Anzahl instabiler Kerne N

1

2a Physikalische Größen

Nachtrag vom letzten Mal

Der 22° Halo

J.H. Elbfas - Vädersolstavlan 1636

3

Wenn einer eine Reise tut

Eine Reise nach Liliput

5

Vereinheitlichung

Nautische Meile 1852 m Internationale Meile 1609 m Gallische Meile 2450 m Londoner Meile 1524 m Römische Meile 1482 m Persische Meile 1500 m Mittlere Postmeile 9062 m

Große Meile 10044 m

Geografische Meile 7420 m Deutsche Landmeile 7532 m 1 Tigg

Ohne (bekannte) Einheit sind Zahlen oft nutzlos

Physikalische Größe

Zur Beschreibung von Naturgesetzen werden physikalische Größen verwendet Sie dienen der Beschreibung von Eigenschafen von

physikalischen Objekten für die ein Messverfahren existiert.

Physikalische Größen werden

bestimmten Größenarten zugeordnet zum Beispiel Länge

- Wurfhöhe

- Schwingungsamplitude - Kernradius

Als Maß zur Messung von Größen dienen Einheiten

Man unterscheidet

Prototypen (z.B. Kilogramm) und

Zählvorschriften (Ampere oder Mol)

Eine physikalische Größe G trägt sowohl ein quantitatives {G} als auch ein qualitatives [G] Merkmal

Produkt aus Zahlenwert {G} und d.h. Einheit [G]

kg 13.7

Beispiel zum

] }[

{ G G

G =

7

Vorsätze

Name Zeichen Potenz Faktor

Yotta Y 10²⁴ 1.000.000.000.000.000.000.000.000 Zetta Z 10²¹ 1.000.000.000.000.000.000.000 Exa E 10¹⁸ 1.000.000.000.000.000.000 Peta P 10¹⁵ 1.000.000.000.000.000 Tera T 10¹² 1.000.000.000.000

Giga G 10⁹ 1.000.000.000

Mega M 10⁶ 1.000.000

Kilo k 10³ 1.000

Hekto h 10² 100

Deka da 10¹ 10

Dezi d 10^-1 0,1

Zenti c 10^-2 0,01

Milli m 10^-3 0,001

Mikro μ 10^-6 0,000.001

Nano n 10^-9 0,000.000.001

Pico p 10^-12 0,000.000.000.001 Femto f 10^-15 0,000.000.000.000.001 Atto a 10^-18 0,000.000.000.000.000.001 Zepto z 10^-21 0,000.000.000.000.000.000.001 Yocto y 10^-24 0,000.000.000.000.000.000.000.001

Zum Beispiel Lasersystem Pulsbreite 5 fs Pulsleistung 1 PW

Système International d' Unités SI Einheiten, Metrisches System

Fundamentale Einheiten

Länge Meter (m)

Masse Kilogramm (kg)

Zeit Sekunde (s)

Elektrische Stromstärke Ampere (A)

1 A ist die Stärke eines Gleichstroms, der durch zwei lange gerade im Abstand von 1 m im Vakuum gespannte, sehr dünne Leiter fließt und zwischen ihnen pro Meter Leiterlänge eine Kraft von 2x10^-7N erzeugt.

Temperatur Kelvin (K)

1 K ist der 273,16 te Teil der

thermodynamischen Temperatur des Tripelpunkts des Wassers.

Stoffmenge Mol (mol)

1 Mol ist eine Stoffmenge, die aus ebensoviel Teilchen besteht, wie Atome in 12 g ¹²C

enthalten sind.

Lichtstärke Candela (cd)

1 cd ist die Lichtstärke in einer bestimmten Richtung, die monochromatische Strahlung von 5.4x10¹⁴Hz mit der Strahlstärke

1/683 W/ sterradian aussendet.

