Gioele Zardini Lineare Algebra I/II FS 2017
Wahr/Falsch Aufgaben: Tag 1 - L¨ osungen
Markiere die richtige Aussagen.
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1. Sei A eine n×n-Matrix mit Eintr¨agen aij, so dass aij = 1 wenn i+j = n + 1 und aij = 0 sonst. Dann gilt A=A−1.2. Es gibt Matrizen B ∈ R4×2 und C ∈ R2×4, so dass das Produkt B ·C ∈ R4×4 vollen Rang hat.
3. Seien A, B ∈ Rn×n und c, d ∈ Rn eine L¨osung von Ax = c und y eine L¨osung von By=d, so ist x+y eine L¨osung von (A+B)z =c+d.
4. Ein Gleichungssystem Ax=Abf¨urx(A undb gegeben) hat immer genau eine L¨osung (x=b).
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5. Multipliziert man eine m×n-Matrix mit einer n ×p- Matrix mit der ¨ublichen For- mel, so ben¨otigt man - wenn man keine Vereinfachungen vornimmt - genau mnp viele Multiplikationen und m(n−1)p viele Additionen.3
6. F¨ur die folgende Matrix A gilt A=A−1 :A=
0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0
.
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7.A·B =1 impliziert auch B·A=1 f¨ur quadratische Matrizen A und B.8.A·B = 0 impliziert auch B·A= 0 f¨ur quadratische MatrizenA und B.
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Gioele Zardini Lineare Algebra I/II FS 2017
Erkl¨ arungen
1. Wahr. Falls man versucht, eine solche A zu schreiben, man findet
A=
0 . . . 1 0 . . . 1 0
... . .. . ..
0 1 0 . . . 0
Falls diese Matrix mit sich selbst multipliziert, man sieht leicht das es zur Identit¨atsmatrix f¨uhrt.
2. Falsch. Definiert man die zwei solche allgemeine Matrizen und man sieht leicht dass mit zwei Operationen auf das Produkt man nullen Spalten erzeugen kann, alsoRang(BC)6=
4. Ausserdem gilt im Allgemein
Rang(A·B)≤min(Rang(A), Rang(B))
und in unserem Fall ist min(Rang(B), Rang(C)) h¨ochstens 2.
3. Falsch. Setzt man x+y als m¨ogliche z L¨osung, findet man
(A+B)·(x+y) =Ax+Ay+Bx+By=c+d+Ay+Bx6=c+d
4. Falsch. Viele Arten von Widerspruch sind hier m¨oglich. Z.B. falls A die Nullmatrix ist, kann man unendlich viele L¨osungen haben. Achtung zum folgenden Gedanken:
Ax =Ab−→A−1Ax=A−1Ab−→x=b
Das funktioniert nur falls A invertierbar ist, und das ist nicht immer der Fall!
5. Wahr. Pro Eintrag gibt es n Multiplikationen (Anzahl Spalten) und n−1 Additionen.
Da Endresultat des Produktes eine m×p Matrix ist, hat man m·n Eintr¨age und somit p·m·n Multiplikationen und p·m·(n−1) Additionen.
6. Wahr. Matrixmultiplikation liefert die Identit¨atsmatrix.
7. Wahr. Falls A·B =1 istB die Inverse von A und Umgekehrt.
8. Falsch. Einfach ein Widerspruch zu finden. Seien z.B.
A= 1 0
0 0
, B = 0 0
1 0
Falls man die Berechnungen macht, findet
A·B = 0 0
0 0
aber
B·A= 0 0
1 0
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