In diesem Abschnitt soll die N¨utzlichkeit der Darstellungstheorie zur L¨osung konkreter Probleme am quantenmechanischen Paradepferd, dem Wasserstoffatom, beispielhaft vorgef¨uhrt werden. Ziel ist dabei, das Linienspektrum der Strahlung, die der Wasserstoff nach Anregung emittiert, theoretisch zu erkl¨aren.
In Abschnitt 4.2 wurde gezeigt, daß der HamiltonoperatorH des Wasserstoffatoms ohne Spin, H=− 1
2m1∆(1)− 1
2m2∆(2)+VC(x(2)−x(1)),
durch Koordinatentransformation in die direkte Summe H0+HC separiert, bei der H0 die Bewegung des Schwerpunktes beschreibt und
HC=H0+VC =− 1
2m∆ +q1q2
kxk
die eines Punktteilchens im Coulombpotential. (N¨otige Korrekturen werden in den Abschnitten 4.7 und 4.9 besprochen.) Nun h¨angt das Linienspektrum des Wasserstoffs eng mit dem Spektrum (im mathema-tischen Sinne) von HC zusammen: Die Frequenzen der Spektrallinien sind Differenzen von Elementen aus σ(HC). (Vor diesem Hintergrund ist also das Spektrum eines Operators etwas sehr Konkretes.) Daß die Schwerpunktsbewegung keinen Einfluß hat, ist anschaulich plausibel, weil die Strahlungsemis-sion durch Wechselwirkung der beiden Teilchen untereinander entsteht. Mathematisch dr¨uckt sich dieses dadurch aus, daß die Operatoren, die die Strahlungsemission beschreiben, (im wesentlichen der elektri-sche Dipoloperator, aber auch die anderen elektrielektri-schen Multipoloperatoren aus Beispiel 4.17 und ihre magnetischen Pendants) bei der Variablenseparation als ”St¨orungen“ zu HC hinzutreten. Im Rahmen der zeitabh¨angigen St¨orungstheorie (Abschnitt 4.7) bewirken diese St¨orungen ¨Uberg¨ange zwischen den verschiedenen Energieniveaus (Eigenwerten) von HC, was sich in der Emission oder Absorption von elektromagnetischer Strahlung bemerkbar macht.
Wir betrachten also den OperatorHCim HilbertraumL2(R3), von dem wir aus Beispiel 2.10 bereits wissen, daß er eineO(3)-Modulstruktur tr¨agt. Man kann jedes von 0 verschiedenex∈R3in diffeomorpher Weise als Produkt eines Skalarsr∈R+= (0,∞) und eines Einheitsvektorsω∈S2,
x=rω,
schreiben, so daß Definitionen der Form u(rω) := u1(r)u2(ω) sinnvoll sind (u ist dann fast ¨uberall erkl¨art). F¨urr∈R+ undu∈L2(R3) bezeichnetur die Funktion
ur:S2→C, ω7→u(rω);
in gleicher Weise istuωdefiniert.
Schreibt man das Skalarprodukt im L2(R3) in Polarkoordinaten, hv, ui=
Z
R+
Z
S2
v(rω)u(rω)r2dω dr,
so erkennt man, daß
L2(R3) =L2(R3\ {0}) =L2(R+, r2λ)⊗L2(S2) als Hilbertraumtensorprodukt ist. (r2λbezeichnet das MaßA7→R
1Ar2dr.) Da die Wirkung vonO(3) auf R3 bei dieser Zerlegung von der aufS2 induziert wird, gilt obige Gleichung sogar, wenn man alle R¨aume alsO(3)-Moduln auffaßt, wobeiL2(R+, r2λ) mit der trivialen Modulstruktur versehen wird. Die isotypische Zerlegung vonL2(R3) ist also durch
L2(R3) = M∞ l=0
L2(R+, r2λ)⊗L2(S2)l= M∞
l=0
Hl gegeben, wobei der K¨urze halberL2(R+, r2λ)⊗L2(S2)l=Hlgesetzt wurde.
