Form ev−1u (W) mit u∈S(H) undW ⊂S(H) offen bilden eine Basis der starken Topologie vonU(H).
Wir k¨onnen annehmen, daß es eine endliche MengeK ⊂S(H) und offene Teilmengen Wu ⊂S(H) f¨ur alleu∈K derart gibt, daß
P−1(V) = \
u∈K
ev−1u (Wu) (1)
gilt. [Ansonsten schreibe man P−1(V) als Vereinigung ges¨attigter offener Mengen, f¨ur die das gilt.]
W¨ahrend P−1(V) ges¨attigt ist, muß dies f¨ur die Wu nicht gelten. Allerdings gestattet es das letzte Lemma, zu ges¨attigten offenen Teilmengen Wu0 uberzugehen, indem man¨ Wu0 = evu(P−1(V)) setzt.
Dann gilt Gleichung (1) auch f¨ur dieWu0, und weil alle auftretenden Mengen jetzt ges¨attigt sind, kann man wie folgt rechnen:
V =P \
u∈K
ev−1u (Wu0)
= \
u∈K
P ev−1u (Wu0)
= \
u∈K
ev−1[u](π(Wu0))
Also istV wegen der Offenheit vonπ eine offene Menge in der Topologieτ2. Literatur: [Sim68, Sec. 2], [Bar54,§1]
5.2 Darstellungen und projektive Darstellungen
Im folgenden bezeichnet U(PH)die Gruppe einschließlich der Topologie τ1=τ2.
Da der quantenmechanische Zustandsraum der projektive RaumPHist, liegt es nahe, daß sich Symme-trien eines Systems als Invarianzen unter Gruppenwirkungen inPH¨außern.
Definition. Sei G eine Gruppe. Eine projektiv-unit¨are oder kurz projektive Darstellung von G inPHist ein stetiger GruppenmorphismusG→U(P˜ H).
Es ist klar, daß jede Darstellung T:G → U(H) eine projektive Darstellung P ◦T definiert. Im weiteren wird es um die Umkehrung dieser Frage gehen: Wann kann man eine projektive Darstellung von Gin PHzu einer Darstellung in Hhochheben? Das heißt: Unter welchen Voraussetzungen gibt es zu dem Diagramm in der Kategorie der topologischen Gruppen
U(H)
G S
- U˜(PH) P
?
(2)
einen MorphismusT:G→U(H), der das Diagramm kommutativ erg¨anzt?
U(H) T
G S
- U˜(PH) P
?
Existiert ein solches T, dann kann man die Gruppenwirkung im Hilbertraum H studieren, den man gegen¨uber dem projektiven RaumPHbevorzugt.
Lemma 5.4. SeiGeine zusammenh¨angende Liegruppe undSeine projektive Darstellung vonGinPH. Dann liegt das Bild vonG unterS inU(PH).
Beweis. Da [ ˜U(PH) : U(PH)] = 2 ist, liegt jedes Quadrat in U(PH). In einer hinreichend kleinen Umgebung der 1∈Gist jedes Element ein Quadrat und wird folglich nachU(PH) abgebildet. Weil G zusammenh¨angend ist, wird es von jeder Umgebung der 1 erzeugt. Also geht jedes g ∈ G unter S
nachU(PH).
Man beachte, daß in diesem Beweis keine Stetigkeitsargumente bez¨uglich S benutzt wurden; die Behauptung folgt aus rein algebraischen ¨Uberlegungen.
Lemma 5.5. Falls sich S zu einer Darstellung T von G hochheben l¨aßt, dann ist die Anzahl solcher Hochhebungen gleich der der eindimensionalen Darstellungen von G.
Beweis. F¨ur jede Darstellungλ:G→U(1) ist g7→T0(g) =λ(g)T(g) ebenfalls eine Hochhebung vonS zu einer Darstellung von G. Sei umgekehrt T0 eine Hochhebung von S. Dann istT0(g) =λ(g)T(g) f¨ur eine eindimensionale Darstellung λ, die die Identit¨at λ(g) =hT(g)u, T0(g)uif¨ur jedes normierteu∈ H erf¨ullt. (Die letzte Gleichung zeigt auch die Stetigkeit vonλ.) Da beide Zuordnungen invers zueinander
sind, ist damit das Lemma bewiesen.
