Numerische Stabilitätsanalyse von Travelling Waves anhand der Evans-Funktion und der Lopatinski-Determinante

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Numerische Stabilit¨ atsanalyse von Travelling Waves anhand der

Evans-Funktion und der Lopatinski-Determinante

Dissertation

zur Erlangung des akademischen Grades eines Doktors der Naturwissenschaften

(Doctor rerum naturalium, Dr. rer. nat.) vorgelegt von Felix Kleberan der

Mathematisch-Naturwissenschaftliche Sektion Fachbereich Mathematik und Statistik

Tag der m¨undlichen Pr¨ufung: 11. Februar 2016

1. Referent: Prof. Dr. Johannes Schropp, Universität Konstanz 2. Referent: Prof. Dr. Heinrich Freistühler, Universität Konstanz

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Danksagung

Zu aller erst möchte ich mich ganz herzlich bei Herrn Prof. Dr. Johannes Schropp bedanken, der mir die Möglichkeit gegeben hat, im Fachbereich Mathematik und Statistik der Universität Konstanz zu promovieren und stets dabei geholfen hat, meine Dissertation zu einem erfolgreichen Abschluss zu führen.

An zweiter Stelle gilt ein großer Dank Herrn Prof. Dr. Heinrich Freistühler, dessen Kooperation mit Herrn Prof. Dr. Johannes Schropp – insbesondere für den zweiten Teil meiner Dissertation – ebenfalls zu einem erfolgreichen Abschluss der vorliegenden Arbeit geführt hat.

Des Weiteren bedanke ich mich natürlich bei meiner Familie und bei meinen Freun- den, die mich ebenfalls während meiner Promotion an der Universität Konstanz immer tatkräftig unterstützt haben.

Schließlich möchte ich mich noch bei allen Mitarbeiterinnen und Mitarbeitern des Fachbereichs Mathematik und Statistik bedanken, die mir während meiner Zeit an der Universität Konstanz geholfen haben, meine Promotion erfolgreich zu beenden.

Konstanz, im November 2015 Felix Kleber

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Inhaltsverzeichnis

Danksagung v

Abbildungsverzeichnis xi

Tabellenverzeichnis xii

Einleitung 1

I Die Evans-Funktion 7

1 Die Evans-Funktion – Herleitung und Eigenschaften 9

1.1 Stabilit¨at von Travelling Waves . . . 9

1.2 Die Evans-Funktion . . . 13

1.2.1 Spektrum und Fredholm-Eigenschaften . . . 13

1.2.2 Konstruktion der Evans-Funktion: Spezialfall . . . 14

1.2.3 Konstruktion der Evans-Funktion im allgemeinen Fall . . . . 16

1.2.4 Eigenschaften der Evans-Funktion . . . 19

1.2.5 Hyperbolizit¨at und asymptotisches Verhalten . . . 20

1.3 Ein explizites Beispiel f¨ur die Evans-Funktion . . . 21

2 Die numerische Berechnung der Evans-Funktion 27 2.1 Einf¨uhrung in die Problemstellung . . . 27

2.2 Berechnung analytischer Basen . . . 29

2.3 Numerische Integration von Unterr¨aumen . . . 31

2.3.1 Die Stiefel-Mannigfaltigkeit . . . 31

2.3.2 Die Polarkoordinaten-Methode . . . 32

2.3.3 Numerische Umsetzung . . . 35

2.4 Algorithmus zur Berechnung der Evans-Funktion . . . 36

2.5 Fazit . . . 37

2.6 Alternative Berechnungsm¨oglichkeiten der Evans-Funktion . . . 37

2.6.1 Die Methode des ¨außeren Produkts . . . 38

2.6.2 Die Riccati-Methode . . . 40

3 Numerik orthogonaler Fl¨usse 43 3.1 Grundlagen f¨ur Differential-algebraische Gleichungen . . . 44

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3.2 Orthogonale Fl¨usse im Reellen . . . 47