Orientiert man sich am klassischen Keplerproblem, so ist zu erwarten, daßHCnur bei einer attraktiven Wechselwirkung (q1q2<0) Eigenwerte hat und diese s¨amtlich negativ sind, denn Eigenvektoren vonHC
entsprechen station¨aren (gebundenen) Zust¨anden im Atom. Die Korrektheit dieser Annahme best¨atigt man mit folgendem
4.4. Das Wasserstoffatom 57
Virialsatz 4.10. Sei u∈dom(HC)Eigenvektor von HC. Dann gilt hu, H0ui=−1
2hu, VCui. (8)
Das ist die ¨Ubertragung des klassischen Virialsatzes, der bei homogenem Potential das Verh¨altnis der zeitlichen Mittelwerte von potentieller zu kinetischer Energie angibt, auf die Quantenmechanik. Die in Physikb¨uchern zu findende Begr¨undung dieses Satzes basiert auf der Berechnung von Kommutatoren von Orts- und Impulsoperatoren mitHC. Dabei ist nicht ohne weiteres klar, daß man bei den Zwischenschrit-ten innerhalb der Definitionsbereiche der einzelnen Operatoren bleibt. Zwar l¨aßt sich die Argumentation streng durchf¨uhren, wird dann aber viel l¨anger als der folgende Beweis.
Beweis (Weidmann). Der Raum R3 ist R×-Modul verm¨oge Skalarmultiplikation. In Anhang A wird gezeigt, daß die dadurch induzierte nichtunit¨are DarstellungT inL2(R3) stark stetig ist.T stabilisiert den Definitionsbereich vonHC, und f¨urλ∈R× undv∈dom(HC) gilt
H0T(λ)v=λ−2T(λ)H0v.
[F¨ur glattesvist dies klar; f¨urv∈dom(HC) beliebig2folgt es durch Grenz¨ubergang.] F¨ur den Eigenvektor u, der die GleichungH0u+VCu=Euf¨ur einE∈Rerf¨ullt, ist also
H0T(λ)u=λ−2 ET(λ)u−λVCT(λ)u wegenVC(λ−1x) =λVC(x). WeilH0undMVC selbstadjungiert sind, folgt
0 = hu, H0T(λ)ui − hH0u, T(λ)ui
= λ−2Ehu, T(λ)ui −λ−1hu, VCT(λ)ui −Ehu, T(λ)ui+hVCu, T(λ)ui
= (λ−2−1)Ehu, T(λ)ui −(λ−1−1)hVCu, T(λ)ui.
Dividiert man f¨urλ6= 1 durch (λ−1−1) und l¨aßtλ→1 gehen, so erh¨alt man schließlich 0 = 2hu, Eui − hu, VCui= 2hu, H0ui+hu, VCui,
was zu zeigen war.
Mit diesem Satz kann man obige Vermutung sofort beweisen: F¨ur q1q2 >0 ist der Multiplikations-operatorVC streng positiv, d. h.
∀u∈dom(MVC) hu, VCui ≥0 und hu, VCui= 0 ⇐⇒ u= 0,
daVCfast ¨uberall positiv ist [man schreibe das Skalarprodukt als Integral]. Genauso istH0, der aus dem Multiplikationsoperator mit der fast ¨uberall positiven Funktion 2m1 kxk2 durch Fouriertransformation hervorgeht, streng positiv. Daher kann nur die triviale L¨osung u= 0 einer Eigenwertgleichung vonHC
Gleichung (8) erf¨ullen. Im Falle q1q2 <0 folgt aus dem Virialsatz f¨ur einen Eigenwert E von HC mit normiertem Eigenvektoru
E=hu, Eui= 1
2hu, VCui<0,
da dieses Mal VC negativ ist. Also liegt das Punktspektrum auf der negativen Halbachse.
Ab jetzt nehmen wir ein attraktives Coulombpotential an, also q1q2<0.
