Nachdem wir im letzten Abschnitt die GruppeU(H) der unit¨aren Operatoren in einem HilbertraumH untersucht haben, k¨onnen wir jetzt die gewohnten Definitionen von G-Moduln und Darstellungen auf unendlichdimensionale Hilbertr¨aume ¨ubertragen.
Definition. Sei Geine Gruppe und Hein Hilbertraum.Hheißt stetiger G-Modul, fallsHim alge-braischen SinnG-Modul ist, das Skalarprodukt vonHG-invariant und die Abbildung
G× H → H, (g, u)7→gu
stetig. Ein UnterraumU <H heißt G-Untermodul, fallsU ⊂ Habgeschlossen und G-stabil ist. Ein (Modul oder) Untermodul U ist einfach, wenn 0 und U die einzigen Untermoduln von U sind. Zwei G-ModulnH,Iheißenisomorph, wenn es einen stetigenG-MorphismusA:H → Imit stetigem Inversen gibt. Eineunit¨are DarstellungvonGinHist ein stetiger Gruppenmorphismus
T:G→U(H).
Untermoduln von stetigenG-Moduln sind also selbst stetigeG-Moduln. Jeder stetigeG-Modul liefert eine unit¨are Darstellung vonG, da dieG-Invarianz des Skalarproduktes explizit gefordert wurde. Es gilt sogar die Umkehrung:
Lemma 2.5. SeiG Gruppe,HHilbertraum undT:G→U(H)Gruppenmorphismus. Dann sind ¨aqui-valent:
(a) Hist verm¨ogeT stetiger G-Modul.
(b) T ist stetig.
(c) T ist stetig beig= 1.
(d) F¨ur alleueiner dichten Teilmenge S ⊂ Histg→ hu, T(g)uibei g= 1stetig.
Beweis. (a)⇒(b)⇒(c)⇒(d) Klar.
(d)⇒(c) F¨uru∈Sist die AbbildungG→ H,g7→T(g)u, gem¨aß Lemma 2.3 beig= 1 stetig. Jetzt seiu∈ H beliebig und >0 gegeben. W¨ahle dann einv ∈ S mit kv−uk< und eine Umgebung U von 1∈GmitkT(g)v−vk< f¨ur g∈U. Damit ist f¨ur alleg∈U
kT(g)u−uk ≤ kT(g)(u−v)k+kT(g)v−vk+kv−uk= 2ku−vk+kT(g)v−vk<3, womit die Stetigkeit beig= 1 bewiesen ist.
(c)⇒(a) Zu zeigen ist die Stetigkeit der Abbildung (g, u)7→T(g)u, wobei man sich auf den Nachweis bei (1, u) beschr¨anken kann [T Gruppenmorphismus]. W¨ahle zu gegebenem > 0 eine Umgebung V von umit kv−uk< f¨ur allev ∈V und eine UmgebungU von 1∈Gmit kT(g)u−uk< . Dann ist f¨ur (g, v)∈U×V
kT(g)v−uk ≤ kT(g)(v−u)k+kT(g)u−uk=kv−uk+kT(g)u−uk<2.
Also istHstetiger G-Modul.
2.3. Darstellungen undG-Moduln 21 Ab jetzt sind alle Darstellungen, wenn nicht anders angek¨undigt, (stark stetige) unit¨are Darstellungen
in Hilbertr¨aumen. Entsprechend sindG-Moduln stetige G-Moduln (mit G-invariantem Skalarprodukt) undG-Morphismen stetigeG-Morphismen. Weiterhin sind G-Projektionen stets
orthogonale G-Projektionen.
Die geforderte Unitarit¨at bedeutet f¨ur kompakte Gruppen keine große Einschr¨ankung, da man aus jedem Skalarprodukth·,·i1durch Mittelung ein G-invariantes Skalarprodukt
hv, ui= Z
hgv, gui1dg gewinnen kann.
