraden. Der Mittenpunkt T liegt auf der Gerade durch V, K und H. Der Symmedianpunkt E, der Inkreismittelpunkt I und der Mittenpunkt T liegen ebenfalls auf einer Geraden.

Den Abschluss bildet eine Zeichnung der besonderen Punkte und der Geraden, auf denen sie liegen.

Die Beweise sind im Wesentlichen synthetisch. Haupts¨achlich werden der Strahlensatz und der Satz von Ceva verwendet. Es wird aber auch auf den Cosinussatz und den Sinussatz zur¨uckgegriffen.

Wir verwenden folgende Bezeichnungen. Die Seitenl¨angen des Dreiecks4ABC nennen wira,bundcunds= ¹₂(a+b+c) ist der halbe Umfang. Den Inkreis des Dreiecks bezeichen wir mit k und seinen Radius mit ϱ. Die Ankreise bezeichnen wir mit k_a, k_b und k_c, ihre Radien mit ϱa, ϱb und ϱc und ihre Mittelpunkte mit Ia, Ib und Ic. Die Mittelpunkte der Dreiecksseiten nennen wir Ma, Mb und Mc und die Punkte, in denen der Inkreis die Dreieckseiten ber¨uhrt, nennen wirPa,Pb und Pc. Weiters seiQader Punkt, in dem ka die SeiteBC ber¨uhrt,Qb der Punkt, in demkb die SeiteAC ber¨uhrt undQc der Punkt, in dem kc die Seite AB ber¨uhrt. Sehr oft werden wir die Abst¨ande dieser Ber¨uhrpunkte von den Eckpunkten des Dreiecks verwenden. Es gilt |APc|=|APb|=s−a, |BPc|=|BPa|=s−b und |CP_a| = |CP_b| =s−c. Ebenso gilt |BQ_c| = |CQ_b| = s−a, |AQ_c| =|CQ_a| = s−b und |BQa|=|AQb|=s−c.