9

Naturkonstanten

wir gehen davon aus, dass sich diese Größen im Laufe der Zeit nicht ändern

Name Abkürzung Wert

Plancksches Wirkungsquantum h 6.6260755x10^-34 Js

Boltzmannsche Konstante K_b 1.380658x10^-23 J/K

Elementarladung e 1.60217733x10^-19C

Avogadrosche Zahl N_A 6.0221367x10²³ Teilchen/mol

Lichtgeschwindigkeit c 2.99792458x10⁸ m/s

Elektronenruhemasse m_e 9.1093897x10^-31 kg

Protonenruhemasse m_p 1.6726231x10^-27 kg

Neutronenruhemasse m_n 1.6749286x10^-27 kg

Längeneinheit Meter [m]

Griechenland

1 Stadion = 185 m-192 m Preußen

1 Klafter =1.883 m England

1 yard = 91.43 m

1 furlong = 201.16 m China, Han Dynastie 1 n.Chr

1 Shaku = eine Handspanne (1/33 m) in Japan gebräuchlich bis 1966

Definiert über die Rohrlänge der Koshoflöte, die zu einer bestimmten Tonhöhe gehört

Keplers Ulmer Masskessel (1627)

Tiefe: 2 Schuh

Durchmesser 1 Elle

Volumen 1 Eimer

Gewicht 4.5 Zentner (leer)

7.0 Zentner (voll Donauwasser) Heringsahm 15 Jahrhundert

ein Bronzegefäß von 14.75 Liter Inhalt wurde als Maßeinheit für eine bestimmte Fischmenge

eingeführt. Acht Heringsahme entsprachen einer Rostocker Heringstonne

11

Längeneinheit Meter [m]

1793 Französische Nationalversammlung stimmt der Definition des Urmeters zu.

Die Länge des Meteres ist genau der vierzigmillionste Teil der Länge des Erdmeridians 1872 Deutschland übernimmt das Meter

1960 Definition des Meter über die orangerote Linie von ⁸⁶Kr

Ein Meter entspricht genau dem 1650763.73 fachen der Wellenlänge der orangeroten Spektrallänge von ⁸⁶Kr

1983 Definition über die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum

Der Meter ist die Strecke, die das Licht im Vakuum, in dem Zeitintervall des 299792458 Teil einer Sekunde zurücklegt

Genauigkeit

Zentimetermass +/- 1mm

Schieblehre +/- 0.1mm

Mikrometerschraube +/- 0.01 mm

Elektronische Messung +/- 0.001 mm

Gebräuchliche Längeneinheiten

Parsec 3.08567 x 10

m

Lichtjahr 9.46053 x 10

m

astronomische Einheit (Abstand Erde-Sonne) 1.49597 x 10

m

Lichtsekunde 299,792,458 m

foot (Fuß) 0,3048 m

inch (Zoll) 0.0254 m

Ångström 1 x 10

m

Bohrscher Radius (a

) 0.511 x 10

m

Elektron-Proton Abstand im H-Atom

Schwarzschildradius 1,49x10

m

Kritische Radius zur Bildung eines Schwarzen Lochs

13

Physikalisch relevante Längen und Abstände

Abstand zu den am weitesten entfernten Galaxien 2x10⁺²⁶ m Abstand zum Andromedanebel 2x10⁺²² m Abstand zum nächsten Stern (Proxima Centauri) 4x10⁺¹⁶ m

Abstand zu Neptun 4x10⁺¹² m

Radius der Erde 6x10⁺⁰⁶ m

Durchmesser einer Datenübertragungs-Glasfaser 1x10^-04 m Durchmesser von Feinstaubpartikeln 1x10^-05 m Strukturgröße auf Mikrochips 6x10^-08 m

Länge eines Virus 1x10^-08 m

Radius eines Protons 1x10^-15 m

Plancklänge kleinste physikalisch sinnvolle Länge 1x10^-35 m

Entfernung Erde-Mond

Messung der Laufzeit zum Mond und wieder zurück Δt = 2.55 Sekunden

0km 38250 s

s 2.55 300000 km

2 1 2

1

2 ⇒ Δ = Δ = ⋅ =

Δ

= Δ s c t

t c s

Genauigkeit circa 3 mm

Eines der Ergebnisse: Der Mond entfernt sich pro Jahr um 3.8 cm von der Erde

15

Zehn hoch Zehn

17

Zehn hoch Zehn

Masseneinheit Kilogramm [kg]

