Definition. Eine Funktion a ∈ C(G) heißt Matrixelement(oder representative function), wenn es zwei Vektorenu,v eines endlichdimensionalenG-Moduls derart gibt, daßa(g) = hv, guif¨ur alle g∈G ist.
2.6. Die S¨atze von Peter und Weyl 29 Isomorphe endlichdimensionale G-Moduln liefern die gleichen Matrixelemente. Im folgenden wird oft benutzt werden, daß die Menge der Matrixelemente von G eine unter Konjugation abgeschlossene Algebra bildet. [Die Summe zweier Matrixelemente ist ein solches der direkten Summe, das Produkt eines vom Tensorprodukt und das Konjugierte eines Matrixelementes eines vom dualen Modul.] Das kann man ausnutzen, um den Approximationssatz von Peter-Weyl auf eine andere Art zu beweisen. Siehe dazu die Bemerkungen im Anschluß den Beweis.
Approximationssatz 2.20 (Peter-Weyl). Die Matrixelemente liegen bez¨uglich der Supremumsnorm dicht inC(G).
Entscheidend f¨ur den Beweis dieses Satzes ist der Spektralsatz f¨ur kompakte selbstadjungierte Ope-ratoren, demzufolge ein solcher OperatorAals in Operatornorm unbedingt konvergente Reihe
A= X
λ∈σp(A)
λPλ
geschrieben werden kann, wobeiPλ die Orthogonalprojektion auf den Eigenraum zum (reellen) Eigen-wertλ ist. Die Bilder derPλ sind paarweise orthogonale Unterr¨aume, deren direkte Summe der ganze Hilbertraum ist, und f¨urλ6= 0 endlichdimensional [Wer95, Kor. VI.3.3].
Beweis (des Approximationssatzes). (i) Jedesa∈C(G) l¨aßt sich beliebig genau durch (stetige) Funk-tionenL(b)amit b∈C(G), ˜b=b, approximieren:4Weilagleichm¨aßig stetig ist, gibt es zu jedem >0 eine symmetrische Umgebung U von 1∈ Gmit g ∈U h⇒ |a(g)−a(h)| ≤. Nach dem Urysohnschen Lemma existiert eine stetige, nichtnegative Funktion c6= 0 aufGmit Tr¨ager inU [Gnormal]. Seibdas aufR
b= 1 normierte Vielfache vonc+ ˜c. Dann ist ˜b=b und wegen suppb⊂U
|(L(b)a)(g)−a(g)|=|(b∗a)(g)−a(g)|= Z
b(gh−1)(a(h)−a(g))dh≤ Z
b(gh−1)|a(h)−a(g)|dh≤ f¨ur alleg∈Gund damitkL(b)a−ak∞≤.
Also gen¨ugt es f¨ur den Beweis des Approximationssatzes zu zeigen, daß die Matrixelemente den FunktionenL(b)abeliebig nahe kommen. F¨ur die folgenden Beweisschritte bezeichne ich den regul¨aren Modul genauer als linksregul¨aren Modul, um ihn vom rechtsregul¨aren Modul (Modulstruktur aufL2(G) verm¨ogeR) zu unterscheiden.
(ii) Die Operatoren L(b) ∈B(L2(G)) mit ˜b =b sind kompakte, selbstadjungierte G-Endomorphis-men des rechtsregul¨aren Moduls: Alle Operatoren R(g) sind Morphismen des linksregul¨arenG-Moduls und damit auch des linksregul¨arenL2(G)-Moduls [Satz 2.13]. Also sind die OperatorenL(b) Morphismen des rechtsregul¨arenG-Moduls. Die Kompaktheit vonL(b) wurde in Satz 2.17 bewiesen, die Selbstadjun-giertheit folgt aus ˜b=b [L∗-Morphismus].
(iii) F¨ur λ 6= 0 enth¨alt der Eigenraum eig(L(b), λ) von L(b) nur Matrixelemente: Die Eigenr¨aume von L(b) sind Untermoduln des rechtsregul¨aren Moduls. Sie enthalten nur stetige Funktionen, denn eig(L(b), λ) =λ−1L(b) eig(L(b), λ), und sind endlichdimensional [L(b) kompakt]. Definiert man die Ab-bildung eig(L(b), λ)0 3 τ:c 7→ c(1), dann kann jedes c ∈ eig(L(b), λ) in der Form c(g) = τ(R(g)c) geschrieben werden, also als Matrixelement.