Aufgrund derO(3)-Invarianz des Coulombpotentials istHC ein selbstadjungierterO(3)-Morphismus [Beispiel 4.6]. Also zerlegt sichHC in eine direkte Summe
HC= M∞
l=0
HC,l,
wobei HC,l ein selbstadjungierter O(3)-Morphismus in Hl ist. F¨ur das Punktspektrum von HC ergibt sich sofort als Konsequenz
σp(HC) = [∞ l=0
σp(HC,l),
2Aufgrund des Weylschen Lemmas k¨onnte man sich hier nat¨urlich auf glattevbeschr¨anken.
denn jeder Eigenvektor vonHC,l ist auch einer von HC, und falls u ∈ dom(HC) Eigenvektor von HC
ist, so ist jede Komponenteul∈dom(HC,l) vonuEigenvektor vonHC,l zum gleichen Eigenwert. Dieses Argument beweist auch die Gleichung
eig(HC, E) = M∞
l=0
eig(HC,l, E) f¨ur die Eigenr¨aume vonHC.
Wir wissen bereits, daß eine Eigenfunktion u von HC,l stetig sein muß [dom(HC) = dom(H0) und Beispiel 1.24]. Zudem [Weylsches Lemma] ist uaußerhalb des Koordinatenursprunges glatt und erf¨ullt dort die klassische Differentialgleichung
− 1
2m∆u+q1q2
kxku=Eu (9)
f¨ur ein E <0. In Polarkoordinaten schreibt sich der Laplaceoperator als
∆u= 1 r2
∂
∂r r2∂u
∂r + 1
r2∆S2ur. (10)
Dabei ist ∂r∂ die radiale Ableitung. Nun sind die Funktionen ausHl gerade diejenigenu∈L2(R3), bei denen f¨ur fast allerdie Funktionur inL2(S2)lliegt [Bemerkung nach Satz 1.11]. Weil ustetig ist, gilt dies hier sogar f¨ur aller∈R+. [Zu jedemrexistiert eine gegenrkonvergente Folge (rn) derart, daß die Funktionenurn stetig sind. Diese konvergieren gleichm¨aßig gegenur, weilS2 kompakt ist. Also liegtur
inL2(S2)l.] Dann ist aber [Satz 3.21(b)]
∆S2ur=−l(l+ 1)ur,
und in Gleichung (10) stehen effektiv nur Ableitungen nachr. F¨ur jeden Punkt ω∈S2 erf¨ullt dann die Funktionv(r) =r uω(r) die gew¨ohnliche Differentialgleichung
v00+
2mE−2mq1q2
r −l(l+ 1) r2
v= 0. (11)
Dabei istuωgenau dann ausL2(R+, r2λ), wennvausL2(R+), also quadratintegrabel, ist. Es ist hilfreich, die unabh¨angige Variable zu
ρ=√
−8mE r
zu w¨ahlen und zus¨atzlich noch eine Funktionw(ρ) =eρ/2v(r) einzuf¨uhren, die dann L¨osung von ρ2w00−ρ2w0+ λρ−l(l+ 1)
w= 0 (12)
ist mit der neuen Konstanten
λ=−q1q2
r
−m 2E >0.
Gleichung (12) kann man als komplexe Differentialgleichung auffassen, deren L¨osungen f¨urρ6= 0 holo-morph sind. Ein Potenzreihenansatz
w(ρ) = X∞ i=0
aiρi liefert folgende Rekursionsformel f¨ur die Koeffizientenai:
l(l+ 1)a0 = 0, i(i+ 1)−l(l+ 1)
ai+1 = (i−λ)ai.
