1. Addition von zwei Matrizen

(1)

06. Matrizenrechnung

F¨ ur Matrizen k¨ onnen nun verschiedene Operationen erkl¨ art werden.

1. Addition von zwei Matrizen

Seien A = (a

_ij

) , B = (b

_ij

) ∈ M (m × n) gegeben. D.h. beide Matrizen haben m Zeilen und n Spalten. Dann ist

A + B = (a

ij

+ b

ij

) ∈ M (m × n) Die Addition erfolgt also elementweise.

2. Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar λ ∈ R Sei A = (a

_ij

) ∈ M (m × n) und λ ∈ R . Dann ist

λ · A = (λ · a

_ij

) ∈ M (m × n)

Alle Elemente der Matrix werden mit λ multipliziert.

3. Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor

Sei A = (a

_ij

) ∈ M (m × n) und ⃗ x =



 x

₁

...

x

_n



 ∈ R

ⁿ

. Dann ist

A · ⃗ x =



 a

₁₁

x

₁

+ . . . + a

_1n

x

_n

...

a

_m1

x

₁

+ . . . + a

_mn

x

_n



 ∈ R

^m

Bezeichnet ⃗ z

i

den i − ten Zeilenvektor von A , dann ist oﬀenbar die i − te Komponente von A · ⃗ x gleich ⟨ ⃗ z

i

, ⃗ x ⟩ , also

A · ⃗ x = ( ⟨ ⃗ z

_i

, ⃗ x ⟩ ) ∈ M (m × 1) = R

^m

Beachte, dass 3. ein Spezialfall von 4. ist.

4. Multiplikation von zwei Matrizen

1

(2)

Sei A = (a

_ij

) ∈ M (m × n) und B = (b

_kl

) ∈ M (n × p) .

Wichtig! Damit das Produkt A · B definiert ist, muss die Spaltenanzahl von A gleich sein der Zeilenanzahl von B !

In diesem Fall ist

A · B = C = (c

_il

) ∈ M (m × p) mit c

_il

= ⟨ ⃗ z

_i

, ⃗ s

_l

⟩

wobei ⃗ z

_i

der i − te Zeilenvektor von A und ⃗ s

_l

der l − te Spaltenvektor von B ist.

Rechenregeln f¨ ur Matrizen

Seien A ∈ M (m × n) , B, C ∈ M (n × p) , D ∈ M (p × r ) sowie

⃗

x, ⃗ y ∈ R

ⁿ

, λ ∈ R

• A · (λ · ⃗ x) = λ · (A · ⃗ x)

• A · (⃗ x + ⃗ y) = A · ⃗ x + A · ⃗ y

• λ · (A · B) = A · (λ · B) = (λ · A) · B

• A · (B + C) = A · B + A · C (Distributivgesetz)

• A · (B · D) = (A · B ) · D (Assoziativgesetz)

• A · B ̸ = B · A (im allgemeinen)

Definition. Die (n − reihige) Einheitsmatrix I = I

n

= E

n

ist eine quadratische n × n Matrix, die wie folgt definiert ist

I = (δ

_ij

) wobei δ

_ij

=

{ 1 wenn i = j 0 wenn i ̸ = j D.h. die Einheitsmatrix hat folgende Gestalt

I

₂

=

( 1 0 0 1

)

, I

₃

=



 1 0 0 0 1 0 0 0 1



 und allgemein

2

(3)

I = I

_n

=



 

 

1 0 · · · 0 0 0 1 · · · 0 0 ... ... ... ... ...

0 0 · · · 1 0 0 0 · · · 0 1



 

 

Wird eine Matrix A ∈ M (m × n) geeignet mit der Einheitsmatrix multipliziert, so erh¨ alt man wieder die Matrix A .

I

_m

· A = A , A · I

_n

= A

Definition. Eine quadratische Matrix A ∈ M (n × n) heißt Diagonal- matrix, wenn sie folgende Gestalt besitzt

A =



 

 

d

₁

0 · · · 0 0 0 d

₂

· · · 0 0 ... ... ... ... ...

0 0 · · · d

_n₋₁

0 0 0 · · · 0 d

_n



 

 

D.h. Alle Elemente, die nicht auf der Hauptdiagonalen liegen, sind notwendigerweise gleich Null. Die Einheitsmatrix ist ein spezielles Beispiel f¨ ur eine Diagonalmatrix.

Definition. Sei A ∈ M (m × n) . Dann heißt die n × m Matrix, die durch Vertauschen von Zeilen und Spalten entsteht, die zu A transponierte Matrix A

^T

.

Gilt f¨ ur eine Matrix A

^T

= A , so wird sie als symmetrisch bezeichnet.

(Neben der Schreibweise A

^T

wird auch die Bezeichnung A

^t

verwendet.)

Beispiel.

A =



 1 2 3 4 5 6



 , A

^T

=

( 1 3 5 2 4 6

)

3

(4)

Beispiel.

⃗ x =



 x

₁

...

x

_n



 ∈ M (n × 1) , ⃗ x

^T

= (x

₁

, x

₂

, . . . , x

_n

) ∈ M (1 × n)

Rechenregeln.

• ⃗ x

^T

· ⃗ x = (x

₁

, x

₂

, . . . , x

_n

) ·



 x

₁

...

x

_n



 = x

²₁

+ x

²₂

+ . . . + x

²_n

= ⟨ ⃗ x, ⃗ x ⟩

• (λ · A)

^T

= λ · A

^T

• (A + B)

^T

= A

^T

+ B

^T

• (A · B)

^T

= B

^T

· A

^T

(Vertauschung der Reihenfolge!!)

4