(iv) JedesL(b)akann in Supremumsnorm beliebig genau durch Matrixelemente approximiert werden:
Gem¨aß dem Spektralsatz f¨ur kompakte selbstadjungierte Operatoren kannL(b) als Reihe L(b) = X
λ∈σp(L(b))
λPλ
geschrieben werden, wobeiPλdie Orthogonalprojektion auf den Eigenraum zum Eigenwertλist. Schreibt man jetzt a = ⊕λaλ, aλ ∈ eig(L(b), λ), dann istL(b)a= ⊕λ6=0λaλ (Konvergenz in Supremumsnorm) [L(b):L2(G)→C(G) stetig].
Damit ist der Satz bewiesen.
4An dieser Stelle ist die Stetigkeit vonbnicht wirklich n¨otig. Schaut man sich den Beweis an, so ließe er sich sogar etwas verk¨urzen, wenn man (bis auf Normierung)b= 1Usetzte. Allerdings l¨aßt sich die Theorie bis hierher – und weiter – entwik-keln, indem man den RaumL2(G) als Vervollst¨andigung vonC(G) unter dem kanonischen Skalarprodukt definiert, ohne genaue Kenntnis dar¨uber zu haben, wie Elemente dieses Raumes konkret aussehen. Daher erscheint es mir angemessener, hier auf maßtheoretische Konzepte zu verzichten.
Mit diesem Resultat lassen sich jetzt recht einfach wichtige Aussagen ¨uber die Darstellungen kom-pakter Gruppen beweisen, etwa diejenige, daß die endlichdimensionalen einfachen Darstellungen vonG die Punkte vonGtrennen: Zu jedemg6= 1 existiert eine solche DarstellungT mitT(g)6= 1. [Nach dem Urysohnschen Lemma gibt es eine stetige Funktion a mit a(g)6=a(1). Der Approximationssatz liefert nun, daß dann auch ein Matrixelement b mit b(g) 6=b(1) existiert.] Zu verwandten Resultaten sei auf [Rob83, Sec. I.4] verwiesen.
Alternativ zu dem hier gef¨uhrten Beweis des Approximationssatzes kann man auch als erstes zeigen, daß die Matrixelemente die Punkte von G trennen (wobei man ebenfalls auf die Theorie kompakter selbstadjungierter Operatoren in Hilbertr¨aumen zur¨uckgreift). Mit Hilfe des Satzes von Stone-Weierstraß folgt dann aus der Beobachtung, daß die Matrixelemente eine unter Konjugation abgeschlossene Algebra bilden, mit einem Schlage das gew¨unschte Resultat [ˇZel73,§31].
Der RaumL2(G) ist sowohl bez¨uglich der regul¨aren DarstellungLals auch bez¨uglichReinG-Modul.
DaLundRmiteinander vertauschen, kann man L2(G) alsG×G-Modul auffassen verm¨oge ((g1, g2), a)7→L(g1)R(g2)a=R(g2)L(g1)a.
Mit Hilfe des Approximationssatzes kann nun die Zerlegung vonL2(G) in einfache Moduln durchgef¨uhrt werden.
Fundamentalsatz 2.21 (Peter-Weyl). SeiU eine Repr¨asentantensystem endlichdimensionaler, ein-facherG-Moduln. Dann ist die Abbildung
L2(G) ← M
U∈U
U0⊗U, (6)
g7→√
dimUhv, gui
←7 v0⊗u f¨uru∈U, v0∈U0 ein isometrischer Isomorphismus vonG×G-Moduln.
Dabei sind alle R¨aumeU0⊗U als ¨außere TensorprodukteG×G-Moduln und damit auch die direkte Summe [Satz 2.6]. Die Darstellung auf dem FaktorU0 entsprichtL, die auf U der Darstellung R. Die Wohldefiniertheit der Abbildung wird sich aus dem Beweis ergeben.
Beweis. (i) Sei φ die Einschr¨ankung von (6) auf die algebraische direkte Summe La
U∈UU0⊗U. Die Orthogonalit¨atsrelationen zeigen die Isometrie vonφ. Folglich l¨aßt sichφ aufL
U∈UU0⊗U fortsetzen;
die Fortsetzung sei mitφbezeichnet.
(ii) Das Bild von φ sind die Matrixelemente von G: Jedes φ(v0⊗u) ist Matrixelement von einem einfachen G-Modul, und damit sind alle Matrixelemente von einfachen G-Moduln in imφ enthalten [isomorphe G-Moduln liefern die gleichen Matrixelemente]. Die Summe solcher Vektoren ist dann ein Matrixelement auf der direkten Summe der entsprechenden Moduln, und jedes Matrixelement erh¨alt man auf diese Art [Zerlegung desG-Moduls in einfache].