Insbesondere ist l(l+ 1)a1 = λa0. Es folgt, daß die Koeffizienten ai f¨ur i ≤ l verschwinden und die f¨ur i≥l+ 1 verm¨oge der Formel
ai+1= i−λ
i(i+ 1)−l(l+ 1)ai
4.4. Das Wasserstoffatom 59 eindeutig durchal+1 bestimmt sind. Man erh¨alt also nur eine Potenzreihenl¨osungw1.3
Betrachten wir nun deren Konvergenzverhalten: Istλ=n+l+ 1 beziehungsweise E =En+l+1:=− m(q1q2)2
2(n+l+ 1)2
f¨ur einn∈N, so bricht die Potenzreihe ab. Die Funktionw1 ist ein Polynom vom Graden+l+ 1≥1, undv1 =e−ρ/2w1 ist eine quadratintegrable L¨osung der Differentialgleichung (11). Schreibt manw1 in der Formw1=ρl+1L2l+1n (ρ), so erf¨ullt das PolynomL2l+1n die Differentialgleichung
Die bis auf Skalierung einzige polynomiale L¨osung dieser Gleichung heißt verallgemeinertes Laguerresches Polynom und l¨aßt sich in folgender Form angeben:
Lβα(z) = (−1)β dβ
dzβLα+β(z) mit Lα(z) =ez dα
dzα(zαe−z)
(W¨are es nicht die einzige solche L¨osung, so w¨urde auch ein vonw1unabh¨angiges Polynom Gleichung (12) l¨osen.) konvergiert die Reihe ¨uberall [Quotientenkriterium] und stellt somit eine L¨osung der Differentialgleichung (12) dar. Allerdings ist in diesem Fall die Funktion v1 =e−ρ/2w1 nicht quadratintegrabel. Um das zu sehen, bemerkt man, daß gem¨aß (13) f¨ur jedes ∈(0,1) eine nat¨urliche Zahlkderart existiert, daß f¨ur allei≥k
ai+1
ai >1− i+ 1
ist. Man darfak = k!1(1−)k annehmen, indem mankgroß genug w¨ahlt und die Koeffizienten gegebe-nenfalls umskaliert. Dann ist aber f¨ur ein PolynomP vom Grade< k und damit
v1(r)≥exp (12−)ρ
+ exp(−ρ/2)P(ρ).
F¨ur < 12zeigt dies nun, daßv1f¨urr→ ∞unbeschr¨ankt anw¨achst (also auch alle skalaren Vielfache6= 0), und eine solche Funktion ist nicht quadratintegrabel aufR+.
Als n¨achstes bestimmen wir eine zweite, zur Potenzreihenl¨osung w1 linear unabh¨angige L¨osungw2. Ein Variationsansatz liefert
w2(ρ) =w1
Zρ
eσ w1(σ)2dσ.
Entscheidend ist nun das Verhalten vonw2bei 0: Daw1dort eine Nullstelle der Ordnungl+1 hat, besitzt w2dort einen Poll-ter Ordnung und die Funktionu2(r) =e−ρ/2w2/reinen der Ordnungl+ 1>0. Dann kann aber c1u1+c2u2 f¨ur c2 6= 0 nicht der Radialteil einer stetigen Funktion auf R3 sein und damit keine Eigenfunktion vonHC,l.4
3Die Differentialgleichung (12) hat beiρ= 0 einen regul¨ar-singul¨aren Punkt mit charakteristischen Exponentenl+1 und
−l. Da deren Differenz ganzzahlig ist, kann man nur eine L¨osung durch einen Potenzreihenansatz bestimmen. Zus¨atzlich sieht man sofort, daß eine zu w1 unabh¨angige L¨osung bei 0 einen Pol der Ordnung l hat (und m¨oglicherweise einen logarithmischen Anteil, dessen Koeffizient sich aber zu 0 ergeben wird) und folglichu2einen Pol mindestens der Ordnung 1.
4Man beachte, daß im Fallel= 0 auch die Funktionv2 und damit jede L¨osung von (11) bei 0 lokal quadratintegrabel ist. Man kann zeigen [BR69,§10.18, Lemma 2], daß es eine L¨osungvvon (11) gibt, die f¨urr→ ∞exponentiell abf¨allt und daher inL2(R+) liegt. Daß das zugeh¨origeu=v/rals Radialteil einer Eigenfunktion vonHCausgeschlossen wird, liegt allein an der ¨uberaus technisch anmutenden Bedingung, daß im Definitionsbereich vonHCnur stetige Funktionen liegen.
In der physikalischen Literatur, die f¨ur gew¨ohnlich Bereichsfragen meidet, wird daher oft durch Diskussion verschiedener singul¨arer Potentiale eine
”Endlichkeitsbedingung“ f¨ur Eigenfunktionen des Hamiltonoperators
”hergeleitet“, die diesen mißliebigen Kandidaten dann entfernt [LL66,§§35, 36].
