Man beachte im Falle eines adjungierten TensoroperatorsReiner halbeinfachen LiegruppeGdie enge Verbindung zwischenhR, Riund dem Casimir-Element der Lialgebrendarstellung. Beispielsweise gilt f¨ur das Casimir-Element bez¨uglich einesSU(2)-Moduls
C= 1 2hR, Ri,
der Vorfaktor ist der gleiche wie in Gleichung (3.3). Insbesondere ist hR, Ri=l(l+ 1) id in eineml-isotypischenSU(2)-Modul.
In der klassischen Mechanik ist der Betrag des Drehimpulses die Norm des zugeh¨origen Drehimpuls-vektors ~L=~x×~p(vgl. Abschnitt 4.5). Da wir das kanonische Skalarprodukt von R3 in Abschnitt 3.5 auf SU(2) = Spin(3) ¨ubertragen haben, ist ein Zusammenhang zwischen hL, Liund dem Betragsqua-drat des Bahndrehimpulses in der Quantenmechanik zu erwarten. DaßhL, Li sich im wesentlichen als das Casimir-Element vonso(3) erweist, ist n¨utzlich, weil es zeigt, daßDX ein determinierender Bereich dieses Operators ist.
Literatur: [CT77b, Compl. EX]
4.9 Aufspaltung atomarer Energieniveaus
Mit Hilfe des Wigner-Eckart-Theorems sollen jetzt im Rahmen derLS-Kopplung drei F¨alle besprochen werden, bei denen die Niveaus eines Atoms aufspalten.
Wir beginnen mit der Spin-Bahn-Kopplung und betrachten zun¨achst ein einzelnes Teilchen mit Spin im Coulombpotential. Durch die Bewegung des Teilchens mit Massemund Ladungq1um den Ursprung (Ladung q2) entsteht im Ruhesystem des Teilchens ein Magnetfeld, das mit dem Spin wechselwirkt.
Dieser Effekt heißt Spin-Bahn-Kopplung, die Wechselwirkungsenergie ergibt sich bei einem zentralsym-metrischen PotentialV zu [CT77b, XII.B.b.β]
WLS = ξ(kxk)hL, Si mit ξ(r) = 1
2m2r dV
dr
= − q1q2
2m2r3 f¨ur V(r) =VC(r) =q1q2
r . Um einen Definitionsbereich f¨urWLS anzugeben, betrachten wir die Zerlegung
H=HK⊗ HS =L2(R+, r2λ)⊗L2(S2)⊗ HS. (28) Mξist ein selbstadjungierter Operator im trivialenO(K)-ModulL2(R+, r2λ) undhL, Siein hermitescher Spin(K)-Operator inL2(S2)⊗HS, etwa mit DefinitionsbereichD⊗aHS, wobeiD=DXdie algebraische direkte Summe der isotypischen Komponenten vonL2(S2) bezeichnet [LundSvertauschen aufD⊗aHS].
Also istWLS mit Definitionsbereich
dom(WLS) = dom(Mξ)⊗aD⊗aHS
ein hermitescherSpin(K)-Morphismus. (Bemerkt man, daß bei isotypischer Zerlegung vonL2(S2)⊗ HS der Operator hL, Si in eine direkte Summe beschr¨ankter selbstadjungierter Operatoren zerf¨allt, dann ergibt sich mit der gleichen Argumentation wie f¨ur HZ in Abschnitt 4.6, daß der Operator hL, Si fast selbstadjungiert ist und folglich [RS80, Th. VIII.33] auch WLS.) Insbesondere bricht WLS die O(K)×Spin(K)-Symmetrie des Hamiltonoperators H0+V, wodurch die Energieniveaus aufspalten.
Diese Aufspaltung wollen wir so weit wie m¨oglich durch die Quantenzahlenl,sundj beschreiben.
Aufgrund der Zerlegung (28) und der Form der Eigenr¨aume von Operatoren mit rotationssymmetri-schem Potential wieHC (Satz 4.11) ist ein minimal entarteter Eigenraum von der Gestalt
Cv⊗Ul⊗Us.
