Gioele Zardini Lineare Algebra I/II PVK FS 2016
L¨ osungen Wahr/Falsch Aufgaben - Tag 2
1. Wahr. Falls man die drei Polynome brechnet und lineare Abh¨angigkeit untersucht, man bekommt das LGS
1 2 1
1 −2 1
1 4 4
x= 0
Die Matrix hat vollen Rang und deshalb sind sie linear unabh¨angig.
2. Wahr. Ich kann leicht mit einer lineare Kombination diesen drei Polynome die drei Basenelemente 1, x, x2 erzeugen, also P2.
3. Falsch. Wie in 1. bekommt man das LGS
1 0 −1 1 1 0 0 1 1 0 1 −1
·x= 0
Die Matrix hat in diesem Fall keinen vollen Rang. Es folgt sie sind linear abh¨angig.
4. Wahr. Ich kann leicht mit einer lineare Kombination diesen drei Polynome die drei Basenelemente 1, x, x2 erzeugen, also P2.
5. Falsch. Wie in 1. bekommt man das LGS
1 2 1
1 0 1
1 −2 1
·x= 0
Die Matrix hat in diesem Fall keinen vollen Rang. Es folgt sie sind linear abh¨angig.
6. Falsch. Es ist nicht m¨oglich das Polynom 1 zu erzeugen. Das kann einfach gesehen werden, mit
1 2 1
1 0 1
1 −2 1
·x=
0 0 1
Dieses LGS hat keine L¨osung.
7. Falsch. Es ist einfach ein Widerspruch zu finden. Seien v1 =
1 0
, v2 = 0
1
, v3 = 5
1
Man sieht hier dass v1 und v2 linear unabh¨angig sind und v2 und v3 auch. Es gilt aber nicht dass die drei linear unabh¨angig sind (offensichtlich sindv1 und v3 linear abh¨angig).
Es gilt im Allgemein, dass falls man mehr als n Vektoren gegeben ist f¨ur ein n dimen- sionalen Vektorraum, dann sind sie sicher linear abh¨angig!
8. Falsch. Wir haben gesehen dass
det(λA) =λn·det(A), A∈Rn×n
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9. Wahr. Es gilt
det(A) = 7, det(B) = 0, det(A+B) = 7 =det(A) +det(B) 10. Wahr. Folgt aus Definition von Vektorr¨ume und Untervektorr¨aume.
11. Wahr. Durch einsetzen der Vektoren in das Skalarprodukt, man erh¨alt Z 1
−1
√15
2 x3dx= 0
12. Wahr. ”Crossprodukt” erzeugt ein Vektor senkrecht zu den anderen zwei. Diese sind linear unabh¨angig.
13. Falsch. Total im Widerspruch mit der Definition von lineare Unabh¨angigkeit: v1+v2 ist eine lineare Kombination vonv1 und v2, es kann also nicht linear unabh¨angig von v1 und v2 sein.
14. Wahr. Die Erkl¨arung ist richtig, die Dimension kann unendlich sein.
15. Wahr. Die zwei Bedingungen f¨ur ein Unterraum sind erf¨ullt. Es folgt aus Linearit¨at des Integrals
Z 1
−8
f(t)dt = 0, Z 1
−8
g(t)dt= 0 −→
Z 1
−8
(f(t) +g(t))dt = 0 und es gilt weiter
α· Z 1
−8
f(t)dt= 0
16. Falsch. Die zwei Bedingungen f¨ur ein Unterraum sind nicht erf¨ullt. Es folgt aus Linearit¨at des Integrals
Z 1
−8
f(t)dt= 1, Z 1
−8
g(t)dt= 1−→
Z 1
−8
(f(t) +g(t))dt = 26= 0 Also liegt f(t) +g(t) nicht mehr in C. Es gilt weiter
α· Z 1
−8
f(t)dt =α 6= 0
17. Wahr. Ja, Bedingung f¨ur linear unabh¨angige Matrizen mit alle Konstanten =v.
18. Falsch. Man kann wie oben zeigen, dass diese Menge die Bedingungen f¨ur ein Unterraum erf¨ullt.
19. Wahr. Man kann die Bedingung f¨ur lineare Abh¨angigkeit als
α·(ax+b) +β·(cx+d)−→α·(ax+b) = −β·(cx+d)
Das ist wahr falls die zwei dieselbe Nullstellen haben oder eine der zwei das Nullpolynom ist (in diesem Fall man kann die Konstante 0 w¨ahlen und man hat eine gute lineare Kombination gefunden).
20. Wahr. Es gibt keine weitere M¨oglichkeiten um sie linear abh¨angig zu machen.
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21. Falsch. span(x2) kann nicht konstante Polynome (also 1) erzeugen.
22. Falsch. Wie in 1. bekommt man das LGS
1 2 1
0 7 7
1 −2 1
0 3 −3
·x= 0
Die Matrix hat in diesem Fall keinen vollen Rang. Es folgt sie sind linear abh¨angig.
23. Wahr. Man kann jedes Element 1, x, x2 durch lineare Kombination dieser Polynome erzeugen.
24. Wahr. Wie in 1. bekommt man das LGS
4 8 4 2 0 2 1 0 −1
·x= 0
Die Matrix hat in diesem Fall vollen Rang. Es folgt sie sind linear unabh¨angig.
25. Wahr. Man kann jedes Element 1, x, x2 durch lineare Kombination dieser Polynome erzeugen.
26. Wahr. Analog zur andere Aufgaben sieht man dass die drei Vektoren linear unabh¨angig sind.
27. Wahr. Man kann intuitiv diese Projektion schreiben, als P =
1 0 0 0 1 0 0 0 0
Diese hat Determinante gleich Null und ist deshalb nicht invertierbar.
28. Wahr. Das folgt aus Definition.
29. Falsch. Es ist ziemlich klar, dass dieses Produkt nicht symmetrisch ist.
30. Falsch. Das Skalarprodukt von x1
x2
mit sich selbst ergibt 2·x1x2, was nicht unbedingt positiv ist.
31. Falsch. Man kann nicht ganz bestimmt schliessen, wie viele Unterr¨aume ein Vektor- raum besitzt. Ich kann zum Beispiel vier Unterr¨aume definieren: konstante Polynome, 1.Ordnung Polynome, 2.Ordnung Polynome, Polynome mit nur 2.Grad vorkommende Elemente.
32. Falsch. Es gibt keine lineare Kombination die funktioniert (man kann dass durch Koef- fizientenvergleich oder mit anderen Methoden beweisen).
33. Wahr.R ist durch die Standardbasis definiert. Diese Basis hat 3 Vektoren. Falls man 4 Vektoren hat es gibt 4 Gr¨uppchen von 3 linear unabh¨angige Vektoren.
34. Wahr. Diese sind die einzige M¨oglichkeiten f¨ur die das gilt.
35. Wahr. Falls zwei Polynome linear abh¨angig sind, m¨ussen sie linear abh¨angig f¨ur alle x sein. Das ist aber nicht der Fall f¨urx= 0 und x= 1 (die beide Konstanten k¨onnen nicht gleichzeitig gleich 0 sein).
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