klassische DifferentialausdruckD(P)u, so stimmtDPuaufU mit D(P)u¨uberein.
Beweis. Weil die verallgemeinerte AbleitungDPuexistiert, gilt Gleichung (6) insbesondere f¨ur allew∈ Cc∞(U) (Cc∞(U)⊂ Cc∞(Rn) durch triviale Fortsetzung). Dann kann man die Skalarprodukte aber als solche im Hilbertraum L2(U) auffassen, in dem Cc∞(U) dicht liegt. Da die Gleichung auch f¨ur v = (D(P)u)|U immer erf¨ullt ist [alle Randterme bei partieller Integration verschwinden, da w kompakten Tr¨ager inU hat], m¨ussenDPuundD(P)uaufU ¨ubereinstimmen.
Literatur: [Wei76, Abschnitte 4.1, 5.1, 5.2, 10.1, 10.2], [Wer95, Abschnitt V.2]
1.9 Glattheit von Eigenfunktionen
Definition. F¨urm∈Nheißt der Vektorraum
Wm(Rn) ={u∈L2(Rn) :∀|α| ≤m u∈dom(Dxα)} derm-teSobolewraumauf Rn.
Gem¨aß der Definition der DifferentialoperatorenDxα als Fouriertransformierte der entsprechenden Multiplikationsoperatoren bedeutet dies, daß u ∈ L2(Rn) genau dann ein Element von Wm(Rn) ist, wenn f¨ur alle Multiindizesαmit|α| ≤mdie FunktionxαFuquadratintegrabel ist. Es ist klar, daß man f¨urm < m0 die InklusionWm(Rn)⊃Wm0(Rn) hat.
Man kann auch f¨ur offene TeilmengenU ⊂Rn den SobolewraumWm(U) definieren, wobei man sich des im Anschluß an die Definition der verallgemeinerten Ableitung formulierten Kriteriums (6) bedient.
Lemma 1.26. Der Definitionsbereich des Hamiltonoperators H0 des freien Teilchens ist der Sobolew-raum W2(Rn).
Beweis. F¨uru∈L2(Rn) gelten die ¨Aquivalenzen
u∈dom(H0) ⇐⇒ kxk2Fu∈L2(Rn) ⇐⇒ (1 +kxk2)Fu∈L2(Rn).
Sch¨atzt man f¨ur |α| ≤2 den Betrag vonxαdurch
|xα|=|x1|α1· · · |xn|αn≤ max
1≤i≤n|xi||α|≤1 +kxk2
ab, so zeigt dies die Inklusion dom(H0)⊂W2(Rn). Ist andererseitsu∈W2(Rn), so ist nach Definition kxk2Fu=Pn
i=1x2iFuquadratintegrabel, alsou∈dom(H0).
Satz 1.27 (Sobolewsches Lemma f¨ur Rn). Es gilt
u∈Wm(Rn) =⇒ ∀l < m−n
2 u∈Cl(Rn).
Dieser klassische Satz, der auch f¨ur offene Teilmengen des Rn gilt, ist zum Beipiel in [Wer95, Satz V.2.12] bewiesen. Mit Hilfe des Sobolewschen Lemmas kann man Aussagen ¨uber die Glattheit von Eigenfunktionen von
”Schr¨odinger-Operatoren“ der FormH0+V machen.
Satz 1.28 (Weylsches Lemma f¨ur Rn). Sei V ∈ C∞(Rn) beschr¨ankt mit beschr¨ankten Ableitun-gen. Dann ist jede EigenfunktionuvonH =H0+MV glatt und eine klassische L¨osung der Differential-gleichung
− 1
2m∆u+V u=Eu, wobeiE der Eigenwert zu uist.
Beweis. Aufgrund des Sobolewschen Lemmas reicht es,u∈Wm(Rn) f¨ur allemzu zeigen [uklassische L¨osung: Lemma 1.25]. Wir ¨uberlegen uns zun¨achst, daß f¨ur m≥2
u∈Wm(Rn) und H0u∈Wm(Rn) =⇒ u∈Wm+2(Rn) (7) gilt: Nach Voraussetzung sind f¨ur alle Multiindizes α mit |α| ≤ m die Funktionen xαF(−∆u) = xαkxk2FuundxαFuquadratintegrabel, also auch alle Funktionenxα(1 +kxk2)Fu. Die Betr¨age dieser Funktionen dominieren aber alle Funktionen vom TypxβFumit|β| ≤ |α|+ 2.
Nach Voraussetzung istu∈W2(Rn). DaV glatt ist, liegt auchV uim zweiten Sobolewraum: Mittels partieller Integration beweist man eine Art Leibnizregel, n¨amlich daß f¨urk= 1, . . . ,nundv∈Cc∞(Rn)
hV u, D(xk)vi = Z
V u(−i)∂v
∂xk
= Z
¯ u
D(xk)( ¯V v) +D(xk)V v
= hu, D(xk)( ¯V v)i+h(D(xk)V)u, vi=hV Dxku+ D(xk)V u, vi gilt. Also existieren alle verallgemeinerten Ableitungen ersten Grades vonV u, und es ist
Dxk(V u) = D(xk)V
u+V Dxku.
