Wahr/Falsch Aufgaben: Tag 2 - L¨ osungen

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Wahr/Falsch Aufgaben: Tag 2 - L¨ osungen

Markiere die richtige Aussagen.

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1. Die Polynome{(x+ 1)²,(x−1)²,(x+ 2)²}im VektorraumP₂ der Polynome vom Grad

≤2 sind linear unabh¨angig.

3

2. Die Polynome {(x+ 1)²,(x−1)²,(x+ 2)²} erzeugen P2.

3. Die Polynome {x²−1, x²+x, x+ 1, x−1}in P₂ sind linear unabh¨angig.

3

4. Die Polynome {x²−1, x²+x, x+ 1, x−1}erzeugen P₂.

5. Die Polynome {(x+ 1)², x²+ 1,(x−1)²} in P₂ sind linear unabh¨angig.

6. Die Polynome {(x+ 1)², x²+ 1,(x−1)²} erzeugen P2.

7. Drei Vektoren{v₁, v₂, v₃}sind linear unabhängig genau dann wenn sie paarweise linear unabhängig sind (also wenn die drei Pärchen{v₁, v₂},{v₂, v₃},{v₃, v₁}, linear unabhängig sind.

8. Es gilt det(λA) = λdet(A) f¨ur beliebige Matrizen A und reelle Zahlen λ, denn die Determinante ist eine lineare Abbildung.

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9. F¨ur die MatrizenA= 2 3

1 5

und B =

6 0 10 0

gilt det(A+B) = det(A) + det(B).

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10. F¨ur jede positive ganze Zahln besitzt jedern-dimensionale Vektorraum Unterr¨aume der Dimensionen 1,2, . . . , n.

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11. Im Vektorraum P2 der Polynome vom Grad ≤ 2 mit dem Skalarprodukt hp, qi = R1

−1p(x)q(x)dxsind die Vektoren {

√

√5 2x²,

√

√3

2x} orthogonale Einheitsvektoren.

3

12. Gegeben seien zwei linear unabh¨angige Vektoren {v₁, v₂} imR³. Dann sind auch die Vektoren {v₁, v₂, v₁×v₂}linear unabh¨angig.

13. Gegeben seien zwei linear unabh¨angige Vektoren {v1, v2} imR³. Dann sind auch die Vektoren {v₁, v₂, v₁+v₂} linear unabh¨angig.

3

14. Der VektorraumC(R) der stetigen Funktionen vonRnachRist unendlich dimensional (da er alle Polynome enth¨alt).

3

15. Alle stetige Funktionen f :R → R mit R1

−8f(t)dt = 0 bilden einen Untervektorraum von C(R).

16. Alle stetige Funktionen f :R → R mit R1

−8f(t)dt = 1 bilden einen Untervektorraum von C(R).

3

(2)

3

19. Die Polynome p(x) = ax+b, q(x) = cx+d sind genau dann linear abh¨angig, wenn sie dieselben Nullstellen haben oder wenn mindestens eines das Nullpolynom ist.

3

20. Die Vektoren (a, a², a³)^T und (b, b², b³)^T sind genau dann linear abh¨angig, wenna= 0 oderb = 0 oder a=b.

21. Im Vektorraum der reellen Polynome enth¨alt der Unterraum span{1−x,2−x²} den 1-dimensionalen Unterraum span{x²}.

22. Die Polynome{(x+ 1)²,7x+ 7,(x−1)²,3x−3} inP₂ sind linear unabh¨angig.

3

23. Die Polynome{(x+ 1)²,7x+ 7,(x−1)²,3x−3} erzeugen P₂.

3

24. Die Polynome {(2x + 2)²,2x² + 2,(x −1)(x + 1)} im Vektorraum P₂ sind linear unabh¨angig.

3

25. Die Polynome{(2x+ 2)²,2x²+ 2,(x−1)(x+ 1)}erzeugen P₂.

3

^{26. (0,}^1,^2,^{3, . . . ,}^100),^(0,^1,^4,^{9, . . . ,}¹⁰⁰²^),^(0,^1,^8,27, . . . ,100³) sind drei linear unabh¨angige Vektoren im R¹⁰¹.