(iii) φ G×G-Morphismus: Es reicht, dies f¨ur die Einschr¨ankungen auf U0⊗U nachzuweisen. Da φ(U0⊗U)⊂C(G) ist, kann man rechnen:
φ (g1, g2)(v0⊗u)
(h) = φ((g1v)0⊗g2u)(h) =√
dimUhg1v, hg2ui=√
dimUhv, g−11 hg2ui
= L(g1)R(g2)φ(v0⊗u)
(h) = (g1, g2)φ(v0⊗u) (h).
(iv) φsurjektiv: Nach dem Approximationssatz liegen die Matrixelemente, also das Bild vonφ, dicht in C(G) bez¨uglich der Supremumsnorm. Damit liegen sie aber auch in L2-Norm dicht in C(G) und folglich auch inL2(G) [Satz 1.3]. Daφisometrisch ist, ist es auch surjektiv.
Dieser Satz zeigt, daß der RaumL2(G) eine direkte Summe paarweise nichtisomorpher, endlichdimen-sionaler, einfacherG×G-Untermoduln ist, wobei jeder Isomorphietyp [U] endlichdimensionaler, einfacher G-Moduln einen Summanden'U0⊗U beisteuert [paarweise nichtisomorph, einfach: betrachte Charak-tere]. Schr¨ankt man die Darstellung zu LoderR (also einen Faktor vonG×G) ein, so zerlegt sich ein solcher Summand in dimU einfache G-Moduln. Man hat also im Vergleich zu endlichen Gruppen ganz analoge Verh¨altnisse, wobei entscheidend ist, daß in dieser Zerlegung keine unendlichdimensionalen einfa-chenG-Moduln auftreten – eine Eigenschaft, die letztlich in der Kompaktheit vonGbegr¨undet ist. Nicht kompakte Gruppen k¨onnen unendlichdimensionale irreduzible Darstellungen besitzen; ein physikalisch bedeutendes Beispiel daf¨ur ist die (eigentliche) Lorentzgruppe und ihre universelle ¨UberlagerungSL2.
2.6. Die S¨atze von Peter und Weyl 31 Korollar 2.22. Das Zentrum der Gruppenalgebra ist
Z(L2(G)) = M
χ∈X(G)
Cχ.
Beweis. Korollar 2.19(b) zeigt, daß die Charaktere einfacherG-Moduln mit allen Matrixelementen ver-tauschen, also aufgrund der Stetigkeit der Faltung mit allen Elementen der Gruppenalgebra. Das beweist die eine Inklusion. Sei umgekehrt a ∈ Z(L2(G)) mit Zerlegung a =⊕aU, aU ∈ U0⊗U, verm¨oge (6).
Nun ista∗b=aU∗b f¨ur ein Matrixelementb ausU, und die Faltung der Matrixelemente ausU ist bis auf Skalierung die gew¨ohnliche Matrixmultiplikation [Korollar 2.19(a)]. WegenZ(End(U)) =Cid istaU
dann ein Vielfaches des CharaktersχU.
Beispiel 2.23. SeiG=U(1)'SO(2)≈S1⊂C. DaGabelsch ist, sind alle irreduziblen Darstellungen vonGeindimensional [Schur] und daher mit den irreduziblen Charakteren identisch. (Es ist ¨ubrigens nicht schwer, mit dem Fundamentalsatz die Umkehrung zu zeigen.) F¨ur jedes λ∈Nist
ψλ:G→U(1), z7→zλ,
eine Darstellung von G. Da die lineare H¨ulle der ψλ eine unter Konjugation abgeschlossene Algebra bildet, die Konstanten enth¨alt [ψ0 = 1] und die Punkte von G trennt [ψ1 = id], gibt es keine weiteren irreduziblen Charaktere [Stone-Weierstraß]. Der Fundamentalsatz ist in diesem Falle nichts anderes als eine Reformulierung des aus der Theorie der Fourierreihen bekannten Resultates, daß die Funktionenψλ
eine Orthonormalbasis des RaumesL2(S1) bilden.
Dieses Beispiel illustriert einen bemerkenswerten Punkt: Falls eine endlichdimensionale DarstellungU vonGbereits die Punkte vonGtrennt (im Beispielψ1), dann sind in den Tensorprodukten der Form
U⊗m⊗U0⊗n, m, n∈N,
bereitsalle Isomorphieklassen endlichdimensionaler, einfacher Moduln vertreten. Der Beweis dieser Be-hauptung erfolgt wiederum mit dem Satz von Stone-Weierstraß: Die Matrixelemente von Tensorproduk-ten der angegebenen Gestalt bilden eine unter Konjugation abgeschlossene UnteralgebraA von C(G) (mit der gew¨ohnlichen Multiplikation), die die Punkte von G trennt [U⊗1⊗U0⊗0] und die Konstan-ten enth¨alt [U⊗0⊗U0⊗0]. Gem¨aß dem Satz von Stone-Weierstraß liegt A dicht inC(G) bez¨uglich der Supremumsnorm und damit auch dicht inL2(G). Folglich kann es keinen nicht in solchen Tensorproduk-ten auftreTensorproduk-tenden endlichdimensionalen, einfachenG-Modul geben, denn dessen Matrixelemente l¨agen im orthogonalen Komplement vonA.
