Dr. P. Thurnheer Grundlagen der Mathematik I ETH Z¨urich
D-CHAB, D-BIOL (Analysis B) FS 09
L¨ osungen zur Serie 3
1. Df1 ={(x, y)∈R2
x6= 0}.
f1(Df1) =R; Df2 ={(x, y)∈R2
x2+y2 ≤1}
f2(Df2) = [0,1];
Df3 ={(x, y)∈R2
x+y >0}
f3(Df3) =R;
Df4 =R2 f4(Df4) = R≥0; F¨ur die Niveaulinien erhalten wir:
f1(x, y) = c ⇔ y = cx. Die Niveaulinien zu f1 sind also Geraden durch den Nullpunkt.
f2(x, y) = c ⇔ x2 +y2 = 1−c2. Hier sind die Niveaulinien also konzentrische Kreise um den Ursprung.
f3(x, y) =c⇔y=ec−x. Die Niveaulinien sind Geraden mit Steigung −1 und positivem Achsenabschnitt.
f4(x, y) = c ⇔ x2 +y2 = c. Dies sind konzentrische Kreise mit Mittelpunkt 0 und Radius √
c.
−10
−5 0
5
x 10−10
−5 0
5 10
y
−40
−30
−20
−10 0 10 20 30 40
f2(x, y) 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
−1−0.8
−0.6−0.4
−0.2 0 0.2 0.4
0.6 0.8 1
x −1−0.8−0.6−0.4−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 y 0
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
f3(x, y) 2.5 2 1.5 1 0.5 0 −0.5
−10
−5 0
5
x 10−10
−5 0
5 10
y
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
f4(x, y) 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20
−10
−5 0
5
x 10−10
−5 0
5 10
y 0
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
2. F¨ur x > 0 ist f(x, y) ¨uber xy = eln(x)y f¨ur alle y ∈ R definiert. Zus¨atzlich ist f auf {0} ×R≥0 und R<0× {pq ∈Q|pungerade, p, q teilerfremd} definiert. Also
Df =R>0×R∪ {0} ×R≥0∪R<0× p
q ∈Q
p ungerade, p, q teilerfremd
.
F¨ur die Ableitungen von f(x, y) = eln(x)y gilt:
fx(x, y) = y xeln(x)y fy(x, y) = ln(x)eln(x)y
fxy(x, y) = fyx(x, y) = 1 +yln(x) x eln(x)y
3. a) Die Niveaulinien kann man wie folgt analytisch beschreiben LN =n
(x, y)∈R2|y=±p
N ex2/3−x2o , wobei N das Niveau ist.
Eine zweite M¨oglichkeit w¨are die Taylorentiwicklung der Exponentialfunk- tion zu betrachten:
x2+y2 =N
1 + x2 3 +x4
6 +· · ·
Der genaue Plot ist:
Siehe n¨achstes Blatt!
b) Aus der Figur kann man schliessen, dass f¨ur kleine xund ysieht der Graph von f ungef¨ahr wie ein (elliptisches) Paraboloid aus.
F¨ur gr¨ossere x f¨allt die Exponentialfunktion seht schnell ab, somit ist der Graph im Bereich {|x| 1, y < x} fast flach.
In einer Umgebung dery−Achse stehen mehrere Niveaulinien senkrecht zur Achse, d.h. die Funktion steigt schnell in der y-Richtung.
Der genaue 3D−Plot ist:
-4
-2
0
2
4
-4 -2
0 2
4
0 10 20
-4
-2
0
2
4
4. a) Den gesuchten Definitionsbereich kann man bestimmen, in dem man alle F¨alle betrachtet f¨ur die ab existiert.
Offensichtlich, wenn a > 0 (und b beliebig) ist, kann man ab := ebloga setzten.
Wenn a < 0 ist, kann man nur b =n ∈ Z oder b =p/q ∈ Q (mit p und q teilerfremd) w¨ahlen um eine sinnvolle Definition zu erhalten.
Im ersten Fall ist an:=a·a· · ·a
| {z }
nmal
f¨ur n≥0 oder an := 1 a·a· · ·a
| {z }
ciao
f¨urn <0.
Im zweiten Fall setzt man ap/q := (√q
a)p, was wohldefiniert ist, sobald q ungerade ist.
00 ist ein Spezialfall, f¨ur den keine endg¨ultige Argumentation gibt.
Die Konvention 00 = 1 ist also aus praktischen Gr¨unden sinnvoll, weil sie die Formulierung vieler mathematischer Ausdr¨ucke vereinfacht. 00 = 1 per Definition bedeutet aber keineswegs, dass die Funktion ab an der Stellea = b= 0 stetig w¨are.1
1(vgl. http://de.wikipedia.org/wiki/Potenz_(Mathematik))
Siehe n¨achstes Blatt!
Der Definitionsbereich der gegebenen Funktion ist dannD=A∪B∪C, mit A=
(x, y)∈R2
sinx >0, y ∈R B =
(x, y)∈R2
sinx <0, y = p
2n+ 1, p∈Z, n∈N
C ={0} ×R+
b) Die lineare Approximation w¨urde mit Hilfe der Taylorentwicklung bestimmt f(x, y)'fπ
6 ,2 +∂f
∂x π
6 ,2
· x− π
6
+∂f
∂y π
6 ,2
·(y−2) =
= sinπ
6 2
+ 2 cosπ 6
sinπ
6 2−1
x− π 6
+ log sinπ
6 sinπ 6
2
(y−2) =
= 1 4+
√3 2
x− π
6
+ log1 2· 1
4(y−2) Insbesondere, wenn wir x= 31◦ = 31π
180 und y = 1.98 einsetzen (sin 31◦)1.98 =f
31π 180,1.98
' 1
4 +
√3 2
π
180 + log 2· 0.02
4 '0,26858 c) In aller Punkten, in welchen die partiellen Ableitungen existieren, stimmen
fxy und fyx uberein¨
fx =y cosx(sinx)y−1 ⇒ fxy = cosx(sinx)y−1+y cosx log sinx(sinx)y−1 =
= cosx(sinx)y−1(1 +y log sinx)
fy = log sinx(sinx)y ⇒ fyx = cosx
sinx (sinx)y+ log sinx y cosx(sinx)y−1 =
= cosx(sinx)y−1(1 +y log sinx)