Wir werden uns im folgenden auf zusammenh¨angende und einfach zusammenh¨angende Gruppen beschr¨anken – zwei ¨ubliche Annahmen, wenn man versucht, Abbildungen hochzuheben. Das folgende Lemma zeigt, daß unter diesen Voraussetzungen im endlichdimensionalen Fall jede projektive Darstellung einer Liegruppe hochgehoben werden kann:
Lemma 5.6. Sei G eine zusammenh¨angende und einfach zusammenh¨angende Liegruppe, H ein end-lichdimensionaler Hilbertraum undS:G→U(PH)eine projektive Darstellung vonGinPH. Dann l¨aßt sich S zu einer Darstellung vonGinH hochheben.
Beweis. Wir k¨onnen den Quotienten U(H) → U(PH) durch die Isogenie SU(H) → U(PH) ersetzen, denn die stetige Bijektion
SU(H)/(U(1)∩SU(H))→U(H)/U(1)
ist ein Hom¨oomorphismus, da beide R¨aume kompakt hausdorffsch sind. WeilU(1)∩SU(H) diskret ist, istSU(H)→U(PH) eine ¨Uberlagerung.
DaGzusammenh¨angende und einfach zusammenh¨angende Mannigfaltigkeit ist, l¨aßt sich folglich jede stetige Abbildung S:G→U(PH) zu einer stetigen Abbildung T :G→SU(H) hochheben. Wegen des Zusammenhangs vonGistT dabei Morphismus von Gruppen, fallsS es ist.
Jetzt untersuchen wird den allgemeinen Fall, bei dem keine Bedingung an die Dimension von H gestellt ist. Diese Situation tritt in der Quantenmechanik fast ausschließlich auf, da selbst bei einem Hilbertraum der FormH=HK⊗ HS mit endlichdimensionalemHS (vgl. Abschnitt 4.2) der projektive RaumPHnicht durchPHKundPHSersetzt werden kann. Das folgende Beispiel zeigt, daß es projektive Darstellungen gibt, die keine Hochhebung zulassen.
Beispiel 5.7. Sei TP die Einschr¨ankung der kanonischen Darstellung der Euklidischen GruppeE(K) (Beispiel 4.15) inL2(K) auf die UntergruppeK der Translationen. Die Kombination
T: (x, τ)7→TP(x)TX(τ)
mit der DarstellungTX aus Beispiel 4.16 liefert keine Darstellung der zusammenh¨angenden und einfach zusammenh¨angenden LiegruppeK×K0, weil die Gleichungen
TP(x)TX(τ)u
(y) = TX(τ)u
(y−x) =eiτ(x)−iτ(y)u(y−x), TX(τ)TP(x)u
(y) = e−iτ(y) TP(x)u
(y) =e−iτ(y)u(y−x) die Weylschen Relationen
TP(x)TX(τ) =eiτ(x)TX(τ)TP(x) (3) beweisen, die nicht mit der Kommutativit¨at vonK×K0 vertr¨aglich sind. Wegeneiτ(x)∈U(1) ist aber die induzierte AbbildungP◦T eine projektive Darstellung vonK×K0. Allerdings zeigt Gleichung (3), daß es unm¨oglich ist, diese zu einer Darstellung hochzuheben, denn jede Skalierung vonTP(x) undTX(τ) (und nur das ist als Korrektur m¨oglich) k¨urzt sich heraus.
Ausgangspunkt unserer ¨Uberlegungen ist die Beobachtung, daß U(PH) mehr ist als nur Quotient von Gruppen.
Satz 5.8. P:U(H)→U(PH)ist topologisches U(1)-Prinzipalb¨undel.
5.2. Darstellungen und projektive Darstellungen 91 (DaU(1) im Zentrum vonU(H) liegt, braucht man nicht zwischen Links- und Rechtswirkung vonU(1) zu unterscheiden.)
Beweis. F¨uru∈S(H) sei
Vu={A∈U(H) :hu, Aui 6= 0} ⊂U(H) offen.