Nach der generellen st¨orungstheoretischen Annahme dom(WLS)⊃dom(H0) gilt v ∈dom(Mξ); zudem sei v normiert. Unter der St¨orung WLS spaltet Ul ⊗Us in eine direkte Summe einfacher Spin(K)-UntermodulnUj auf. Wegen Gleichung (18) und der Bilinearit¨at der Abbildung h·,·ifolgt
2hL, Si=hJ, Ji − hL, Li − hS, Si und damit f¨ur einuj =v⊗wj mit normiertemwj ∈Uj < Ul⊗Us
E(WLS, uj) = E(Mξ, v)hwj,hL, Siwji= 1
2E(Mξ, v)hwj,(hJ, Ji − hL, Li − hS, Si)wji
= 1
2E(Mξ, v) j(j+ 1)−l(l+ 1)−s(s+ 1) . Die Energiedifferenz
E(WLS, uj)−E(WLS, uj−1) =E(Mξ, v)j
benachbarter Niveaus ist linear in j (Land´esche Intervallregel). Der Faktor E(Mξ, v) ist f¨ur alle reali-stischen Potentiale, die mit zunehmendem Abstand vom Zentrum anwachsen, positiv. Folglich ist der Zustand mit minimalemj der energetisch g¨unstigste.
Bei n Teilchen (die ich der einfacheren Notation wegen mit gleicher Masse und Ladung annehme) ergibt sich
WLS= Xn k=1
ξ(kx(k)k)hLk, Ski
als Spin-Bahn-Kopplungsenergie, wenn man Wechselwirkungen zwischen verschiedenen Teilchen ver-nachl¨assigt. Da jeder einzelne Summand ein hermitescherSpin(K)-Morphismus ist bez¨uglich der Dar-stellungTJ (dem Produkt der DarstellungenTJk), ist es auchWLS.
Jetzt ist es hilfreich, jeden TermhLk, Skials einen Wert des TensoroperatorsLk⊗Sk (zum ¨außeren Produkt der Darstellungen TLk und TSk oder TL und TS) aufzufassen, n¨amlich zu einem Vektor des eindimensionalen Invariantenraumes des Spin(K)-Moduls so(K)⊗spin(K). Damit ist auch WLS der Wert eines Tensoroperators zum ¨außeren Tensorprodukt vonTL undTS, n¨amlich zu der Summe
X⊗Y 7→
Xn k=1
ξ(kx(k)k)Lk(X)⊗Sk(Y).
Wir betrachten nun einen einfachenO(K)×Spin(K)-ModulUl⊗Us⊂dom(WLS). Da die Dreiecksbedin-gung sowohl f¨urlals auch f¨ursgilt, m¨ussen beide Werte von Null verschieden sein, wenn die durchWLS
gelieferte Abbildung (Ul⊗Us)⊗(Ul⊗Us)→Cnicht trivial sein soll [so(K)⊗spin(K)'U1⊗U1]. Dann wirkt aber auch der TensoroperatorL⊗SinUl⊗Usnicht trivial, und nach dem Wigner-Eckart-Theorem, angewandt aufO(K)×Spin(K), muß
hv, WLSui=ζhv,hL, Siui
sein f¨ur einζ ∈R[f¨uru=v sind beide Seiten reell] und alleu,v∈Ul⊗Us. Also ist f¨ur ein normiertes uj∈Uj < Ul⊗Us
E(WLS, uj) =ζhuj,hL, Siuji= ζ
2 j(j+ 1)−l(l+ 1)−s(s+ 1)
Wichtig ist, daß ζ zwar vom Untermodul Ul⊗Us abh¨angt, nicht aber von j. Man erh¨alt also eine Aufspaltung wie im Falle eines Teilchens. Allerdings muß jetzt der Faktorζ nicht mehr positiv sein. Ist er es, dann nennt man den Term normal, bei negativem ζ heißt der Term invertiert. F¨urζ = 0 gibt es keine Aufspaltung.