Zwei isomorphe (unit¨are)G-Moduln sind stets isometrisch isomorph: SeiA:H → IeinG-Morphismus zweier endlichdimensionaler Moduln. In der Polarzerlegung
A=U S mit unit¨aremU und selbstadjungiertemS ist auch
S=√
A∗A (2)
G-Morphismus und folglichU =AS−1 ein unit¨arerG-Isomorphismus. Bei unendlichdimensionalen Mo-duln schließt man auf gleiche Weise, allerdings ben¨otigt man jetzt den Funktionalkalk¨ul (beschr¨ankter) selbstadjungierter Operatoren, um (2) einen Sinn zu geben.
An wenigen Stellen werden uns Darstellungen begegnen, die nicht unit¨ar sind. Darunter sind dann GruppenmorphismenG→GL(H) zu verstehen, die in der starken Topologie vonGL(H) (wie f¨urU(H) definiert) stetig sind.
In Abschnitt 1.2 wurden direkte Summen und Tensorprodukte von Hilbertr¨aumen definiert. Auch der Dualraum eines Hilbertraumes wurde mit einer Hilbertraumstruktur versehen. Wie man es sich w¨unschen w¨urde, kann man diese Konstruktionen auch mitG-Moduln durchf¨uhren.
Satz 2.6. Dualr¨aume, direkte Summen und Tensorprodukte von G-Moduln sind G-Moduln, und das
¨außere Tensorprodukt einesG1- und einesG2-Moduls ist einG1×G2-Modul.
Beweis. Dualraum: Daß der DualraumH0eines HilbertraumesHeineG-Modulstruktur im algebraischen Sinn tr¨agt, ist bekannt. Die zugeh¨origen Darstellungen seien mitT (inH) undT0 (inH0) bezeichnet. Es reicht zu zeigen, daßT0 stetig und unit¨ar ist. F¨urg∈G,u0,v0 ∈ H0 undw∈ Hgilt
(T0(g)u0)(w) =hu, T(g−1)wi=hu, T(g)∗wi= (T(g)u)0(w), (3) also
hT0(g)v0, T0(g)u0i=h(T(g)v)0,(T(g)u)0i=hT(g)u, T(g)vi=hu, vi=hv0, u0i,
was die Unitarit¨at beweist. Da die kanonische AbbildungH → H0 stetig ist, folgt aus Gleichung (3) auch die Stetigkeit vonT0 aus der vonT.
Direkte Summe: Da die Darstellungen auf den (eventuell unendlich vielen) Summanden unit¨ar sind, kann die Darstellung (im algebraischen Sinn) auf der algebraischen direkten Summe auf die direkte Sum-me der Hilbertr¨auSum-me fortgesetzt werden; die Fortsetzung ist unit¨ar. Die Stetigkeit auf der algebraischen direkten Summe ist klar, so daß Kriterium (d) von Lemma 2.5 das gew¨unschte Ergebnis liefert [die algebraische direkte Summe liegt dicht].
Tensorprodukt: Entweder geht man analog zur direkten Summe vor, oder man benutzt, daß das G-Modul-TensorproduktH1⊗ H2 die Restriktion des G×G-Moduls H1⊗ H2 verm¨ogeg 7→ (g, g) ist, und den n¨achsten Punkt.
Außeres Tensorprodukt: Auch hier kann die algebraische Darstellung auf dem algebraischen Tensor-¨ produkt zu einer auf dem Hilbertraum-Tensorprodukt ausgeweitet werden. Der Nachweis der Stetigkeit erf¨ahrt eine kleine Variation, da dieses Mal Kriterium (d) von Lemma 2.5 w¨ortlich benutzt wird: SeiHk Gk-Modul unduk∈ Hk,k= 1, 2. Dann ist die Funktion
(g1, g2)7→ hu1⊗u2,(g1, g2)u1⊗u2i=hu1, g1u1ihu2, g2u2i
stetig und damit auch endliche Summen dieser Art, so daß als MengeS das algebraische Tensorprodukt
genommen werden kann.