Wie schon bemerkt, pr¨uft man mit Hilfe der Charaktere leicht nach, daß bei der Zerlegung vonL2(G) in einfache G×G-Untermoduln die einzelnen Summanden paarweise nichtisomorph und einfach sind.
Allgemeiner gilt f¨urG-ModulnU1,U2undH-ModulnV1,V2, alle endlichdimensional und einfach, U1⊗V1'U2⊗V2 ⇐⇒ U1'U2 und V1'V2.
Die so erhaltenenG×H-Moduln sind einfach, und alle einfachenG×H-Moduln erh¨alt man so:
Korollar 2.24. Seien U und V Repr¨asentantensysteme endlichdimensionaler, einfacher G- bzw. H -Moduln. Dann ist {U ⊗V : U ∈ U, V ∈ V} ein Repr¨asentantensystem endlichdimensionaler, einfacher G×H-Moduln.
Beweis. Zu zeigen ist noch die Vollst¨andigkeit des Repr¨asentantensystems. Gem¨aß Satz 1.11 und dem Fundamentalsatz, angewandt aufGundH, ist
L2(G×H) = L2(G)⊗L2(H) = M
U∈U
U0⊗U
⊗ M
V∈V
V0⊗V
= M
(U,V)∈U ×V
(U⊗V)0⊗(U⊗V).
Unter den angewandten kanonischen Isomorphien wird (u02⊗v20)⊗(u1⊗v1)∈(U ⊗V)0⊗(U⊗V) auf das Matrixelement
(g, h)7→ hu2, gu1ihv2, gv1i=hu2⊗v2, g(u1⊗v1)i
vonG×H abgebildet, also wie in Abbildung (6). Weil die direkte Summe dieserG×H-Moduln bereits ganz L2(G×H) ist, folgt aus dem Fundamentalsatz, daß G×H keine weiteren Isomorphieklassen
endlichdimensionaler, einfacher Moduln besitzt.
Abschließend sei noch eine Beobachtung formuliert, die im n¨achsten Abschnitt ben¨otigt wird. Dabei sei zu einen irreduziblen Charakterχdie stetige Funktioneχ=χ(1) ¯χdefiniert. (χ(1) ist die Dimension der zuχgeh¨orenden einfachenG-Moduln.)
Korollar 2.25.
(a) Der OperatorL(eχ)ist Orthogonalprojektion auf den (eindeutig bestimmten) endlichdimensionalen, einfachen G×G-Untermodul vonL2(G)mit Charakter (g1, g2)7→χ(g1) ¯χ(g2).
(b) F¨ur jedesa∈L2(G) ist
a= X
χ∈X(G)
L(eχ)a.
Beweis. Gem¨aß den Orthogonalit¨atsrelationen f¨ur Charaktere (Korollar 2.19) ist f¨ur ein Matrixelementb eines endlichdimensionalen, einfachenG-Moduls mit Charakterψ
L(eχ)b=
b χ=ψ 0 χ6=ψ .
Also ist (in der Notation des Beweises des Fundamentalsatzes mitχ=χU)L(eχ) Orthogonalprojektion auf φ(U ⊗U0). Dieses ist auch der einzige G×G-Untermodul mit dem angegebenen Charakter: Nach Schur ist f¨ur jeden solchen ModulV
L(eψ)V = 0
f¨ur alle irreduziblen Charaktereψ6=χ, weshalbV in φ(U⊗U0) enthalten ist, denn die direkte Summe der Bilder der L(eχ) ist der ganzeL2(G). Damit ist (a) bewiesen, und erneutes Anwenden des
Funda-mentalsatzes zeigt die zweite Behauptung.
F¨ur einen irreduziblen CharakterχU istL(eχU) die Projektion auf den Untermodul der Matrixele-mente aus U0 bzw. in der Zerlegung (6) der Gruppenalgebra auf den SummandenU ⊗U0 (und nicht aufU0⊗U).
Literatur: [BtD85,§III.3], [Puk67,§I.II.2], [Rob83, Sec. I.4]