Die Vu bilden eine ¨Uberdeckung vonU(H): Falls f¨ur einA ∈U(H) und ein u∈ H die Skalarprodukte hu, Aui=hAu, A(Au)i= 0 sind, dann ist f¨urv= (λu+Au)/√
2 2hv, Avi=λ+ ¯λhu, A2ui,
und dieses Skalarprodukt kann nicht gleichzeitig f¨urλ= 1 undλ=iverschwinden. Also liegtAin einem gewissenVv.
Die BilderWu =P(Vu) bilden eine offene ¨Uberdeckung vonU(PH) [P offen und surjektiv], und ihre vollen Urbilder sind dieVu. Wir definieren noch die stetigenU(1)-Abbildungen
φu:Vu→U(1), A7→ hu, Aui
|hu, Aui|, um die lokalen Trivialisierungen
ψu:Vu→Wu×U(1), A7→(P(A), φu(A)), angeben zu k¨onnen, deren Inverse
ψ−1u : (P(A), λ)7→λφu(A)−1A
wohldefiniert und stetig sind [universelle Eigenschaft des Quotienten].
Man kann Diagramm (2) in kanonischer Weise durch daspull-back (E, p, s) zu einem kommutativen Rechteck
E s- U(H)
G p
? S
- U˜(PH) P
?
erg¨anzen. Dabei ist
E={(g, A) :S(g) =P(A)} ⊂G×U(H)
ausgestattet mit der Teilraumtopologie, und p und s sind die Projektionen auf die erste bzw. zweite Komponente. E ist abgeschlossene Untergruppe von G×U(H) [abgeschlossen: E ist das Urbild der Diagonalen von U(PH)×U(PH) unter S×P, die abgeschlossenen ist, weil U(PH) hausdorffsch ist.]
Das pull-back E ist universell in dem Sinne, daß jedes Paar p0:E0 → G, s0:E0 → U(H) von stetigen Gruppenmorphismen, das Diagramm (2) kommutativ erg¨anzt, eindeutig ¨uberEfaktorisiert (universelle Eigenschaft despull-back4).
Weiterhin istpeinU(1)-Prinzipalb¨undel, n¨amlich das vonS induzierte: WennP ¨uberV ⊂U(PH) trivial ist mitU(1)-Hom¨oomorphismus
ψ=P×φ:P−1(V)→V ×U(1), dann ist mit W =S−1(V)
p×(φ◦s):p−1(W)→W ×U(1) U(1)-Hom¨oomorphismus mit Inversemi× ψ−1◦(S×id)
, wobei i:W ,→G die Inklusion bezeichnet.
Insbesondere istpQuotient, d. h.
1 - U(1) - E p - G - 1, (4)
4In dieser Sichtweise ist daspull-backnur bis auf Isomorphie festgelegt und die hier benutzte Konstruktion eine m¨ogliche.
ist exakt, wobeiU(1) in das Zentrum vonE eigebettet wird. [U(1) liegt im Zentrum vonU(H).5] Falls es eine Hochhebung T von S gibt, erg¨anzt das Paar (id, T) Diagramm (2), und die dadurch eindeutig bestimmt Abbildungσ:G→E ist ein Schnitt vonp. In diesem Falle ist palso triviales U(1)-Prinzibalb¨undel, und der durchσinduzierte Hom¨oomorphismusG×U(1)→Eist Gruppenmorphismus, weil σ es ist. Die Folge (4) spaltet (in der Kategorie der topologischen Gruppen), und wir erhalten folgenden Satz:
Satz 5.9. Eine Hochhebung zuS existiert genau dann, wenn das pull-backE vonS undP gleich dem Produkt (in der Kategorie der topologischen Gruppen) vonG undU(1)ist.
Aus diesem Grunde sind wir an Kriterien interessiert, die sicherstellen, daß ausschließlich das Produkt E =G×U(1) die Folge (4) exakt erg¨anzt. Damit werden wir zum Studium von sogenannten zentralen Erweiterungen gef¨uhrt: Zu gegebenen GruppenGund H heißt (E, i, p)Erweiterung vonG durchH, wenn die Folge
1 - H i - E p - G - 1 (5)
exakt ist.6Eine Erweiterung wirdzentral genannt, wennH in das Zentrum vonE abgebildet wird.
