Gioele Zardini Lineare Algebra I/II PVK FS 2016
L¨ osungen Wahr/Falsch Aufgaben - Tag 4
1. Wahr. Es folgt aus Definition 51 im Skript.
2. Wahr. Ein Eigenwert f¨ur eine 3×3-Matrix heisst algebraische Vielfachheit 3. Da auch die geometrische Vielfachheit 3 ist, ist die Matrix diagonalisierbar. Um ein Eigenraum von Dimension 3 zu haben muss die ganze Diagonale verschwinden und 3 Nullzeilen erzeugen.
Das ist der Fall bei der gegebene Matrix.
3. Falsch. Eine Matrix ist nicht invertierbar falls det(A) = 0 und wir haben gelernt dass det(A) =λ1·. . .·λn, was in unserem Falldet(A) = 0 ergibt.
4. Falsch. Es gilt Av= 2v und Bv = 2v, aber
(A+B)v =Av+Bv= 4v Also v Eigenvektor zum Eigenwert 4 vonA+B.
5. Falsch. Es gilt Av= 2v und Bv = 2v, aber
(AB)v =A·2v = 2·Av= 4v Also v Eigenvektor zum Eigenwert 4 vonAB.
6. Falsch. Man kann viele Gegenbeispiele finden, ein davon ist A=
1 0 0 1 1 0 0 1 1
Es gilt det(A) = 1 also die Matrix ist invertierbar. Falls man die Eigenwerte berechnet, man erh¨alt Eigenwert λ1 = 1 mit algebraische Vielfachheit 3. Um Diagonalisierbarkeit zu haben, muss jetzt das Eigenraum dreidimensional sein: das LGS lautet
A=
0 0 0 1 0 0 0 1 0
x= 0
Man sieht leicht dass die geometrische Vielfachheit nicht 3 ist und also dass die Matrix nicht diagonalisierbar ist.
7. Wahr. Wir haben gelernt dass falls λ Eigenwert von P ist, λ2 ist dann Eigenwert von P2 =P P. Das heisst dass die einzige M¨oglichkeiten so dass λ=λ2 gilt, sind λ = 0 oder λ= 1.
8. Falsch. Es gilt Av=−v und Aw=w. Also
A(v+w) =Av+Aw =w−v 6= 0
9. Falsch. Es gilt Av =λv aber A(−v) = −Av =−λv = λ(−v). Also ist −v Eigenvektor zum Eigenwert λ.
10. Falsch. Es gilt Av1 =λ1v1 und Av2 =λ2v2 aber
A(v1+v2) = Av1+Av2 =λ1v1 +λ2v2
11. Wahr. Positiv definit. Den Rest folgt aus Theorie ¨uber Hauptachsentransformationen.
12. Wahr. Wie oben.
13. Wahr. Eine kurze Berechnung ergibt dieselbe Eigenwerte.
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