Bei Anwesenheit eines Magnetfeldes B tritt der Dipoloperator WJ(B) zum Hamiltonoperator H hinzu, der eine Aufspaltung der Niveaus bewirkt (Zeeman-Effekt). Von der St¨arke des Magnetfeldes h¨angt es ab, wie das Kopplungsschema ge¨andert werden muß, um die Verschiebung der Energieniveaus zu bestimmen. Solange B klein ist, berechnet man zuerst die Feinstrukturaufspaltung. (Derart kleine Magnetfelder, f¨ur die WJ(B) im Bereich der Feinstrukturaufspaltung liegt, seien vernachl¨assigt.) Bei starken Magnetfeldern dominiert der magnetische Dipoloperator den FeinstrukturoperatorWf. Obwohl man bei den experimentell erzeugbaren Magnetfeldern eher im Bereich intermedi¨arer Kopplung bleibt,
4.9. Aufspaltung atomarer Energieniveaus 77 berechnet man die St¨orungWfnach der St¨orungWJ(B). Man spricht in diesem Fall vom Paschen-Back-Effekt, im Gegensatz zum Zeeman-Effekt im engeren Sinne, der bei schwachen Magnetfeldern vorliegt.
Wir gehen im folgenden von kleinemB aus.
Die nach der Spin-Bahn-Kopplung verbliebeneSpin(K)-Symmetrie wird durchWJ(B) gebrochen; die Eigenr¨aume vonH, die Spin(K)-Untermoduln sind, spalten sich auf. Zun¨achst sei das Problem etwas allgemeiner behandelt.
Sei H ein SU(2)-Modul, R:su(2) → LD(H) ein Tensoroperator zur adjungierten Darstellung von SU(2) und Uj ⊂D ein einfacher Untermodul. Gesucht ist eine einfache Methode zur Berechnung der Skalarprodukte
hv, R(X)ui
mit X∈su(2) undu,v∈Uj. Wir k¨onnenj >0 annehmen, weil diese Matrixelementenabbildung sonst aufgrund der Dreiecksbedingung trivial ist. Da in diesem Fall die Matrixelementenabbildung
Uj×su(2)×Uj → C,
(v, X, u) 7→ hv, J(X)ui,
mit dem adjungierten TensoroperatorJwohldefiniert und nicht trivial ist, muß nach dem Wigner-Eckart-Theorem
hv, R(X)ui=hUjkRkUjiJhv, J(X)ui
sein. UmhUjkRkUjiJ∈Rzu bestimmen, betrachtet man den unbeschr¨anktenSU(2)-MorphismushR, Ji. (Ohne den Definitionsbereich vonhR, Jin¨aher anzugeben, gehen wir davon aus, daß erUj enth¨alt, denn Uj ist unter allen OperatorenR(X),J(X) stabil.) Bezeichnet (Yi) eine Orthonormalbasis von su(2), so gilt [J(Yi) stabilisiertUj]
hv,hR, Jiui=X
k
hv, R(Yk)J(Yk)ui=hUjkRkUjiJhv,hJ, Jiui. Da nebenhR, JiauchhJ, Ji=j(j+ 1) id6= 0 inUj als Homothetie wirkt, folgt
hv, R(X)ui=hv, j(j+ 1)−1
hR, JiJ(X)ui.
Diese Gleichung nennt man den Projektionssatz, da der Operator im rechten Skalarprodukt formal die Gestalt
hR, Ji hJ, JiJ der Projektion vonRaufJ hat und nur diese
”Projektion“ zu der Matrixelementenabbildung beitr¨agt.13 Sei jetzt speziell H=HK⊗ HS und
R=WJ =WL+WS =−γLL−γSS
der magnetische Dipoloperator mit D = DX. Mit Hilfe des Projektionssatzes k¨onnen wir die Schwie-rigkeit, daßWJ kein skalares Vielfaches vonJ ist, ¨uberwinden. Wie bei der Rechnung zur Spin-Bahn-Kopplung zeigt man ohne Schwierigkeit die Formeln
2hL, Ji = hL, Li − hS, Si+hJ, Ji und 2hS, Ji = hS, Si − hL, Li+hJ, Ji.