Einheit Kilogramm

1 kg = Masse eines Platin-Iridium Zylinders (Urkilogramm)

In vielen Fällen reicht eine solche Genauigkeit nicht aus

z.B verliert das Urkilogramm durch Umwelteinflüsse (Reinigung) an Gewicht, ca. 0.00007 kg Bei einer Weltreisproduktion 825 Millionen Tonnen bedeutet das ein Gewicht von 60 Tonnen

Personenwaage zeigt auf 0.1 kg genau an

Beispiel 100 kg

Genauigkeit ist Δm/m =10^-3

Als einziges der sieben Basiseinheiten ist das Kilogramm noch nicht über Naturkonstanten definiert Ausweg: Definition aus atomarer Größe

Atomare Masseneinheit 1 u = 1.6605402x10^-27 kg 1/12 der Masse des ¹²C - Isotops

19

Avogadro Projekt

Bestimmung des kg aus Naturkonstanten

1 kg

Si

Ausgangsprodukt Silizium

Isotopentrennung

28Si (92.2297 %) von

29Si (4.683 2%)

30Si 3.0872 %)

Herstellung des Kristalls Czochralski-Verfahren

Bestimmung der Kristallstruktur und speziell der interatomaren Abstände

Oberfläcghenbeschaffenheit der Kugel

Ziel: Eine Genauigkeit von 1 zu 100 Millionen

Bestimmung der Verunreinigungen

6

Bestimmung des Massenverhältnisses

von ²⁸Si zu ¹²C

7 1

2

3

5

4

Physikalisch relevante Massen

Beispiele:

Bekanntes Universum 1x10

kg

Milchstrasse 2x10

kg

Sonne 2x10

kg

Erde 5x10

kg

Mond 7x10

kg

Wassers auf der Erde 1x10

kg

Erdatmosphäre 5x10

kg

Sonne 4x10

kg

Ozeandampfers Titanic 5x10

kg

Flugzeugs A380 6x10

kg

Elefant 5x10

kg

Eizelle 4x10

kg

Penicillinmolekül 5x10

kg

Uranatom 4x10

kg

Elektronneutrinos <4x10

kg

Zuwachs bei Absorption eines grünen Photons 4x10

kg

21

Zeiteinheit Sekunde [s]

Wie kann man eine Sekunde definieren?

1. Mittlerer Sonnentag 2. Die Zeit für eine Erdrotation

Problem

Die Geschwindigkeit der Erdrotation ist nicht konstant

El Nino

Saisonale Einflüsse

Windkräfte, Biomasse Längerfristige Einflüsse

Gezeitenreibung, Kopplung Erdmantel-Erdkern

Für genaue Messungen ist ein besserer Standard notwendig

Zeiteinheit Sekunde [s]

2. Schwingquarz

Prinzip:

Bei Anregung eines Quarzoszillators mit einer Wechselspannung führt der Quarz

Deformationsschwingen aus . Bei Veränderung der Anregungsfrequenz beobachtet man für eine ganz bestimmte Frequenz eine Resonanz in der Antwort des Systems (Resonanzkreis mit geringer Dämpfung).

Das ist die Eigenfrequenz oder Resonanzfrequenz des Quarzkristalls Genauigkeit:

etwa 10^{-4 (}100 ppm) Anwendung:

Mikroprozessoren Uhren

Schichtdickenmesser (Änderung der Masse)

Temperaturmessung (Abhängigkeit der Resonanzfrequenz von der Umgebungstemperatur)

23

Zeiteinheit Sekunde [s]

Für die Verbreitung der „Zeit“ in Deutschland beauftragt ist die PTB (Zeitgesetz 1978) www.ptb.de

"Die Hyperfeinstruktur-Übertragungsfrequenz im Grundzustand des Cäsiumatoms ermöglicht eine sehr genaue und einheitliche Zeitmessung. Sie hat eine Ungenauigkeit kleiner als 5 x 10^-12. Das Frequenznormal der PTB

hat eine Ungenauigkeit von sogar weniger als 0.65 x 10^-14. Eine Sekunde ist folgendermaßen definiert: Die Sekunde ist das 9.192.631.770fache der Periodendauer der dem Übergang zwischen den beiden Hybridfeinstrukturenniveaus des Grundzustandes von Atomen des Nuklids 133 Cs entsprechenden Strahlung."