DaV Dxkuund (D(xk)V)ujeweils das Produkt einer glatten Funktion und einer Funktion ausW1(Rn) sind, kann man diese
”Leibnizregel“ auf jeden Term einzeln erneut anweden und damitV u∈W2(Rn) zeigen.
Die Funktionuerf¨ullt die Eigenwertgleichung
Hu=H0u+V u=Eu (8)
f¨ur ein E∈C. Nach dem bisher Bewiesenen ist
H0u=Eu−V u∈W2(Rn).
Daraus folgt aberu∈W4(Rn) mit Formel (7). So zeigt man induktiv
u∈Wm(Rn) =⇒ V u∈Wm(Rn) =⇒ H0u∈Wm(Rn) =⇒ u∈Wm+2(Rn), wobei man im ersten Schritt die
”Leibnizregel“ auf h¨ohere Ableitungen ausweitet.
In dieser Form ist das Weylsche Lemma wenig hilfreich, weil die an V gestellten Bedingungen allzu restriktiv sind. Entscheidend ist aber, daß dieser Satz auch lokal seine G¨ultigkeit beh¨alt. (Man muß daf¨ur zeigen, daß man auch lokal wie in (7) schließen kann.)
Weylsches Lemma 1.29. SeiV:Rn→CLebesgue-meßbar und auf einer offenen TeilmengeU ⊂Rn glatt. Dann ist jede Eigenfunktion u von H =H0+MV ebenfalls glatt in U und dort eine klassische L¨osung der Differentialgleichung
− 1
2m∆u+V u=Eu, wobeiE der Eigenwert zu uist.
Sofern das PotentialV glatt ist, kann man sich also beim Bestimmen von Eigenfunktion vonH auf das L¨osenklassischer Differentialgleichungen beschr¨anken.
Literatur: [RS75, Sec. IX.6]
Kapitel 2
Darstellungen kompakter Gruppen
In diesem Kapitel bezeichnen die BuchstabenGund H Gruppen im Sinne der Einleitung.
F¨ur endlichdimensionaleG-Moduln einer endlichen GruppeGexistiert stets eine eindeutige Zerlegung in isotypische Komponenten, die sogenannte isotypische Zerlegung. In diesem Kapitel wird es darum gehen, dieses Ergebnis auf unit¨are Darstellungen kompakter Gruppen in beliebigen Hilbertr¨aumen zu ¨ ubertra-gen. Obwohl wir das Ergebnis nur f¨ur kompakte Liegruppen ben¨otigen, wird es ohne die Voraussetzung einer differenzierbaren Struktur bewiesen.1
2.1 Eigenschaften des Haarmaßes
Ein Borelmaß aufGheißt linksinvariant, wenn f¨ur die durch die Linkstranslationenl(g):h7→gh,g∈G, induzierten Bildmaße
l(g)∗µ=µ
gilt. Entsprechend bedeutet Rechtsinvarianz von µ, daß r(g)∗µ = µ ist f¨ur alle Rechtstranslationen r(g):h7→hg.
Links- und Rechtstranslation einer Gruppe Ginduzieren Linkswirkungen L undR auf Cc(G), dem Raum der stetigen Funktionen auf Gmit kompaktem Tr¨ager, mit
(L(g)a)(h) = (a◦l(g−1))(h) =a(g−1h) und (R(g)a)(h) = (a◦r(g))(h) =a(hg).
EinHaarmaß aufGist ein linksinvariantes Borelmaßµ6= 0 auf G. Von fundamentaler Bedeutung f¨ur alles weitere ist nun, daß auf einer (lokalkompakten, hausdorffschen, zwei-abz¨ahlbaren) Gruppe ein Haarmaß stets existiert und im Falle kompakter Gruppen durch die Forderung der Normiertheit sogar eindeutig bestimmt ist. Dabei heißtµnormiert, falls
dµ(1) = Z
1dµ= 1
ist. (F¨ur einen Beweis siehe etwa [Lan93, Ch. XII]. Die einzige nicht kompakte Gruppe, die im folgenden eine Rolle spielen wird, istRmit dem Lebesguemaß als Haarmaß.) Auf der Ebene des durch ein Haarmaß µeindeutig bestimmten FunktionalsdµaufCc(G) dr¨uckt sich die Linksinvarianz durch die Identit¨at
L(g)∗dµ:=dµ◦L(g) =dµ
aus. Es ist klar, daß der Tr¨ager suppµdes Haarmaßes ganz Gist, da er wieµ linksinvariant sein muß, aber nicht leer sein kann wegenµ6= 0. Ich werde ein Haarmaß auf einer kompakten GruppeGstets als normiert voraussetzen und mitµG oder kurzµbezeichnen. Da in diesem FalleGendliches Maß hat, ist µsogar regul¨ar.
