Time intervall in quarters between consecutive reappraisals of NPI-properties
4 Eine Monte Carlo-Studie über die Auswirkungen von Bewertungsphänomenen auf die Abbildung der
4.2 Die Simulation des Einflusses der Bewertungsphänomene auf die Zeitreihen von Werten für einzelne Immobilien und auf die Zeitreihen von Werten für einzelne Immobilien und auf die
4.2.3 Die Simulation von veralteten Bewertungen und von saisonal unregelmäßigen Bewertungen
Für die Simulationen der durch das Phänomen der veralteten Bewertungen veränderten Zeitreihen von Werten für die einzelnen Immobilien und die Perioden aus der Zeitreihe der Marktwerte werden zunächst die Quartale der (externen) Neubewertungen per Zufallsauswahl festgelegt. Dafür wird der Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen , der Wert eins mit der Wahrscheinlichkeit und der Wert null mit der Wahrscheinlichkeit zugeordnet. Dabei indiziert , dass eine Immobilie in dem Quartal erneut bewertet wird, und , dass sie nicht erneut bewertet wird, sondern der jüngste aktuelle Schätzwert aus den Vorperioden als Immo-bilienwert in die laufende Periode übernommen wird. Die Quartale der Neubewertungen sind über die Immobilien und alle Quartale unabhängig und identisch verteilt, d. h.
.
Sofern eine Realisation der Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen eine Neubewertung für eine Immobilie in einem Quartal anzeigt , wird der Wert der durch das Phänomen der veralteten Bewertungen veränderten Zeitreihe gleich dem Marktwert für den Zeitpunkt t gesetzt.91 Sofern die Realisation der Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen keine Neubewertung anzeigt ( ), wird der Wert der durch das Phänomen der veralteten Bewertungen veränderten Zeitreihe gleich dem unmittelbaren Vorgängerwert in der Zeitreihe gesetzt. Davon abweichend wird der Anfangswert einer durch das Phänomen der veralteten Bewertungen veränderten Zeitreihe gleich dem Anfangswert der Zeitreihe der Marktwerte gesetzt, d. h. :
(18)
91 In diesem Fall verursachen neben dem Phänomen der veralteten Bewertungen keine weiteren Bewertungs-phänomene Veränderungen der Immobilienwerte. Für ein Szenario, bei dem zusätzlich das Phänomen der nicht-äquidistanten Bewertungen Veränderungen von Immobilienwerten verursacht, ist der Marktwert durch den entsprechenden Wert zu ersetzen.
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Sofern die Zeitreihe zusätzlich durch das Phänomen der Saisonalität in den Bewertungen verändert wird, spiegelt sich dies in unterschiedlichen Werten für die Wahrscheinlichkeiten einer Neubewertung in den vier Jahresquartalen wider. Zumindest für ein Jahresquartal ist die Wahrscheinlichkeit bzw. relative Häufigkeit für eine Neubewertung eine andere als in den drei übrigen Jahresquartalen:
92
(19)
In den Monte Carlo-Studien werden für Sensitivitätsanalysen Szenarien durchgespielt, bei denen nur das Phänomen der veralteten Bewertungen Veränderungen von Zeitreihenwerten verursacht. Für das NPI-Referenzszenario wird aber angenommen, dass die Zeitreihen u. a.
auch durch das Phänomen der nicht-äquidistanten bzw. nicht-synchronen Bewertungen verändert werden. Dann ist in den Formulierungen durch zu ersetzen. Es handelt sich also um einen zweistufigen Ansatz der Simulation beider Phänomene, bei dem die nicht-äquidistanten bzw. nicht-synchronen Bewertungszeitpunkte und die Perioden der Neube-wertungen nacheinander und unabhängig voneinander per Zufallsauswahl ausgewählt werden.
Die durch das Phänomen der veralteten Bewertungen (bzw. durch das Phänomen der Saiso-nalität in den Bewertungen) veränderten Renditen für eine einzelne Immobilie und eine Periode werden wie folgt errechnet:
(20) Der Wert einer durch das Phänomen der veralteten Bewertungen (und das Phänomen der Saisonalität in den Bewertungen) veränderten Indexrendite für die Periode wird als Durchschnitt der Renditen für die einzelnen Immobilien errechnet:
92 Dabei wird mit dem Befehl „floor“ im Programmiercode auf den nächsten ganzzahligen Wert abgerundet.
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(21)
Die Werte einer durch das Phänomen der veralteten Bewertungen (und das Phänomen der Saisonalität in den Bewertungen) veränderten Indexzeitreihe werden aus den korrespon-dierenden Indexrenditen errechnet:
(22) Die Wahrscheinlichkeiten für Neubewertungen in den einzelnen Jahresquartalen werden aus der Abbildung 3 geschätzt. Darüber hinaus werden die Wahrscheinlichkeiten der Neubewer-tungen in den Jahresquartalen im Rahmen von Sensitivitätsanalysen variiert.