3

27. Die Projektion auf die x−y-Ebene imR³, also (x, y, z)→(x, y,0), hat determinante 0, denn diese Abbildung ist sicher nicht invertierbar.

3

28. Es gilt det(λA) =λⁿdet(A) f¨ur alle n×n- Matrizen.

29. Durch h x1

x₂

, y1

y₂

i=x1y2 ist ein Skalarprodukt auf R² definiert.

30. Durch h x₁

x₂

, y₁

y₂

i=x₁y₂+x₂y₁ ist ein Skalarprodukt auf R² definiert.

31. Der Vektorraum P₂ der Polynome vom Grad ≤ 2 hat genau drei verschiedene Un- terr¨aume der Dimension 2.

32. Die Polynome p₁(x) = 1 + (1 + 7x) + (1−49x)², p₂(x) = (1 + 7x) + (1− 49x)², p₃(x) = (1−49x)² sind linear abh¨angig.

3

33. ImR³ gibt es 4 Vektoren, so dass beliebige 3 davon (es gibt 4 solche Gr¨uppchen) linear unabh¨angig sind.

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34. Zwei Einheitsvektoren v, w ∈ Rⁿ sind genau dann linear abh¨angig, wenn entweder v+w= 0 oderv −w= 0.

3

35. Seien p, q : R → R Polynome mit p(0) = 0 < q(0), p(1) > 0 = q(1). Dann sind p, q linear unabh¨angig.

(3)

Erkl¨ arungen

1. Wahr. Falls man die drei Polynome brechnet und lineare Abh¨angigkeit untersucht, man bekommt das LGS





1 2 1

1 −2 1

1 4 4



x= 0

Die Matrix hat vollen Rang und deshalb sind sie linear unabh¨angig.

2. Wahr. Ich kann leicht mit einer lineare Kombination diesen drei Polynome die drei Ba- senelemente 1, x, x² erzeugen, also P₂.

3. Falsch. Wie in 1. bekommt man das LGS







1 0 −1 1 1 0 0 1 1 0 1 −1







·x= 0

Die Matrix hat in diesem Fall keinen vollen Rang. Es folgt sie sind linear abh¨angig.

4. Wahr. Ich kann leicht mit einer lineare Kombination diesen drei Polynome die drei Ba- senelemente 1, x, x² erzeugen, also P₂.





1 2 1

1 0 1

1 −2 1



·x= 0

6. Falsch. Es ist nicht m¨oglich das Polynom 1 zu erzeugen. Das kann einfach gesehen werden,

mit 



1 2 1

1 0 1

1 −2 1



·x=



 0 0 1





Dieses LGS hat keine L¨osung.

7. Falsch. Es ist einfach ein Widerspruch zu finden. Seien v₁ =

1 0

, v₂ = 0

1

, v₃ = 5

1

Man sieht hier dass v₁ und v₂ linear unabhängig sind und v₂ und v₃ auch. Es gilt aber nicht dass die drei linear unabhängig sind (offensichtlich sindv1 und v3 linear abhängig).

Es gilt im Allgemein, dass falls man mehr alsn Vektoren gegeben ist f¨ur einn dimensionalen Vektorraum, dann sind sie sicher linear abh¨angig!

8. Falsch. Wir haben gesehen dass

(4)

10. Wahr. Folgt aus Definition von Vektorr¨ume und Untervektorr¨aume.

11. Wahr. Durch einsetzen der Vektoren in das Skalarprodukt, man erh¨alt Z 1

−1

√15

2 x³dx= 0

12. Wahr. Crossprodukt¨erzeugt ein Vektor senkrecht zu den anderen zwei. Diese sind linear unabh¨angig.

13. Falsch. Total im Widerspruch mit der Definition von lineare Unabh¨angigkeit: v1+v2 ist eine lineare Kombination vonv₁ und v₂, es kann also nicht linear unabh¨angig von v₁ und v₂ sein.