F¨ur den Rest dieses Abschnittes werden alle Gruppen als kompakt vorausgesetzt.
Satz 2.1. Das Haarmaß µauf einer GruppeGist auch unter Rechtstranslationen und Inversion inva-riant.
Beweis. Wegen der Gleichheitr(g)◦l(h) =l(h)◦r(g) istr(g)∗µein Haarmaß aufG, denn l(h)∗(r(g)∗µ) = (l(h)◦r(g))∗µ= (r(g)◦l(h))∗µ=r(g)∗(l(h)∗µ) =r(g)∗µ [normiert, positiv, regul¨ar: klar], also gleichµ. Weill(g)◦ι=ι◦r(g−1) gilt und damit auch
l(g)∗(ι∗µ) =ι∗(r(g−1)∗µ) =ι∗µ,
istι∗µebenfalls ein Haarmaß.
1Zu der Frage, inwiefern dadurch gr¨oßere Allgemeinheit erreicht wird, vergleiche die Diskussion des Satzes von Montgomery-Zippin-Gleason in Abschnitt 5.4.
17
Es ist also f¨ur jedesf ∈C(G) undg∈G Z
f(h)dh= Z
f(gh)dh= Z
f(hg)dh= Z
f(h−1)dh.
SeiH < Geine abgeschlossene Untergruppe undp:G→G/HQuotient bez¨uglich der Rechtswirkung.
Dann wirkt G stetig auf G/H, und p wird zu einer G-Abbildung, wenn G auf sich durch Linkstrans-lationen wirkt. G/H ist G-Raum, d. h. ein lokalkompakter und zwei-abz¨ahlbarer Hausdorffraum mit stetiger WirkungG×X →X, sogarhomogener G-Raum (G wirkt transitiv). Auf diese Weise erh¨alt man alle homogenenG-R¨aume [Gkompakt,G-Raum hausdorffsch]. Weiterhin liefertpein Borelmaßp∗µ auf den Borelmengen vonG/H [p∗µ wie µendlich]. Auch das durch µ bestimmte Funktional dµ kann auf G/H vorgeschoben werden zu einem Funktional p∗dµ auf C(G/H) mit (p∗dµ)(f) =dµ(f◦p). Die Transformationsformel f¨ur Bildmaße zeigt nun, daß
dp∗µ=p∗dµ ist, denn f¨ur jedesf ∈C(G/H) gilt
d(p∗µ)(f) = Z
G/H
f dp∗µ= Z
G
f◦p dµ=p∗(dµ)(f).
”Fubini“-Lemma 2.2. Sei a ∈ C(G). Dann ist die Funktion g 7→ R
a(gh)dµH(h) stetig und auf H-Bahnen konstant, und es gilt
Z
a(g)dµG(g) = ZZ
a(gh)dµH(h)dp∗µG(gH). (1) Insbesondere ist das induzierte Borelmaß p∗µG aufG/H durch Normiertheit undG-Invarianz eindeutig bestimmt.
(F¨ur die Integration bez¨uglichp∗µG faßt manR
a(gh)dµH(h) als Funktion aufG/H auf.)
Beweis. Aufgrund der Kompaktheit vonGista(bez¨uglich der durch die Gruppe definierten uniformen Struktur) gleichm¨aßig stetig. Also existiert zu jedem >0 eine UmgebungU der 1∈Gmit
∀g1, g2∈G g2∈U g1⇒ |a(g1)−a(g2)| ≤. F¨ur solch ein Paar (g1, g2) ist dann auch
Z
a(g1h)dµH(h)− Z
a(g2h)dµH(h)≤Z a(g1h)−a(g2h)dµH(h)≤, was die Stetigkeit beweist. DaH von rechts wirkt, ist die Funktion g7→R
a(gh)dµH(h) auf H-Bahnen konstant. Die behauptete Gleichheit (1) folgt schließlich aus der Eindeutigkeit des Haarmaßes. (Die rechte Seite ist linksinvariant, dap∗µ G-invariant ist.)
Aus dieser Beobachtung ergibt sich auch der Zusatz: Jedes G-invariante und normierte Borelmaß aufG/Hliefert durch Doppelintegration wie in (1) ein Haarmaß aufG. Diese Zuordnung ist injektiv, da jede Funktion ausC(G/H) als auf H-Bahnen konstante stetige Funktion auf Gaufgefaßt werden kann und in diesem Sinne dµG|C(G/H)=dµgilt. Also istp∗µG das einzige Maß aufG/Hmit den angegebenen
Eigenschaften.
Literatur: [BtD85,§I.5]