Gioele Zardini Lineare Algebra I/II PVK FS 2016
L¨ osungen Wahr/Falsch Aufgaben - Tag 3
1. Falsch. Schon gesehen.
2. Wahr. Ja. Das kann wie die Einheitsmatrix gesehen. In der Vorlesung wurde gesagt dass das bei einer quadratischen Nullmatrix nicht funktionieren w¨urde. Falls man aber eine Nullmatrix hat, ist dann Bild von E1 leer weil P ·x w¨urde nur den Nullvektor erzeugen und das funktioniert (Ker hat dann Dimension n).
3. Wahr. Falls P x=x d.h. x wurde von ProduktP x erzeugt, d.h. es ist in Bild(A) 4. Wahr. Die Summe der Eintr¨age einer Matrix addiert zur Summe der Eintr¨age einer
anderen Matrix ist genau gleich die Summe der Eintr¨age der Summe der zwei Matrizen.
Falls eine Konstante multipliziert jeden Eintrag, die Summe wird dann mit dieser Kostante multipliziert. Die zwei Bedingungen f¨ur eine lineare Abbildung sind also erf¨ullt.
5. Wahr. Die Transposition ist nach Definition linear mit der Addition und der Multip- likation mit einem Skalar. Symmetrische Matrizen bilden ein Eigenraum mit Eigenwert 1.
6. Wahr. Da die Aussage besagt, dass ker(A) = im(A), es folgt dass dim(im(A)) = dim(ker(A)) = 2 und das ist im Allgemein immer m¨oglich.
7. Falsch. dim(im(A)) kann h¨ochstens 2 sein, aber dim(ker(A)) +dim(im(A) = 3.
8. Wahr. Das geht.
9. Falsch. Nein, die richtige Matrix sollte
1 1
−1 1
sein.
10. Wahr. Falls man die Matrix umformt man erh¨alt die Zeilenstufenform
1 2 3 4 0 1 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0
Man sieht also dassdim(ker(A)) =dim(im(A)) = 2.
11. Falsch. Das Bild definiert was in W steht und nicht was inV steht.
12. Wahr. Alle Zeilen einer solche Matrix sind nur von ein konstanten Koeffizient verschieden und also linear abh¨angig. Nehmen wir als einfaches Beispiel n= 3. Es gilt f¨ur
x=
a b c
, yT = d e f das Produkt ergibt
x·yT =
ad ae af bd be bf cd ce cf
Es folgt dass h¨ochstens Rang(A) = 1.
1
Gioele Zardini Lineare Algebra I/II PVK FS 2016
13. Falsch. Eigenvektoren werden durch die Gleichung Av=λv
bestimmt. Falls aber v Eigenvektor zur Eigenwert 0 ist, liegt es im ker(A) da Av = 0.
14. Falsch. Hier ist noch einfacher das zu sagen: man weisst dass dim(ker(A)) +dim(im(A)) =n = 3 sein muss, aber falls ker(A) = im(A) folgt dass
dim(ker(A)) = dim(im(A)) = 3 2
Das ist nicht m¨oglich da die Dimension eine positive und nat¨urliche Zahl sein muss.
15. Wahr. Eine andere wichtige Eigenschaft von Rang ist
Rang(A·B)≤min(Rang(A), Rang(B))
In unserem Fall kann man das als
Rang(An+1) =Rang(A·An)≤min(Rang(A), Rang(An)) schreiben. Also in allen F¨allen ist es kleiner oder gleich Rang(An).
16. Falsch. Es existiert keine solche Menge da n ungerade ist und dim6= 52
17. Falsch. Die Addition zwei solche Matrizen hat nicht immer dim(im(A)) = dim(ker(A)) und also ist nicht immer wieder in V.
2