4.2.4 Eine Variante der Simulation äquidistanter bzw. nicht-synchroner und veralteter Bewertungen bei Annahme Weibull-verteilter Zeitabstände zwischen Bewertungszeitpunkten
Aus der Abbildung 4 werden Informationen gewonnen, die für einen alternativen Ansatz zur Simulation der in Kombination in einer Zeitreihe von Immobilienwerten auftretenden Phänomene der veralteten und nicht-äquidistanten bzw. nicht-synchronen Bewertungen verwendet werden. Allerdings wird das Phänomen der Saisonalität in den Bewertungen bei diesem Ansatz nicht berücksichtigt. Da die Auswirkungen des Phänomens der Saisonalität in den Bewertungen auf die in der Studie fokussierten Zeitreiheneigenschaften Standard-abweichung und Mittelwert jedoch (wie sich herausstellen wird) eher vernachlässigbar gering sind, scheint diese alternative Vorgehensweise der Simulation vertretbar zu sein.
Sofern aus beiden alternativen Ansätzen zur Simulation der im NPI gemeinsam auftretenden Phänomene veraltete Bewertungen und nicht-synchrone Bewertungen – d. h. dem im vorherigen Abschnitt vorgestellten zweistufigen Ansatz und dem im Folgenden vorgestellten Ansatz ihrer gemeinsamen Simulation unter Verwendung einer Weibull-Verteilung – annähernd übereinstimmende Ergebnisse erzielt werden, wird dieses als Beleg für ihre Richtigkeit gewertet.
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Die Werte aus dem Histogramm (Abbildung 4) werden zur Modellierung des Eintretens des
„mehrperiodigen“ (d. h. periodenübergreifenden) Ereignisses „Bewertung“ verwendet.93 Die Verwendung eines mehrperiodigen Ansatzes ist sinnvoll, wenn nicht in jeder Periode ein neues Ereignis eintritt, d. h. in Bezug auf den vorliegenden Sachverhalt, dass eine Immobilie nicht jede Periode erneut (extern) bewertet wird. Bei diesem Ansatz wird die periodenüber-greifende Zeitspanne in Arbeitstagen zwischen zwei Bewertungstagen für eine einzelne Immobilie als Zufallsvariable modelliert bzw. simuliert. Grundsätzlich kann jeder Arbeitstag in einer Periode zufällig als Bewertungstag ausgewählt werden, und die Möglichkeit besteht, dass eine Periode übersprungen wird. Daher werden die Phänomene veralteter und nicht-äquidistanter Bewertungen gemeinsam durch diesen Ansatz berücksichtigt. Ein zeitlich eingeschränktes Bewertungsfenster innerhalb einer Periode, wie es durch die IPD-Indexregeln vorgeschrieben wird, berücksichtigt der Ansatz nicht. Für die Simulation der Zeitabstände zwischen unmittelbar aufeinander folgenden Bewertungstagen ist die Weibull-Verteilung geeignet (Abschnitte 3.1.2 und 3.2.3). Die Weibull-Weibull-Verteilung hat die Verteilungsfunktion η . Es wurde eine Weibull-Verteilung mit den geschätzten Parameterwerten η und gewählt (siehe Abschnitt 3.2).
Aus der Weibull-Verteilung mit den genannten Parameterwerten werden für die einzelnen Immobilien unabhängig voneinander die zeitlichen Abstände in Arbeitstagen zwischen jeweils zwei Bewertungstagen gezogen.94 Die Initialwerte der durch die Phänomene veränderten Zeitreihen für die Immobilien werden gleich dem Initialwert der Zeitreihe der Marktwerte gesetzt.
Die veralteten und nicht-äquidistanten Werte für eine einzelne Immobilie werden wie folgt simuliert:
(23)
93 Vgl. die Ausführungen in Abschnitt 3.2 zu ein- und mehrperiodigen Ansätzen.
94 Die aus einer Weibull-Verteilung generierten Zufallszahlen sind reellwertig. Zur Ermittlung der zeitlichen Abstände in Arbeitstagen zwischen unmittelbar aufeinander folgenden Bewertungen werden die Zufallszahlen mit der Anzahl der Arbeitstage pro Periode multipliziert und auf volle Werte gerundet.
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and
and
Die durch die Phänomene der nicht-äquidistanten und veralteten Bewertungen veränderte Rendite für eine einzelne Immobilie und eine Periode wird wie folgt errechnet:
(24) Der Wert einer durch die Phänomene der nicht-äquidistanten und veralteten Bewertungen veränderten Indexrendite für die Periode wird als Durchschnitt der veränderten Renditen für die einzelnen Immobilien errechnet:
(25)
Die Werte eines durch die Phänomene der veralteten und nicht-synchronen Bewertungen veränderten Index werden aus den korrespondierenden Indexrenditen errechnet:
(26)