Gioele Zardini Lineare Algebra I/II FS 2017
Wahr/Falsch Aufgaben: Tag 4 - L¨ osungen
Markiere die richtige Aussagen.
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1. Ist die Matrix A halbeinfach, so auch A3.3
2. Hat eine 3×3-Matrix nur einen Eigenwertλ mit geometrischer Vielfachheit 3, so kann das nur die Matrix
λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ
sein.
3. Es gibt eine MatrixA mit charakteristischem PolynomPA(λ) =λ2−5λ, welche inver- tierbar ist.
4. Seiv ein Eigenvektor zum Eigenwert 2 f¨ur die Matrizen Aund B. Dann ist v auch ein Eigenvektor zum Eigenwert 2 f¨ur die Matrix A+B.
5. Seiv ein Eigenvektor zum Eigenwert 2 f¨ur die Matrizen Aund B. Dann ist v auch ein Eigenvektor zum Eigenwert 2 f¨ur die Matrix A·B.
6. Jede invertierbare Matrix ist diagonalisierbar.
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7. Gilt P P =P, so kann die MatrixP nur die Eigenwerte 0 und 1 besitzen.8. Ist v Eigenvektor zum Eigenwert −1 und w Eigenvektor zum Eigenwert 1 der Matrix A, so ist v+w ein Eigenvektor zum Eigenwert 0 (v+w liegt also im Kern von A).
9. Sei Aeine lineare Abbildung undv ein Vektor. Istv ein Eigenvektor zum Eigenwertλ, so ist −v ein Eigenvektor zum Eigenwert −λ.
10. Es seienv1, v2 zwei Eigenvektoren der MatrixA. Dann ist auchv1+v2 ein Eigenvektor von A.
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11. Hat die symmetrische 2×2-Matrix A zwei verschiedene Eigenwerte strikt gr¨osser als Null, so ist die L¨osungsmenge von x, yA x
y
= 1 eine Ellipse in R2.
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12. Die Summe zweier Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten ist nie ein Eigenvek- tor.3
13. Die Matrizen A= 1 45 0
und B =
3 2 7 −2
haben die selben Eigenwerte.
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Gioele Zardini Lineare Algebra I/II FS 2017
Erkl¨ arungen
1. Wahr. Es folgt aus Definition 51 im Skript.
2. Wahr. Ein Eigenwert f¨ur eine 3×3-Matrix heisst algebraische Vielfachheit 3. Da auch die geometrische Vielfachheit 3 ist, ist die Matrix diagonalisierbar. Um ein Eigenraum von Dimension 3 zu haben muss die ganze Diagonale verschwinden und 3 Nullzeilen erzeugen. Das ist der Fall bei der gegebene Matrix.
3. Falsch. Eine Matrix ist nicht invertierbar falls det(A) = 0 und wir haben gelernt dass det(A) = λ1·. . .·λn, was in unserem Fall det(A) = 0 ergibt.
4. Falsch. Es giltAv= 2v und Bv= 2v, aber
(A+B)v =Av+Bv= 4v Alsov Eigenvektor zum Eigenwert 4 von A+B.
5. Falsch. Es giltAv= 2v und Bv= 2v, aber
(AB)v =A·2v = 2·Av = 4v Alsov Eigenvektor zum Eigenwert 4 von AB.
6. Falsch. Man kann viele Gegenbeispiele finden, ein davon ist A=
1 0 0 1 1 0 0 1 1
Es gilt det(A) = 1 also die Matrix ist invertierbar. Falls man die Eigenwerte be- rechnet, man erh¨alt Eigenwert λ1 = 1 mit algebraische Vielfachheit 3. Um Diago- nalisierbarkeit zu haben, muss jetzt das Eigenraum dreidimensional sein: das LGS lautet
A=
0 0 0 1 0 0 0 1 0
x= 0
Man sieht leicht dass die geometrische Vielfachheit nicht 3 ist und also dass die Matrix nicht diagonalisierbar ist.
7. Wahr. Wir haben gelernt dass falls λ Eigenwert von P ist, λ2 ist dann Eigenwert von P2 = P P. Das heisst dass die einzige M¨oglichkeiten so dass λ = λ2 gilt, sind λ= 0 oder λ= 1.
8. Falsch. Es giltAv=−v und Aw=w. Also
A(v +w) = Av+Aw=w−v 6= 0
9. Falsch. Es gilt Av = λv aber A(−v) = −Av = −λv = λ(−v). Also ist −v Eigen- vektor zum Eigenwertλ.
10. Falsch. Es giltAv1 =λ1v1 und Av2 =λ2v2 aber
A(v1 +v2) =Av1+Av2 =λ1v1+λ2v2
11. Wahr. Positiv definit. Den Rest folgt aus Theorie ¨uber Hauptachsentransformatio- nen.
12. Wahr. Wie oben.
13. Wahr. Eine kurze Berechnung ergibt dieselbe Eigenwerte.
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