Gioele Zardini Lineare Algebra I/II PVK FS 2016
L¨ osungen Wahr/Falsch Aufgaben - Tag 1
1. Wahr. Falls man versucht, eine solche A zu schreiben, man findet
A=
0 . . . 1 0 . . . 1 0
... . .. . ..
0 1 0 . . . 0
Falls diese Matrix mit sich selbst multipliziert, man sieht leicht das es zur Identit¨atsmatrix f¨uhrt.
2. Falsch. Definiert man die zwei solche allgemeine Matrizen und man sieht leicht dass mit zwei Operationen auf das Produkt man ”nullen” Spalten erzeugen kann, alsoRang(BC)6=
4. Ausserdem gilt im Allgemein
Rang(A·B)≤min(Rang(A), Rang(B))
und in unserem Fall ist min(Rang(B), Rang(C)) h¨ochstens 2.
3. Falsch. Setzt manx+y als m¨ogliche z L¨osung, findet man
(A+B)·(x+y) =Ax+Ay+Bx+By=c+d+Ay+Bx6=c+d
4. Falsch. Viele Arten von Widerspruch sind hier m¨oglich. Z.B. falls A die Nullmatrix ist, kann man unendlich viele L¨osungen haben. Achtung zum folgenden Gedanken:
Ax =Ab−→A−1Ax=A−1Ab−→x=b
Das funktioniert nur falls A invertierbar ist, und das ist nicht immer der Fall!
5. Wahr. Pro Eintrag gibt es n Multiplikationen (Anzahl Spalten) und n−1 Additionen.
Da Endresultat des Produktes eine m×p Matrix ist, hat man m·n Eintr¨age und somit p·m·n Multiplikationen und p·m·(n−1) Additionen.
6. Wahr. Matrixmultiplikation liefert die Identit¨atsmatrix.
7. Wahr. Falls A·B =1 istB die Inverse von A und Umgekehrt.
8. Falsch. Einfach ein Widerspruch zu finden. Seien z.B.
A= 1 0
0 0
, B = 0 0
1 0
Falls man die Berechnungen macht, findet
A·B = 0 0
0 0
aber
B·A= 0 0
1 0
1