Mit Gleichung (3) wurde ¨ubrigens gezeigt, daß die Abbildung H → H0, u 7→ u0, ein antiunit¨arer G-Morphismus ist. Auch die bei der direkten Summe und beim Tensorprodukt auftretenden Abbildungen sindG-¨aquivariant, ebenso wie die in Satz 1.9 genannten Isomorphien.
Die der direkten Summe und dem Tensorprodukt vonG-Moduln entsprechenden Konstruktionen mit Darstellungen seien mit
M
k∈K
Tk und T1⊗T2
bezeichnet.
SeiGGruppe undX G-Raum. BesitztXeinG-invariantes Borelmaßµ, dann wirktGunit¨ar aufL2(µ) verm¨oge
T(g)u=u◦g−1,
denn f¨uru∈L2(µ) ist auchu◦g−1 wieder ein Element vonL2(µ), und es gilt hT(g)v, T(g)ui=
Z
(¯v◦g−1)(u◦g−1)dµ= Z
¯
vu dµ=hv, ui aufgrund derG-Invarianz vonµ.
Satz 2.7. T ist eine Darstellung vonG.
Beweis. Zu beweisen ist noch die Stetigkeit von T. Gem¨aß Lemma 2.5 reicht es zu zeigen, daß die Abbildung
g7→ hu, T(g)ui= Z
u(x)u(g−1x)dµ(x)
f¨ur u ∈ Cc(X) bei g = 1 stetig ist, denn Cc(X) liegt dicht in L2(µ) [Satz 1.3]. Weil die Topologie vonGeine abz¨ahlbare Basis besitzt, kann man sich dabei auf Folgenkonvergenz beschr¨anken. W¨ahle eine kompakte UmgebungU von 1∈G[Glokalkompakt]. Dann ist die Funktion
f:U×X → C,
(g, x) 7→ u(x)u(g−1x),
stetig und mit kompaktem Tr¨ager suppf ⊂ U ×suppu. F¨ur jede Folge gn → 1 in U konvergiert f(gn, x) punktweise gegenf(1, x) und wird vonkuk∞|u|dominiert, so daß der Satz von der dominierten
Konvergenz das gew¨unschte Resultat liefert.
Beispiel 2.8. Sei µ ein (linksinvariantes) Haarmaß auf G. Dann ist die durch Linkstranslation in-duzierte (stetig auf L2(G) fortgesetzte) Wirkung L eine Darstellung von G in L2(G, µ), die regul¨are Darstellung. Der zugeh¨origeG-Modul heißtregul¨arer G-Modul. IstGkompakt, so ist auch R eine Darstellung.
Beispiel 2.9. Die Wirkung einer kompakten Gruppe G auf einem homogenen RaumG/H liefert ei-ne Darstellung von G in L2(G/H). (Weil bei kompakten Gruppen das Maß auf der Gruppe und auf homogenen R¨aumen kanonisch ist, wird es nicht extra bezeichnet.)
Analog zu einemG-Raum ist eineG-Mannigfaltigkeiteine Mannigfaltigkeit mit glatter Wirkung einer LiegruppeG.
Beispiel 2.10. Sei G Liegruppe und M Riemannsche G-Mannigfaltigkeit mit G-invarianter Metrik.
Integration bez¨uglich der durch die Metrik bestimmten Riemannschen Dichte liefert ein G-invariantes Funktional auf Cc(M) und damit ein G-invariantes Borelmaß µ (vgl. Beispiel 1.2) [µ invariant: µ ist durchdµeindeutig bestimmt]. Also bekommt man eine Darstellung vonGim RaumL2(M). (Auch hier unterbleibt die Angabe des durch die Metrik kanonisch bestimmten Maßes.)
Literatur: [BR77,§§5.1+2]