(Quelle PTB)

3. Atomuhr

Prinzip:

In einem Mikrowellenresonator misst man die Frequenz von Hypefeinstrukturübergängen in Atomen. Auf diese Frequenz wird eine externe Uhr synchronisiert.

Genauigkeit:

Typ Frequenz in GHz Genauigkeit Langzeit-Stabilität

Schwingquarz >10 10⁻⁹ ca. 100 sec

133Cs 9,192 10⁻¹³ ca. 10⁵sec

87Rb 6,835 10⁻¹² ca. 10³sec

H 1,420 10⁻¹⁵ ca. 10⁵sec

Die Genauigkeit einer Atomuhr kann durch abgebremste Atome verbessert werden (Cäsium-Fontäne).

Neuere Experimente versuchen Übergänge im optischen Spektralbereich (10¹⁵ Hz) zu nutzen.

Für die erfolgreichen Experimente zur frequnzgenauen Teilung optischer Frequenzen in messbare Bereiche gab es im Jahre 2005 den Nobelpreis an die Forscher

Theodore Hänsch (MPI, München) und John Hall (Boulder)

Cs Ofen Mikrowellenresonator

Detektor für angeregte Atome

Detektor für nicht angeregte Atome

Physikalisch relevante Zeitintervalle

Zerfallszeit des Protons 3x10

s Alter des Universums 5x10

s

Alter der Erde 1x10

s

Länge einer Tages 9x10

s

Herzschlag 8x10

s

Zerfallszeit des Müons 2x10

s Kürzester Lichtpuls 3x10

s Zerfallszeit des instabilsten Teilchens 1x10

s

Planckzeit 1x10

s

25

Dendrochronologie

Bedeutung

Archäologie

Hausbau- und Siedlungsgeschichte Kunstgeschichte

Paläoklimatologie und Klimatologie

Gletscher-, Waldbrand- und Überflutungsgeschichte Erforschung des Vulkanismus

Insekten- und Immissionsschäden Kriminalistik (z.B. Kunstfälschungen).

Was tun bei größeren

zeitlichen Abständen

Datierung

Bestimmung der Zeit, die seid einem signifikanten physikalischen Ereignis

vergangen ist

27

Kohlenstoff-Kreislauf in der Natur

C14-Methode

Das radioaktive Kohlenstoffisotop ¹⁴C entsteht in der oberen Atmosphäre und verteilt sich gleichmäßig auf

der Oberfläche der Erde. Über die Nahrungskette ist

14C in jedem Organismus vorhanden

Stirbt der Organismus und erfolgt keine Zuführung von

14C mehr sinkt der Anteil von ¹⁴C in der Probe.

Solange sich der Kohlenstoff im Kreislauf befindet entspricht das Verhältnis der Kohlenstoffisotope dem

natürlichen Verhältnis der einzelnen Isotope.

Ab diesem Zeitpunkt tickt die Uhr!

Nach 5730 Jahren ist die Hälfte der ¹⁴C Atome zerfallen

C14-Methode geeignet für Ereignisse im Bereich bis einige zehntausend Jahre

Radioaktiver Zerfall

Statistischer Prozess

N /2

Anzahl instabiler Kerne N

Zeit

0

N ₀

T _1/2 N /e ₀

T _1/e

(

)

Luft 12

14

Probe 12

14

a 10 21 . 1 ,

C exp Zählrate

C Zählrate C

Zählrate C

Zählrate ⎟⎟ ⎠ ⋅ − = ⋅

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ λ t λ

( ) ^λt

I

I(t) = ⋅ exp − Form Allgemeine

0

n Finanzwese und

Medizin, Chemie,

Biologie, Physik,

der in Prozesse andere

für viele auch

gilt

Verzinsung

Höhe der mit Luftdrucks des

Abnahme

rs Kondensato eines

Aufladung

Bakterien von

Wachstum

29

Kalibration der C ¹⁴ Zeitskala

Probleme:

Suess-Effekt

Massive Verbrennung von fossilem Kohlenstoff

(Kohle, Erdöl) nach 1850 AD verfälscht die Daten.