3.2.1 Der Fluss auf der reellen Stiefel-Mannigfaltigkeit . . . 47

3.2.2 Zusammenhang zum vektorwertigen Fall . . . 48

3.3 SPARK-Verfahren f¨ur reelle Index-2-Probleme . . . 52

3.3.1 Anwendung auf die vektorwertige Gleichung . . . 55

3.3.2 Anwendung auf die matrixwertige Gleichung . . . 58

3.4 Ubertragung ins Komplexe . . . .¨ 62

3.4.1 Formulierung als Differential-algebraische Gleichung . . . 62

3.4.2 Aquivalenz zum reellen Fall . . . .¨ 64

3.4.3 Vom reellen zum komplexen Algorithmus . . . 68

4 Anwendung und Beispiele 71 4.1 Numerisches Set-Up . . . 71

4.1.1 Runge-Kutta-Verfahren f¨ur die Q-Gleichung . . . 71

4.1.2 Runge-Kutta-Verfahren f¨ur die ˜γ-Gleichung . . . 72

4.1.3 Praktische Umsetzung in Matlab . . . 73

4.1.4 Numerische Daten . . . 74

4.2 Beispiele . . . 74

4.2.1 Reaktionsdiffusionsgleichung . . . 75

4.2.2 Boussinesq-Gleichung . . . 77

4.2.3 Ekman-Randschichtproblem . . . 79

4.2.4 Autokatalytisches System . . . 83

4.3 Vergleich mit der Davey-Methode . . . 88

4.4 Fazit . . . 90

II Die Lopatinski-Determinante 93

5 Die Lopatinski-Determinante 95 5.1 Erhaltungsgleichungen und Schock-L¨osungen . . . 95

5.2 Stabilit¨at von Schock-L¨osungen – die Lopatinski-Determinante . . . 96

6 Das zweidimensionale ideale isotherme MHD-System 101 6.1 Das MHD-System in konservativer und symmetrischer Form . . . . 102

6.2 Langsame und schnelle, parallele und nicht-parallele Schocks . . . . 106

6.3 Die Lopatinski-Determinante des MHD-Systems . . . 113

7 Analyse der Lopatinski-Determinante des MHD-Systems 117 7.1 Parallele Lax-Schocks . . . 117

7.1.1 Langsame parallele Lax-Schocks . . . 119

7.1.2 Schnelle parallele Lax-Schocks . . . 127

7.1.3 Numerik f¨ur den parallelen Lax-Schock . . . 128

7.1.4 Ergebnisse f¨ur den parallelen Lax-Schock . . . 135

7.2 Nicht-parallele Lax-Schocks . . . 136

(9)

Inhaltsverzeichnis

7.2.1 Ingredienzen der Lopatinski-Determinante . . . 137

7.2.2 Numerik f¨ur den nicht-parallelen langsamen Lax-Schock . . . 140

7.2.3 Ergebnisse f¨ur den nicht-parallelen langsamen Lax-Schock . 144 7.3 Fazit f¨ur den langsamen Lax-Schock . . . 149

Zusammenfassung 151

III Anhang 153

A Grundlagen aus der linearen Algebra 155 B Parameterabh¨angige Matrizen 159 B.1 Fortsetzung von Unterr¨aumen . . . 159

B.1.1 Der Algorithmus nach Beyn . . . 159

B.1.2 Der Algorithmus nach Dieci und Friedman . . . 165

B.2 Differentiation von mehrfachen Eigenwerten . . . 168

C Numerische Berechnung von Travelling Waves 171 C.1 Schritt 1: Endliches Intervall . . . 171

C.2 Schritt 2: Systemverdopplung . . . 171

C.3 Umsetzung in Matlab . . . 172

C.4 Extraktion der Profill¨osung . . . 173

C.5 Beispiel . . . 173

D Rechnungen des MHD-Systems 177 E Komplexe Nullstellen 195 E.1 Das Muller-Verfahren . . . 195