Man kann erwarten, daß Erweiterungen von Liegruppen durch Eigenschaften deren Liealgebren klas-sifiziert werden k¨onnen. In der Tat werden wir sehen, daß man Liegruppenerweiterungen im wesentlichen auf (noch zu definierenden) Liealgebrenerweiterungen zur¨uckf¨uhren kann. Da letztere einfacher zu un-tersuchen sind, wird zun¨achst gezeigt, daß man daspull-back E als Liegruppe auffassen kann.
Satz 5.10. Sei G zusammenh¨angende Liegruppe. Dann besitzt das pull-back E von S und P eine differenzierbare Struktur derart, daß(5)eine exakte Folge von Liegruppen ist.
Beweis. Wir konstruieren lokale Trivialisierungen vonpdergestalt, daß in ihnen die Gruppenoperationen, soweit definiert, glatt sind, ebenso wie die ¨Ubergangsfunktionen zwischen verschiedenen Trivialisierungen.
Dadurch wird eine differenzierbare Struktur aufEerkl¨art, dieEzu einer Liegruppe macht. Man beachte, daß mitGundU(1) auch das Prinzipalb¨undelE zusammenh¨angend ist.
Daf¨ur gen¨ugt es, eine lokale Trivialisierungψ1:W =p−1(V)→V ×U(1) ¨uber einer offenen Umge-bungV vonp(1) = 1∈Ganzugeben, in der die Gruppenoperationen, soweit definiert, glatt sind: Dann istp¨uberp(e)V trivial f¨ur jedese∈E, und derU(1)-Hom¨oomorphismusl(e−1):eW →W induziert eine Trivialisierungψe:=ψ1◦l(e−1). Außerdem sind f¨ure, f ∈Edie ¨Ubergangsfunktionen
ψf◦ψ−1e :ψe(eW∩f W)→ψf(eW∩f W) glatt, denn
ψf◦ψe−1=ψ1◦l(f−1e)◦ψ1−1
ist gerade die Linksmultiplikation inE in der lokalen Trivialisierungψ1. Auch die Gruppenoperationen sind glatt, weil man in
ψe−1◦ι◦ψ−1e =ψ1◦In(e)◦ι◦ψ1−1 die Konjugation miteersetzen kann durch
In(e) = In(e1)◦ · · · ◦In(en)
f¨ur gewisse e1, . . . , en ∈ W, da E von jeder Umgebung der 1 erzeugt wird und die Konjugation mit jedem ek in einer Umgebung der 1 glatt ist. Mit dem gleichen Argument folgt aus der Gleichung
ψef ◦µ◦(ψe−1×ψf−1) =ψ1◦µ◦(In(f−1)×id)◦(ψ1−1×ψ−11 ) die Glattheit der Multiplikation µ.
Wir konstruieren nun ψ1. Seiψ:p−1(V)→V ×U(1) eine lokale Trivialisierung. Wir setzenV0 =V und w¨ahlen offene, symmetrische Umgebungen V1 bis V3 von 1 ∈ G mit ViVi ⊂ Vi−1 f¨ur i = 1, 2 und 3. Im folgenden werde ich der ¨Ubersichtlichkeit halber nicht die maximalen Definitionsbereiche von Abbildungen angeben, sondern jeweils ein darin enthaltenesVi. Da ψ U(1)-Abbildung ist und U(1) im Zentrum vonE liegt, ist die Gruppenmultiplikation lokal von der Form
(g, a)(h, b) = (gh, φ(g, h)ab), g, h∈V1, a, b∈U(1), (6)
5Aus dem Spektralsatz f¨ur normale Operatoren folgt sogarZ(U(H)) =U(1).
6Manche Autoren nennen dieses eine Erweiterung vonH durchG.