Der so erzeugte

Kohlenstoff ist alt und enthält kaum noch ¹⁴C Anteile. Dadurch

verringert sich der Anteil von ¹⁴C in der Atmosphäre.

Geochronologie

Datierung großer Zeiträume in uranhaltigem Gestein

238U und ²³⁵U zerfallen über unterschiedliche Zerfallsreihen in ²⁰⁶Pb und ²⁰⁷Pb Halbwertszeit von ²³⁸U: 4.47x10⁹ a und ²³⁵U: 7,038 · 10⁸ a

31

Kalium-Argon Methode

alternatives Verfahren wenn Gestein nicht uranhaltig ist

%) (11.2

%) 8

. 88 (

40 18 40 20 40

19

-

Ar Ca K

Zerfall Zerfall

−

−

→

→

+

β β

Halbwertszeit 1 . 26 ⋅ 10

a

Erstarren des Gesteins: Kein Austausch mehr mit der Umgebung

wird auch zur Datierung von Mondproben und Meteoriten verwendet

Abstandsmessung für entfernte Objekte

γ

α β

B A

C

( ^{A B} ) ^C

C B

A

γ α

γ β

α

sin sin

sin sin

sin

=

≈

⇒

=

=

Position im

Winter Position im

Sommer

Grad m m m AU

C

m

4

16 11 11 16

10 4

10 4.26

10 sin 3

sin

10 3 2

10 4.26 4.5Lj

Centauri Alpha

Abstand

⋅

=

⋅

= ⋅

⋅

=

=

⋅

=

α

α

33

Messung geringer Abständsänderungen

Michelson Interferometer

Konstruktive Interferenz Δ l=2(l

-l

)=n λ

Laser nm

HeNe = 632 . 8

λ

Albert Abraham Michelson (1852 - 1931)

Helium-Neon Laser λ = 632 nm

35

Gravitationswellen

Ziel Frequenzunterschiede im Bereich von 0.1 bis 1Hz detektieren

Geo600

Hannover

37

Gravitationswellendetektor im All

5 000 000 km Abstand

LISA

Laser Interferometer

Space Antenna

Basiseinheiten

In diesem Fall hat sich das metrische System nicht durchgesetzt.

Vielleicht gibt es auch ein Problem mit der Umrechnung.

39

Signifikante Stellen

Mit dem Maßband gemessener Kreisradius r=123.4 cm

r

cm 5 38.7672533 cm

3 . 12 2

2 = ⋅ =

= π r π

U

Berechne den Umfang

Ergebnis der Rechnung mit dem Taschenrechner

Das Maßband liefert einen Messwert mit einer Genauigkeit von 12.3 +/- 0.1 cm Deshalb Messwerte nur mit den Nachkommastellen angeben, die man der Messung selbst auch zutraut

cm

= 38.7

U

Dimensionsanalyse

Man kann die Dimension einer Messgröße nutzen, um auf die zugrunde liegenden physikalischen Gesetzmäßigkeiten zu schliessen

ab

A = A = π r

A a h

2 1 π

= a

b r

a

h

In allen Fällen ist die Dimension der Größe [L²]

41

Dimensionsanalyse

Normalerweise haben wir es mit folgenden den Größen zu tun Länge [L]

Zeit [T]

Masse [M]

elektrischer Strom [I]

...

ma F =

Zum Beispiel:

Das zweite Newtonschen Gesetz hat die Einheiten Masse [M] x Beschleunigung [L/T²]

das heißt die Dimension ML/T²

Dimensionsanalyse

[ ] ^L

T L T

L

T T² L T

L T

L

2 ² v 1

v

2

?