F¨ur einen einfachenSpin(K)-UntermodulUj < Ul⊗Us< D erhalten wir das Resultat
hv, WJ(B)ui=−γlsjhv, J(B)ui (29) mit
γlsj = l(l+ 1)−s(s+ 1) +j(j+ 1)
γL+ s(s+ 1)−l(l+ 1) +j(j+ 1) γS
2j(j+ 1) . (30)
Wenn man sich also in der Matrixelementenabbildung (29)auf einen festen Untermodul Uj beschr¨ankt, dann ist die Energie WJ wie vorher WL und WS proportional zu einem Drehimpuls, n¨amlich dem
13Der Projektionssatz legitimiert die Berechnung im Rahmen des Vektormodells des Drehimpulses, bei der man sich die den GesamtdrehimpulsJbestimmenden DrehimpulseLundSals umJpr¨azedierend vorstellt, so daß sich die Komponenten senkrecht zuJim zeitlichen Mittel wegheben [CT77b, S. 1238].
GesamtdrehimpulsJ, allerdings mit einem neuen gyromagnetischen Verh¨altnisγlsj, das davon abh¨angt, wie sich Bahndrehimpuls und Spin zum Gesamtdrehimpuls zusammensetzen. F¨ur den Spezialfall eines Elektrons (γS = 2γL, gen¨ahert) vereinfacht sich die Formel zu
γlsj
γL
= 3
2+s(s+ 1)−l(l+ 1) 2j(j+ 1) .
Mit der Formel (30) f¨ur das gyromagnetische Verh¨altnis kann man nun leicht die Energieverschie-bungen beim Zeeman-Effekt berechnen. Ein minimal entarteter EigenraumU vonH mit Spinj spaltet unter der St¨orungWJ(B) in 2j+ 1 eindimensionale Eigenr¨aume auf; die Eigenwerte ver¨andern sich um
∆E=−γlsjkBkm, m∈ {−j, . . . , j};
wobei mwiederum magnetische (Gesamtdrehimpuls-)Quantenzahl genannt wird. Man beachte, daß die Herleitung unabh¨angig von der Teilchenanzahl gilt, solange alle Teilchen die gleichen gyromagnetischen Verh¨altnisse γL und γS besitzen. Diese Formel macht die Bedeutung des Zeeman-Effektes besonders sichtbar: Die Anzahl der Linien, in die eine vormals einfache Linie aufspaltet, und die Breite der Auf-spaltung h¨angen direkt mit den Drehimpulsen der beteiligten Niveaus zusammen. Die Anzahl ergibt sich aus dem Gesamtdrehimpuls, die Breite der Aufspaltung via Gleichung (29) aus dem gyromagneti-schen Verh¨altnis, also aus den verschiedenen Drehimpulsen. Allerdings muß man die Aufspaltung von Ausgangs- und Zielniveau ber¨ucksichtigen, was die Analyse etwas erschwert. Es ist klar, daß besonders viele neue Linien entstehen, wenn die Aufspaltung beider Niveaus unterschiedlich groß ist. Obwohl dies den h¨aufigsten Fall darstellt, wird er anomaler Zeeman-Effekt genannt. Bei gleich großer Aufspaltung und entsprechend weniger Linien spricht man vom normalen Zeeman-Effekt.