Wir wissen also jetzt, daß es f¨ur E /∈ {En+l+1: n∈N}keine quadratintegrable L¨osung der Eigen-wertgleichung geben kann und sonst h¨ochstens L¨osungen u, bei denen f¨ur alle ω ∈S2 die Funktion uω
ein Vielfaches von
Rnl(r) =ρle−ρ/2L2l+1n (ρ) (14)
ist. Also liegen alle Eigenfunktionen zum Eigenwert En+l+1 im Untermodul CRnl⊗L2(S2)l. Um zu beweisen, daß tats¨achlich alle Funktionen in diesem Untermodul Eigenvektoren vonHC,l sind, bleibt mit Lemma 1.25 nur noch zu zeigen, daß sie in dom(HC) = dom(H0) liegen, denn die Funktionen sind inHl, außerhalb des Ursprungs glatt [Rnl glatt und Korollar 3.15] und erf¨ullen dort (9).
Da H0 auf Cc∞(R3) fast selbstadjungiert ist, reicht es dazu, f¨ur u(rω) = Rnl(r)Y(ω), Y ∈L2(S2)l, und allev∈Cc∞(R3) die Identit¨athv,∆ui=h∆v, ui, also
Z
¯
v(∆u)−(∆¯v)u dx= 0, (15)
zu zeigen [Gleichung (1.6); ∆uist fast ¨uberall definiert]. Wenn man die Integration nur ¨uber die Kugel-schaleWr1r2 ={x ∈R3 : r1 ≤ kxk ≤r2}, 0 < r1 < r2, erstreckt, kann man dieses Integral nach dem zweiten Greenschen Satz in ein Oberfl¨achenintegral umformen:
Z
1Wr1r2 v(∆u)¯ −(∆¯v)u dx=
Z
Wr1r2
¯
v(∆u)−(∆¯v)u dx= Z
∂Wr1r2
¯ v∂u
∂r −∂v¯
∂ru ds (16) Da v kompakten Tr¨ager hat, kann man ¨uber eine Kugelschale integrieren, deren ¨außerer Radius r2 so groß ist, daß der Integrand dort bereits verschwindet und das Oberfl¨achenintegral ¨uber den ¨außeren Rand wegf¨allt. Offensichtlich bleibt
∂
∂ru(rω) = d
drRnl(r)Y(ω)
genauso wie die radiale Ableitung von ¯vin einer Umgebung des Ursprunges (sogar im ganzen punktierten Raum) beschr¨ankt. Folglich verschwindet das Integral (16) f¨ur r1 → 0. Andererseits konvergiert der Integrand des linken Integrals von (16) punktweise gegen den von (15) und wird vom Betrag dieses Integranden dominiert. Nach dem Satz ¨uber die dominierte Konvergenz ist damit (15) gezeigt.
Wir fassen die Ergebnisse dieses Abschnittes zusammen:
Satz 4.11. Der Hamiltonoperator eines spinlosen Punktteilchens im Coulombpotential, HC =H0+VC
mitq1q26= 0, ist ein selbstadjungierterO(3)-Morphismus inL2(R3)und l¨aßt sich in eine direkte Summe HC=
M∞ l=0
HC,l
mit selbstadjungierten O(3)-Morphismen HC,l in L2(R+, r2λ)⊗L2(S2)l zerlegen. F¨ur q1q2 >0besitzt HC,l keine Eigenwerte. F¨urq1q2<0ist das Punktspektrum von HC,l durch
σp(HC,l) ={En+l+1:n∈N} mit EN=−m(q1q2)2 2N2 gegeben; der Eigenraum zum Eigenwert En+l+1 ist
eig(HC,l, En+l+1) =CRnl⊗L2(S2)l
mitRnl wie in (14)und hat die Dimension 2l+ 1. Das Punktspektrum von HC ist die Vereinigung der Punktspektren derHC,l, im Falleq1q2>0also leer. F¨urq1q2<0ist
σp(HC) ={EN:N ≥1};
der Eigenraum zuEN ist die direkte Summe der Eigenr¨aume der HC,l zum gleichen Eigenwert, eig(HC, EN) =
N−1M
l=0
CRN−l−1,l⊗L2(S2)l, und hat die Dimension N2.
Die im Satz gemachten Behauptungen ¨uber die Dimensionen der Eigenr¨aume pr¨uft man leicht nach, da dimL2(S2)l= 2l+ 1 ist.
4.5. Tensoroperatoren 61