0

⎥⎦ +

⎢⎣ ⎤

≠ ⎡

⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡

⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡

⎥⎦ +

⎢⎣ ⎤

= ⎡

⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡

⇓ +

= at

Physikalische Größen, die nicht dieselbe Dimension haben, kann man nicht addieren bzw. subtrahieren.

Beispiel

Test: Ist die Gleichung richtig

Da die Dimension auf den beiden Seiten der Gleichung nicht

übereinstimmt, kann man schließen, dass die Formel nicht richtig sein kann!

Das hilft (aber nicht immer) auch in Prüfungen Allerdings kann keine Aussage getroffen werden über Vorfaktoren wie π oder ½.

43

Dimensionsanalyse

⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡

⎥⎦ =

⎢⎣ ⎤

⎡

⇓

=

=

2

2

T

M 1

T ML

Abstand) pro

(Kraft Gesetz

Hooksches

k von Dimension

2 oder

2

L

k T m

m

T π k π

Ein weiteres typisches Problem

Man kennt die Form der Gleichung, aber die genaue Stellung der Messgrößen ist unklar

Beispiel

Masse m an schwingender Feder. Wie ist die Periode T einer Schwingung bei einer

gegeben Federkonstante k.

[ ]

k T 2 π m

T oder T

M

T M [T] M

oder M

T M [T]

2 2

=

⇓

⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡

⇓

⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡

⎥⎦ =

⎢⎣ ⎤

⎡

=

Dimensionsanalyse

Ein letztes Problem

Man kennt die Gleichung gar nicht, man hat nur eine einigermaßen genaue Vorstellung

über die beteiligten Größen. Eine

Dimsionsanalyse kann unter Umständen die Form der Gleichung klären

Beispiel

Wie ist die Periode T eines

schwingenden Pendels

[ ] [ ][ ] [ ][ ][ ]

[ ] [ ]

l T g

l g f(Θ(

konst T

z

z x

z w

g m

l konst T

x z w z

x w

z y x w

≈

⇒

=

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⇓

=

=

−

=

−

=

= +

=

↓

⎥ =

⎥ ⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⇓

Θ

=

− +

. 1

T² L L

T

0 x 2 , w 1 2 , 1

2 1

, 0 , 0

T M T² L

M L L T

.

2 / 1 2

/ 1

2z -

Wovon könnte die Bewegung abhängen?

Vermutung (vielleicht offensichtlich) Länge des Faden L

Masse des Körpers Winkel der Auslenkung Θ

Gravitation g

Vielleicht, vielleicht noch von anderen Kräften Luftwiderstand

Gravitation der Sonne

Elektromagnetsiche Strahlung des Handys

....

Unsere alltägliche Erfahrung lehrt uns aber, dass die Gravitation die Gravitation

der Erde wohl den Hauptbeitrag liefert (typisch Physiker)

Der Winkel Θwird in Radian gemessen (mehr davon später),

d.h. (Länge/Länge) und hat deshalb keine Dimension

45

Dimensionsanalyse

l T g

l g f(Θ(

konst T

g m

l konst

T

≈

=

⇓

Θ

=

. 1 .

Die Periodendauer eines Pendels hängt nicht von der Masse des Körpers ab

1 2 2

1

2 2 1

1

1 2

2 1

1 1

2 1

2 2 1

1 1 1

1 1

. ) ) .

) )

) .

, ) .

l l T

T

l T l

T

l f(Θ g T

konst l

g T

konst f(Θ

f(Θ f(Θ

l f(Θ g konst

l T f(Θ g

konst T

=

↓

=

=

=

=

⇓

=

=

=

Was noch?

Im Experiment können wir relative Größen vergleichen

Was lernt man aus dieser Analyse?

Obwohl wir nicht alles geklärt haben

Messfehler

Prinzipiell lassen sich physikalische Größen mit hoher Genauigkeit bestimmen. In der Praxis ist die Genauigkeit immer durch den

Messfehler begrenzt.