14. Wahr. Die Erkl¨arung ist richtig, die Dimension kann unendlich sein.

15. Wahr. Die zwei Bedingungen für ein Unterraum sind erfüllt. Es folgt aus Linearität des Integrals

Z 1

−8

f(t)dt = 0, Z 1

−8

g(t)dt= 0 −→

Z 1

−8

(f(t) +g(t))dt = 0 und es gilt weiter

α· Z 1

−8

f(t)dt= 0

16. Falsch. Die zwei Bedingungen für ein Unterraum sind nicht erfüllt. Es folgt aus Linearität des Integrals

Z 1

−8

f(t)dt= 1, Z 1

−8

g(t)dt= 1−→

Z 1

−8

(f(t) +g(t))dt = 26= 0 Also liegt f(t) +g(t) nicht mehr in C. Es gilt weiter

α· Z 1

−8

f(t)dt =α 6= 0

17. Wahr. Ja, Bedingung f¨ur linear unabh¨angige Matrizen mit alle Konstanten =v.

18. Falsch. Man kann wie oben zeigen, dass diese Menge die Bedingungen f¨ur ein Unterraum erf¨ullt.

19. Wahr. Man kann die Bedingung f¨ur lineare Abh¨angigkeit als

α·(ax+b) +β·(cx+d)−→α·(ax+b) = −β·(cx+d)

Das ist wahr falls die zwei dieselbe Nullstellen haben oder eine der zwei das Nullpolynom ist (in diesem Fall man kann die Konstante 0 w¨ahlen und man hat eine gute lineare Kombination gefunden).

20. Wahr. Es gibt keine weitere M¨oglichkeiten um sie linear abh¨angig zu machen.

21. Falsch. span(x²) kann nicht konstante Polynome (also 1) erzeugen.

(5)







1 2 1

0 7 7

1 −2 1

0 3 −3







·x= 0

23. Wahr. Man kann jedes Element 1, x, x² durch lineare Kombination dieser Polynome erzeugen.

24. Wahr. Wie in 1. bekommt man das LGS





4 8 4 2 0 2 1 0 −1



·x= 0

Die Matrix hat in diesem Fall vollen Rang. Es folgt sie sind linear unabh¨angig.

25. Wahr. Man kann jedes Element 1, x, x² durch lineare Kombination dieser Polynome erzeugen.

26. Wahr. Analog zur andere Aufgaben sieht man dass die drei Vektoren linear unabh¨angig sind.

27. Wahr. Man kann intuitiv diese Projektion schreiben, als P =





1 0 0 0 1 0 0 0 0





Diese hat Determinante gleich Null und ist deshalb nicht invertierbar.

28. Wahr. Das folgt aus Definition.

29. Falsch. Es ist ziemlich klar, dass dieses Produkt nicht symmetrisch ist.

30. Falsch. Das Skalarprodukt von x₁

x2

mit sich selbst ergibt 2·x₁x₂, was nicht unbedingt positiv ist.

31. Falsch. Man kann nicht ganz bestimmt schliessen, wie viele Unterr¨aume ein Vektorraum besitzt. Ich kann zum Beispiel vier Unterr¨aume definieren: konstante Polynome, 1.Ord- nung Polynome, 2.Ordnung Polynome, Polynome mit nur 2.Grad vorkommende Elemente.

32. Falsch. Es gibt keine lineare Kombination die funktioniert (man kann dass durch Koef- fizientenvergleich oder mit anderen Methoden beweisen).

33. Wahr.R ist durch die Standardbasis definiert. Diese Basis hat 3 Vektoren. Falls man 4 Vektoren hat es gibt 4 Gr¨uppchen von 3 linear unabh¨angige Vektoren.