n}: #A=k} Anzahl der Möglichkeiten: #M = nk

Mathematik für Pharmazeuten W. Nagel

WS 2015/16

Lösungen zu den Übungsaufgaben, 6. Serie

Wie bei allen Serien sind dies nur Stichworte und Hinweise zu den Lösungen.

Es sind keine Muster für komplette Lösungen!

(GDGL) (Typ III der Vorlesung) CB(t) =k CD(0)t e^−kt, wobeik =kabs =kel. Es bezeichnet #M die Anzahl der Elemente einer endlichen Menge M.

1. WennnGegenstände unterscheidbar sind, dann werden sie durchnummeriert mit1, . . . , n.

a) Bilden einerk-elementigen Teilmenge einer n-elementigen Menge.

Menge aller Möglichkeiten: M ={A⊆ {1, . . . , n}: #A=k}

Anzahl der Möglichkeiten: #M = ⁿ_k .

b) Bilden einesk-tupels, in dem kein Element mehrfach vorkommen darf.

Menge aller Möglichkeiten: M = {(a₁, . . . , a_k) ∈ {1, . . . , n}^k : a_i 6= a_j füri 6= j}, wobei a_i. . .Nummer des i-ten entnommenen Gegenstands.

Anzahl der Möglichkeiten: #M = ⁿ_k

·k! =n(n−i). . .(n−k+ 1).

Spezialfall: k =n: Anzahl der möglichen Anordnungen (Permutationen) von n Ele- menten ergibt sich als n!

c) Bilden einesk-tupels, in dem Elemente mehrfach vorkommen dürfen.

Menge aller Möglichkeiten:

M ={1, . . . , n}^k ={(a₁, . . . , a_k) :a_i ∈ {1, . . . , n}, i∈ {1, . . . , k}}, wobeia_i. . .Num- mer desi-ten entnommenen Gegenstands.

Anzahl der Möglichkeiten: #M =n^k. d) Wie a).

e) r_j... absolute Häufigkeit, mit der Gegenstand mit Nr. j gezogen wird.

Menge aller Möglichkeiten: M ={(r₁, . . . , r_n) :r_i ≥0, Pn

i=1r_i =k}

Anzahl der Möglichkeiten: #M = ^n+k−1_k .

2. Inn Schubfächer (mit den Nummern 1, ..., n) werden insgesamt k Kugeln gelegt.

(i) Wie b), wobeia_i die Nummer des Schubfachs, in das die Kugel mit Nr. igelegt wird (für jede Kugel wird die Nummer eines Schubfachs gezogen).

(ii) Wie c), wobeiai die Nummer des Schubfachs, in das die Kugel mit Nr. igelegt wird (für jede Kugel wird die Nummer eines Schubfachs gezogen).

(iii) Wie a) oder d).A... Menge der Nummern von Schubfächern, in die eine Kugel gelegt wird.

(iv) Wie e), wobei rj ... Anzahl der Kugeln im Schubfachj. 3. (a) 2ⁿ

(b) ⁿ_k 4. a) ⁴₂

· ²⁸₈ b) ⁶₄

· ⁴³₂ 5. (a) ²⁰₈

(b) ¹⁰₅

· ¹²₅