Angabe eines Ergebnisses: Messgröße +/- Messfehler

X X ± Δ

X Δ X Δ X

Ursache für den Messfehler

A. Unkontrollierte, zeitlich veränderliche Einflüsse auf das Messinstruments Das sind zufällige Messfehler

B. Unverstandene Eigenschaften des Messinstruments Das sind systematische Messfehler

47

Histogramme

Messwert X

#Messwerte X

X_i

X_i+ΔX X_i-ΔX

Ergebnisse werden in Intervalle einsortiert Auftragung: Anzahl der Messwerte pro Intervall

Methode der kleinsten Quadate

Carl Friedrich Gauß (1777-1855) 2

1

) ( x x

N i

i

−

∑

Diese Summe ist minimal, wenn

∑ =

= ^N

i

x i

x N

1

1

Dies ist der Mittelwert, d.h das Arithmetische Mittel der

Einzelmessungen Wenn es sinnvoll ist, bildet

man folgenden Ausdruck:

Angenommen man hat eine Anzahl von Messwerten erfasst. Welches ist

dann der Wert der dem wahren

Wert am nächsten kommt.

49

Standardabweichung

Für zufällige Fehler ist der Fehler der

Einzelmessung

1 ) (

1

2

−

−

= ∑

=

N

x x

s

N i

i

Das muss man nicht mit der Hand ausrechnen.

Diese Rechnung führt der Taschenrechner heutzutage

standardmäßig aus.

Der Mittlere Fehler der Einzelmessung oder auch die Standardabweichung gibt die Abweichung vom Mittelwert an, den eine Einzelmessung in einer Messreihe im Mittel bei vielen Messungen

haben wird.

Binominalverteilung/ Gauß-Verteilung

2 1

2 1

4 2

4 1 4

1

8 1

8 1 8

3 8

3

16 4

16 4

16 1 16

1

16 6

51

Gaußverteilung

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ − −

=

2

) exp (

2 ) 1

( σ

μ μ

μ π G

Anmerkung: Falls Messdaten Gauß-verteilt ist σ=s

( ) ^{0 0 . 3989}

2 exp ) 1

( = − ≈

μ π G

24197 .

2 0 2 exp

) 1

(

2

⎟⎟ ≈

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

=

± σ

σ σ π

μ G

Wert der Funktion G(x) bei bestimmten x-Werten

Die Funktion ist normiert, d.h. die Fläche unter Kurve hat den Wert 1.0

68.27% der Ereignisse liegen innerhalb des Fehlerintervalls μ+/-σ

95.45% der Ereignisse liegen innerhalb des Fehlerintervalls μ+/-2σ

im Maximum

im Bereich von

Mittelwert plus/minus

Standardabweichung

Fehlerfortpflanzung

Die funktionelle Abhängigkeit einer Messergebnisses von der gewählten Messgröße spielt für den Fehler eine

gewichtige Rolle

dx x x F = dF Δ

Δ ( )

∑

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ Δ

∂ + ∂

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ Δ

∂ + ∂

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ Δ

∂ + ∂

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ Δ

∂

= ∂

Δ

i

N N

N

i

x

x x x F

x x x F

x x x F

x x x F

x x x F

1

2 2

3 3

3 2

2 2

2 2

1 1

1 3

2 1

) ... (

) ( )

( )

) ( ,...

, , (

Allgemein formuliert

53

Zufälliger Fehler des Mittelwertes

Mit dieser Formel zur Hand können wir die Genauigkeit des Mittelwertes abschätzen

) ...

1 ( 1

3 2

1 1

N N

i

i

x x x x

x N

x = N ∑ = + + + +

=

) 0 ...

0 0

1

1 ( + + + +

∂ =

∂

N x

x

i

2 2

1 2

1 1

1 1

... 1 1

) 1 ,...

, ,

( ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ Δ +

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ Δ

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ Δ

=

Δ

x

x N x N

x N x

x x x

( )

1 2 1 1

) 1 ,...

, ,

( N x

x N x

x x

x

= Δ

Δ

N x x

x x x

x

= Δ

Δ (

,

,

,... )

( )

1

1

2

−

−

=

≈

Δ ∑

=

N

x x

s x

N i

i

mittlerer Fehler der Einzelmessung

( )

N s N

N

x x

x

N i

i

=

−

−

=

Δ ∑

=

) 1 (

1

2