Rechnen mit Matrizen L¨ osungen
1 Begriffe
Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema aus m Zeilen und n Spalten.
A=
5 3 −1 4
2 0 8 1
4 6 −5 0
Die Matrix A besteht aus 3 Zeilen und 4 Spalten und wird daher als 3×4-Matrix be- zeichnet, wobei die Anzahl der Zeilen vor der Anzahl der Spalten genannt wird.
Matrizen werden ¨ublicherweise mit Grossbuchstaben (in fetter Schrift) bezeichnet.
Das Element in der i-ten Zeile und j-ten Spalte einer Matrix A wird meist mit aij be- zeichnet. In der obigen Matrix A gilt z. B. a23 = 8.
Spezialf¨alle
Eine n×n-Matrix wird auchquadratische Matrix genannt.
5 8 3
7 −6 4
3 2 1
Die Hauptdiagonale einer quadratischen MatrixA besteht aus allen Elementen aii.
5 8 3
7 −6 4
3 2 1
Eine Diagonalmatrixist eine quadratische Matrix, deren Elemente ausserhalb der Haupt- diagonalen alle null sind. Es ist nicht verboten, dass Nullen auch auf der Diagonale stehen.
3 0 0 0 0 0 0 0 1
Eine Diagonalmatrix mit lauter Einsen auf der Hauptdiagonalen wird Einheitsmatrixge- nannt.
1 0 0 0 1 0 0 0 1
Eine m×n-Matrix, die nur Nullen als Elemente besitzt, heisst Nullmatrix.
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1
Eine Matrix mit nur einer Spalte wird Spaltenvektor genannt.
4 5
Eine Matrix mit nur einer Zeile heisstZeilenvektor.
2 −7 3 5
2 Rechenoperationen
Addition und Subtraktion
SindA undB zweim×n-Matrizen, dann ist die SummeC =A+B definiert und es gilt:
cij =aij +bij (f¨ur 1 ≤i≤m und 1≤j ≤n) Die Differenz A−B zweier Matrizen gleicher Gr¨osse ist analog definiert.
Beispiel A=
5 3 −2 4 1 7
, B =
−1 2 9 3 5 −6
A+B =
4 5 7 7 6 1
A−B =
6 1 −11 1 −4 13
Multiplikation mit Zahlen
Ist A eine m×n-Matrix undr ∈R, so istB =rA definiert und es gilt:
bij =r·aij (f¨ur 1≤i≤m und 1≤j ≤n) Anstelle von (−1)·A schreibt man auch k¨urzer −A.
Beispiel A=
5 3 −2 4 1 7
−5A=
−25 −15 10
−20 −5 −35
Multiplikation von Matrizen
IstAeine m×n-Matrix undB einen×p-Matrix, dann ist das ProduktC =AB definiert und f¨ur die Elemente von C gilt:
cij =
n
X
k=1
aikbkj (f¨ur 1≤i≤m und 1≤j ≤p)
2
Beispiel
5 3 2 1 4 0
7 0 5 1 6 9 8 2
=
5·7 + 3·6 5·0 + 3·9 5·5 + 3·8 5·1 + 3·2 2·7 + 1·6 2·0 + 1·9 2·5 + 1·8 2·1 + 1·2 4·7 + 0·6 4·0 + 0·9 4·5 + 0·8 4·1 + 0·2
=
53 27 49 11 20 9 18 4 28 0 20 4
Transposition
Die Transponierte einer m×n-MatrixA ist die n×m-MatrixB mit:
bij =aji (f¨ur 1≤i≤n und 1≤j ≤m) Die Transponierte einer Matrix A wird mit AT bezeichnet.
Beispiel
A=
5 2 7 3 0 6
⇒ AT=
5 3 2 0 7 6
3 Anwendungen
3.1 Adjazenzmatrix f¨ ur (gerichtete) Graphen
1
2 3
4 5
aij =
(1 es gibt eine Kante von Knoteni nach Knoten j.
0 sonst
A=
0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0
3
