Wahr/Falsch Aufgaben: Tag 3

Gioele Zardini Lineare Algebra I/II PVK FS 2018

Wahr/Falsch Aufgaben: Tag 3

Markiere die richtige Aussagen.

1. Es gibt MatrizenB ∈R^4×2 und C ∈R^2×4 so dass das ProduktBC ∈R^4×4 vollen Rang hat.

2. Sei P ∈ R^n×n eine quadratische Matrix. Gilt P P = P, so folgt Im(P) = E1, wobei E₁ ={x∈Rⁿ|P x=x}ist und Im(P) das Bild von P bezeichnet.

3. F¨ur jede quadratische MatrixP ∈R^n×ngiltE₁ ⊂Im(P), wobeiE₁ ={x∈Rⁿ|P x=x}

und Im(P) das Bild von P bezeichnet.

4. Einer Matrix die Summe ihrer Eintr¨age zuzuordnen, ist eine lineare Abbildung.

5. A → A^T ist eine lineare Abbildung und die symmetrischen Matrizen bilden einen Eigenraum davon.

6. F¨ur jeden 2-dimensionalen Unterraum U von R⁴ gibt es eine Matrix A mit Im(A) = U = Ker(A).

7. Es gibt eine lineare Abbildung f :R³ →R² mit Ker(f) ={0}.

8. Es gibt eine lineare Abbildung f :R→R² mit Ker(f) ={0}.

9. Die lineare Abbildung (x, y) → (x +y, y − x) von R² nach R² wird bez¨uglich der Standardbasis, durch die Matrix

1 −1 1 1

dargestellt.

10. Sei

A=









0 1 2 3 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6









∈R^4×4. (0.1)

Es gilt dim(Ker(A)) = dim(Im(A)).

11. Hat die lineare Abbildung A:V →W zweidimensionales Bild, so muss V ein zweidi- mensionaler Vektorraum sein.

12. Seien x, y zwei (Spalten)vektoren im Rⁿ, dann hat die n×n-Matrix xy^T h¨ochstens den Rang 1.

13. Jeder Eigenvektor v einer Matrix P liegt im Bild, also v ∈Im(P).

14. F¨ur jeden 2-dimensionalen Unterraum U von R³ gibt es eine Matrix A mit Im(A) = U = Ker(A).

15. F¨ur eine quadratische MatrixA giltRang(Aⁿ)≥Rang(Aⁿ⁺¹) f¨ur jedesn = 1,2,3, . . . 16. Die Menge der 5×5-Matrizen A, welche dim(Im(A)) = dim(Ker(A)) erf¨ullen, bilden

einen Vektorraum.

17. Die Menge der 6×6-Matrizen A, welche dim(Im(A)) = dim(Ker(A)) erf¨ullen, bilden einen Vektorraum.

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