5.2. Darstellungen und projektive Darstellungen 93 f¨ur eine stetige Funktionφ. Wir k¨onnenψ(1) = (1,1) annehmen, woraus sichφ(g,1) =φ(1, g) = 1 ergibt und auch
(g, a)−1= (g−1, φ(g, g−1)−1a−1), g∈V1, a∈U(1).
Aufgrund der Assoziativit¨at der Multiplikation inE gilt
φ(g, h)φ(gh, k) =φ(g, hk)φ(h, k)
f¨ur alleg,h, k∈V2. F¨ur eine stetige Funktionχ:Vi−1→U(1) definieren wir denKorand δχ:Vi×Vi→U(1), δχ(g, h) =χ(g)χ(h)χ(gh)−1.
Jede solche Funktion χerkl¨art einenU(1)-Hom¨oomorphismus
γ:Vi−1×U(1)→Vi−1×U(1), (g, a)7→(g, χ(g)a), (7) und damit eine mitψvertr¨agliche Trivialisierung
ψ˜=γ◦ψ|p−1(Vi−1).
Die Multiplikation in der neuen Trivialisierung ist wiederum von der Form (6), allerdings mit der neuen Funktion
φ:˜Vi×Vi→U(1), (g, h)7→φ(g, h)δχ(g, h)−1 (8) stattφ, wie man durch Nachrechnen ¨uberpr¨uft.
F¨ur das weitere ist es zweckm¨aßig, stattφden Logarithmus davon zu betrachten. Wir nehmen daher an, daßV1 so klein gew¨ahlt ist, daß die Exponentialfunktion inV1invertiert werden kann, so daß
λ(g, h) := logφ(g, h)∈u(1) =iR
wohldefiniert ist. Dabei bezeichnet log die zur Exponentialfunktion inverse Abbildung. λ erf¨ullt die Gleichungen
λ(g, h) +λ(gh, k) =λ(g, hk) +λ(h, k) und λ(g,1) =λ(1, g) = 0. (9) Auch hier definieren wir zu einer Funktionζ:Vi−1→u(1) einenKorand durch
δζ=:Vi×Vi→u(1), δζ(g, h) = log (δexpζ)(g, h)
=ζ(g) +ζ(h)−ζ(gh). (10) Im Licht des bisher Gesagten gen¨ugt es, eine Funktionζ:V2→u(1) derart zu definieren, daßλ−δζeine glatte Funktion aufV3×V3ist: Denn setzt manχ= expζ in (7), erh¨alt man eine neue, mitψvertr¨agliche Trivialisierung
ψ1:p−1(V3)→V3×V3, in der die Gruppenoperationen, soweit definiert, glatt sind.
Wir konstruieren diesesζ durch geeignetes Gl¨atten vonλ. (Diese Idee geht auf Iwasawa zur¨uck.) Sei µl ein (linksinvariantes) Haarmaß auf G und µr ein rechtsinvariantes Haarmaß, und seien νl, νr zwei glatte Funktionen aufGmit kompakten Tr¨agern inV3 und
Z
νldµl= Z
νrdµr= 1 (11)
(vgl. den Beweis von Satz 3.10). Damit definieren wir ζ1(g) =
Z
λ(g, k)νl(k)dµl(k), g∈V1, λ1 = λ−δζ1:V2×V2→u(1), ζ2(h) =
Z
λ1(k, h)νr(k)dµr(k), h∈V2, und λ2 = λ1−δζ2:V3×V3→u(1).
Daλ2=λ−δ(ζ1+ζ2) ist, bleibt noch die Glattheit vonλ2zu zeigen. Wegen (9), (10) und (11) ist λ1(g, h) =
Z
λ(g, h)−λ(g, k)−λ(h, k) +λ(gh, k)
νl(k)dµl(k)
= Z
λ(g, hk)−λ(g, k)
νl(k)dµl(k) = Z
λ(g, k) νl(h−1k)−νl(k) dµl(k),
also h¨angtλ1(g, h) differenzierbar vonhab. Analog zeigt man λ2(g, h) =
Z
λ1(k, h) νr(kg−1)−νr(k) dµr(k),
womit die Glattheit vonλ2 bewiesen ist.
Literatur: [Sim68, Sec. 2], [Kir76,§14.1], [Bar54,§4c]