Mit Gleichung (30) kann man auch die Vermutung begr¨unden, daß ein Teilchen nicht elementar ist:
Eine (nichtrelativistische) Theorie, die ein gyromagnetisches Verh¨altnisγS= 2 f¨ur den Spin vorhersagt, l¨aßt sich unter Verwendung von Clifford-Algebren relativ einfach angeben [GP91, Sec. 12.5]. (Die leichte Abweichung von diesem Wert beim Elektron erkl¨art die Quantenfeldtheorie.) Wenn nun ein Teilchen ein”krummes“ gyromagnetisches Verh¨altnisγS 6= 2 f¨ur den Spin besitzt, dann ist es wahrscheinlich aus anderen Teilchen aufgebaut, und der gemessene Wert γS ist in Wirklichkeit das resultierende gyroma-gnetische Verh¨altnis zu dem magyroma-gnetischen Moment der Relativbewegung der Teilchen umeinander und dem der Spins. Das trifft zum Beispiel auf Proton (γL = γN, γS/2≈2,79µN) und Neutron (γL = 0, γS/2≈ −1,91µN) zu;µN =2mep ist hierbei das Kernmagneton mit Ladungeund Massempdes Protons.
In der Tat sagt das Quarkmodell, das beide Kernbausteine aus 3 kleineren Teilchen, sogenannten Quarks, bestehen.
Bisher wurde die Wechselwirkung des Elektronenspins mit dem Kernspin, die die Hyperfeinstruktur der Energieniveaus verursacht, vernachl¨assigt, da sie viel schw¨acher als die Spin-Bahn-Kopplung ist. Will man den Kernspin ber¨ucksichtigen, dann muß man den Hilbertraum (im Falle eines Elektrons) erweitern zu H = L2(K)⊗Us⊗Ui mit dem Spin s = 1/2 des Elektrons und Kernspin i. (Da sich der Kern aus mehreren Protonen und Neutronen, jeweils mit Spin 1/2, zusammensetzt, kann der resultierende (Gesamt-)Kernspiniverschiedene Werte annehmen, die in der Regel zwischen 0 und 15/2 liegen.) AufH ist eine Darstellung der GruppeG=O(K)×Spin(K)×Spin(K) erkl¨art; der adjungierte Tensoroperator zur Darstellung vonSpin(K) aufUi heißt KernspinoperatorI.
Der HyperfeinstrukturoperatorWhf besteht aus drei Summanden, Whf =WLI +WSIdip+WSIc ,
die unterschiedlichen Effekten Rechnung tragen und im folgenden kurz vorgestellt werden sollen. Eine ausf¨uhrliche Herleitung der Terme findet man in [CT77b, Ch. XII].
Das um das Proton rotierende Elektron erzeugt am Kernort ein Magnetfeld, relativ zu dem der Kernspin verschiedene Stellungen einnehmen kann. Dieser Effekt wird durch den Operator
WLI =− qγI
mkxk3hL, Ii beschrieben.
Der Kernspin selbst ruft auch ein Magnetfeld hervor, das mit dem Elektronenspin wechselwirkt.
Hier sind zwei Situationen zu unterscheiden: Außerhalb des Kerns hat das Magnetfeld Dipolcharakter, entsprechend der Formel f¨ur die Wechselwirkungsenergie zweier Dipole (Kern und Elektron) aus der klassischen Elektromechanik ist der Operator dazu durch
WSIdip=−γSγI
kxk5 3hX, SihX, Ii − hX, XihS, Ii
4.9. Aufspaltung atomarer Energieniveaus 79 gegeben.
Innerhalb des Kerns nimmt man das Magnetfeld in erster N¨aherung als homogen an; die Wechselwir-kungsenergie sollte dann ein Ausdruck proporptional zuhS, Iisein. Um anzudeuten, daß dieser Term nur in dem Maße Beitr¨age liefert, wie sich das Elektron am Kernort aufh¨alt, schreibt man diesen sogenannten Kontaktterm in der Form
WSIc =−8π
3 γSγIhS, Iiδ(x)
mit der Diracschen Delta-Distribution, denn der Kern ist verglichen mit der ihn umgebenden
”Wolke“ der Elektronenaufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte praktisch ein Punkt. F¨ur die (stetigen) Eigenfunktionen des Wasserstoffatoms kann man diesen Ausdruck wie in der Distributionentheorie interpretieren.
