Wahr/Falsch Aufgaben: Tag 3 - L¨ osungen

Gioele Zardini Lineare Algebra I/II FS 2017

Wahr/Falsch Aufgaben: Tag 3 - L¨ osungen

Markiere die richtige Aussagen.

1. Es gibt MatrizenB ∈R^4×2 und C ∈R^2×4 so dass das ProduktBC ∈R^4×4 vollen Rang hat.

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2. Sei P ∈ R^n×n eine quadratische Matrix. Gilt P P = P, so folgt im(P) = E1, wobei E₁ ={x∈Rⁿ|P x=x}ist und im(P) das Bild von P bezeichnet.

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3. F¨ur jede quadratische MatrixP ∈R^n×n giltE₁ ⊂im(P), wobeiE₁ ={x∈Rⁿ|P x=x}

und im(P) das Bild von P bezeichnet.

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4. Einer Matrix die Summe ihrer Eintr¨age zuzuordnen, ist eine lineare Abbildung.

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^{5. A → AT} ist eine lineare Abbildung und die symmetrischen Matrizen bilden einen Eigenraum davon.

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6. F¨ur jeden 2-dimensionalen Unterraum U von R⁴ gibt es eine Matrix A mit im(A) = U =ker(A).

7. Es gibt eine lineare Abbildung f :R³ →R² mit ker(f) ={0}.

3

8. Es gibt eine lineare Abbildung f :R→R² mit ker(f) ={0}.

9. Die lineare Abbildung (x, y) → (x +y, y − x) von R² nach R² wird bez¨uglich der Standardbasis, durch die Matrix

1 −1

1 1

dargestellt.

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10. Sei

A=









0 1 2 3 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6









∈R^4×4.

Es gilt dim(ker(A)) = dim(im(A)).

11. Hat die lineare Abbildung A:V →W zweidimensionales Bild, so muss V ein zweidi- mensionaler Vektorraum sein.

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12. Seien x, y zwei (Spalten)vektoren im Rⁿ, dann hat die n×n-Matrix xy^T h¨ochstens den Rang 1.

13. Jeder Eigenvektor v einer Matrix P liegt im Bild, also v ∈im(P).

14. F¨ur jeden 2-dimensionalen Unterraum U von R³ gibt es eine Matrix A mit im(A) = U =ker(A).

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15. F¨ur eine quadratische MatrixA giltRang(Aⁿ)≥Rang(Aⁿ⁺¹) f¨ur jedesn = 1,2,3, . . . 16. Die Menge der 5×5-Matrizen A, welche dim(im(A)) =dim(ker(A)) erf¨ullen, bilden

einen Vektorraum.

17. Die Menge der 6×6-Matrizen A, welche dim(im(A)) =dim(ker(A)) erf¨ullen, bilden einen Vektorraum.

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Erkl¨ arungen

1. Falsch. Schon gesehen.

2. Wahr. Ja. Das kann wie die Einheitsmatrix gesehen. In der Vorlesung wurde gesagt dass das bei einer quadratischen Nullmatrix nicht funktionieren w¨urde. Falls man aber eine Nullmatrix hat, ist dann Bild von E₁ leer weil P ·x w¨urde nur den Nullvektor erzeugen und das funktioniert (Ker hat dann Dimension n).

3. Wahr. Falls P x=x d.h. x wurde von ProduktP x erzeugt, d.h. es ist in Bild(A)

4. Wahr. Die Summe der Eintr¨age einer Matrix addiert zur Summe der Eintr¨age einer anderen Matrix ist genau gleich die Summe der Eintr¨age der Summe der zwei Matrizen.

Falls eine Konstante multipliziert jeden Eintrag, die Summe wird dann mit dieser Kostante multipliziert. Die zwei Bedingungen f¨ur eine lineare Abbildung sind also erf¨ullt.

5. Wahr. Die Transposition ist nach Definition linear mit der Addition und der Multipli- kation mit einem Skalar. Symmetrische Matrizen bilden ein Eigenraum mit Eigenwert 1.

6. Wahr. Da die Aussage besagt, dass ker(A) = im(A), es folgt dass dim(im(A)) = dim(ker(A)) = 2 und das ist im Allgemein immer m¨oglich.

7. Falsch. dim(im(A)) kann h¨ochstens 2 sein, aber dim(ker(A)) +dim(im(A) = 3.

8. Wahr. Das geht.

9. Falsch. Nein, die richtige Matrix sollte

1 1

−1 1

sein.

10. Wahr. Falls man die Matrix umformt man erh¨alt die Zeilenstufenform









1 2 3 4 0 1 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0









Man sieht also dassdim(ker(A)) =dim(im(A)) = 2.

11. Falsch. Das Bild definiert was in W steht und nicht was in V steht.

12. Wahr. Alle Zeilen einer solche Matrix sind nur von ein konstanten Koeffizient verschieden und also linear abh¨angig. Nehmen wir als einfaches Beispiel n= 3. Es gilt f¨ur

x=



 a b c



, y^T = d e f das Produkt ergibt

x·y^T =





ad ae af bd be bf cd ce cf





Es folgt dass h¨ochstens Rang(A) = 1.

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13. Falsch. Eigenvektoren werden durch die Gleichung Av=λv

bestimmt. Falls aber v Eigenvektor zur Eigenwert 0 ist, liegt es im ker(A) da Av = 0.

14. Falsch. Hier ist noch einfacher das zu sagen: man weisst dass dim(ker(A)) +dim(im(A)) =n = 3 sein muss, aber falls ker(A) = im(A) folgt dass

dim(ker(A)) = dim(im(A)) = 3 2

Das ist nicht m¨oglich da die Dimension eine positive und nat¨urliche Zahl sein muss.

15. Wahr. Eine andere wichtige Eigenschaft von Rang ist

Rang(A·B)≤min(Rang(A), Rang(B))

In unserem Fall kann man das als

Rang(Aⁿ⁺¹) =Rang(A·Aⁿ)≤min(Rang(A), Rang(Aⁿ)) schreiben. Also in allen F¨allen ist es kleiner oder gleich Rang(Aⁿ).

16. Falsch. Es existiert keine solche Menge da n ungerade ist und dim6= ⁵₂

17. Falsch. Die Addition zwei solche Matrizen hat nicht immerdim(im(A)) = dim(ker(A)) und also ist nicht immer wieder in V.

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