Es soll nun gezeigt werden, daß bei einem Zustand des Elektron-Kern-Systems mit Bahndrehimpuls-quantenzahl l = 0 nur der Kontaktterm einen Beitrag zur Verschiebung der Energieniveaus durch den Hyperfeinstrukturoperator liefert. Sei V = Ul⊗Us⊗Ui ein minimal entarteter Eigenraum. Mit der gleichen Argumentation wie bei der Spin-Bahn-Kopplung WLS folgt, daß f¨ur l = 0 (oder i = 0) die Matrixelementehv, WLIviverschwinden f¨ur jedesv∈V.
Der OperatorWSIdipist interessanter. Betrachten wir den TensoroperatorR=X⊗X⊗S⊗I: R: W =K0⊗K0⊗spin(K)⊗spin(K) → L(H),
σ⊗τ⊗X⊗Y 7→ X(σ)X(τ)S(X)I(Y).
zuG. Die Restriktion desG-ModulsW aufSO(K) besitzt isotypische Komponenten mit Spin 0, 1 und 2, W =W0⊕W1⊕W2,
die gleich den isotypischen Komponenten von K0 ⊗K0 tensoriert mit spin(K)⊗spin(K) sind. Die isotypischen Komponenten vonK0⊗K0= End(K) (kanonisch isomorph) lassen sich leicht angeben: Es sind die Skalierungen (Spin 0), die antisymmetrischen (Spin 1) und die symmetrischen spurfreien (Spin 2) Abbildungen,
End(K) =Rid⊕{A:At=−A} ⊕ {A:At=A,trA= 0}. (31) Wir werden zeigen, daßWSIdip Wert des Tensoroperators R zu einem ws ∈ W2 ist. Dann folgt aus der Auswahlregel 4.22 bzw. aus dem Wigner-Eckart-Theorem, daß
hv, WSIdipvi= 0
ist f¨ur alle v ∈ V. Um die einfache Rechnung ¨ubersichtlicher zu gestalten, fasse ich Elemente aus W als Matrizen aus End(K) (bez¨uglich einer Orthonormalbasis (ek) vonK) auf, deren Eintr¨age Vektoren ausspin(K)⊗spin(K) sind, denn dann ¨ubertr¨agt sich die Beschreibung der isotypischen Komponenten von (31). Per Definition ist in dieser SchreibweiseWSIdip=R(w) mit
w= 3
wobei (Yk) die in Abschnitt 3.5 eingef¨uhrte Orthonormalbasis vonspin(K) ist. Dieseswkann man wie Elemente aus End(K) in einen symmetrischen Anteilwsund einen antisymmetrischen Anteilwazerlegen.
Der symmetrische Anteil ist
”spurfrei“ ist. Wegen der Symmetrie des TensoroperatorsR in den ersten bei-den Faktoren ist R(w) =R(ws), was zu zeigen war. Also kommen Beitr¨age zur Hyperfeinstruktur bei verschwindenem Bahndrehimpuls des Elektrons nur vom Kontaktterm.
Sei jetztUl die 1s-Schale des Wasserstoffatoms und v∈V ein normierter Zustand. Dann ist hv, Whfvi=hv, WSIc vi=ahS, Ii
f¨ur eina∈R, in das die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons am Kernort, also die FunktionR00
aus Gleichung (14), eingeht. Beim Wasserstoffatom haben sowohl Elektron als auch Proton Spin 1/2, also
kann der Gesamtspinf die Werte 0 und 1 annehmen, je nachdem, ob beide Spins parallel oder antiparallel stehen. Analog der Diskussion der Spin-Bahn-Kopplung spalten durchWhf die Energieniveaus auf. Die Energiedifferenz ist f¨ur die 1s-Zust¨ande nach der Land´eschen Intervallregel gleicha, was einer Wellenl¨ange von 21cm entspricht. Diese Strahlung, die beim Umklappen der Spins relativ zueinander emittiert oder absorbiert wird, ist wichtigstes Indiz f¨ur die Wasserstoffverteilung im Universum.
Literatur: [CT77b, Compl. DX, Ch. XII], [CS67,§37]