E.2 Das Argumentprinzip . . . 195

F Computerinformation 197

Literaturverzeichnis 199

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Abbildungsverzeichnis

1.1 Travelling-Wave-L¨osung der Boussinesq-Gleichung . . . 10

1.2 Travelling-Wave-L¨osung der Reaktionsdiffusionsgleichung . . . 22

2.1 Die drei Basisl¨osungen ˜W1, ˜W2 und ˜W3 . . . 30

4.1 Die Evans-Funktion f¨ur die Reaktionsdiffusionsgleichung . . . 75

4.2 Orthogonaler Fehler f¨ur die Reaktionsdiffusionsgleichung . . . 76

4.3 Die Evans-Funktion f¨ur die Boussinesq-Gleichung . . . 77

4.4 Orthogonaler Fehler f¨ur die Boussinesq-Gleichung . . . 79

4.5 Die Ekman-Spirale in der u-v-Ebene . . . 80

4.6 U- und V-Komponenten der Travelling Wave Φ f¨ur ε= 0.014156 . . . . 81

4.7 H¨ohenprofil von |D(λ)| f¨ur das Ekman-Randschichtproblem . . . 83

4.8 Orthogonaler Fehler f¨ur das Ekman-Randschichtproblem . . . 84

4.9 Die Komponenten ¯u und ¯v der Travelling Wave Φ für δ= 0.1 undm = 9 85 4.10 Höhenprofil von|D(λ)| für das autokatalytische System . . . 86

4.11 Orthogonaler Fehler f¨ur das autokatalytische System . . . 87

4.12 Orthogonaler Fehler bis auf Maschinengenauigkeit . . . 90

6.1 Sprungstelle der Schock-L¨osung in der x1-x2-Ebene . . . 107

6.2 Die Funktion g^am0 f¨ur drei verschiedene Situationen . . . 110

6.3 Die Funktion gâmc für a= 1.5, m= 1 undc= 0.5 zum Höhenlevel j = 4 112 7.1 Höhenprofil für den langsamen Lax-Schock zu a= 4 und ρ⁺= 3 . . . . 130

7.2 Kurven ∆(Γ,1) und ∆(Γ,−1) f¨ur den langsamen Lax-Schock . . . 131

7.3 Höhenprofil nahe der imaginären Achse für den langsamen Lax-Schock 133 7.4 Höhenprofil nahe der imaginären Achse für den schnellenLax-Schock . 134 7.5 Kurve für den Stabilitätswechsel beim Eigenwert λ^∗ = 0 . . . 135

7.6 Funktion g^amc f¨ur c= 0 und c= 0.2 zu a= 2.2 und m= 2 . . . 139

7.7 Störung der Kurve ρ⁺ = â_a²2⁺²+1 für |c| 6= 0 klein – 2D-Ansicht . . . 144

7.8 Störung der Kurve ρ⁺ = â_a²2⁺²+1 für |c| 6= 0 klein – 3D-Ansicht . . . 145

7.9 Kurven f¨ur ∆^a,ρ⁺^,c(iβ,±1) = 0 mit c≷0 – 2D-Ansichten . . . 146

7.10 Die FunktionenR und γ zum Wert a= 1.25 . . . 147

7.11 Auftreten instabiler Schock-L¨osungen f¨ur c= 0 . . . 148

7.12 Auftreten instabiler Schock-L¨osungen f¨ur c= 0.01 – ω2 = 1 . . . 149

7.13 Auftreten instabiler Schock-L¨osungen f¨ur c= 0.01 – ω2 =−1 . . . 150

7.14 Konstanz des Drucks ρ⁺ w¨ahrend den Rechnungen f¨ur c= 0.01 . . . . 150

(12)

4.1 Zeit in Sekunden f¨ur die Berechnung der Evans-Funktion . . . 89

4.2 Orthogonaler Fehler max_ξ_∈_[₋_10,10]max_λ_∈_Ω^λkQ^∗(ξ)Q(ξ)−I_lk_∞ . . . 89

7.1 Eigenwerte λ^∗ zu a= 2 undρ⁺ ց ^a_a²²⁺²₊₁ = 1.2 . . . 132

7.2 Eigenwerte λ^∗ zu verschiedenen Paaren (a, ρ⁺) mit ρ⁺ > ^a_a²2⁺²+1 . . . 132

F.1 Informationen ¨uber den verwendeten Computer . . . 197

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Einleitung

Die vorliegende Dissertation beschäftigt sich mit der mathematischen Analyse von Travelling Waves und deren Stabilität. Aus physikalischer Sicht sind Wellen Verände- rungen einer orts- und zeitabhängigen Größe, welche sich mit einer gewissen Ge- schwindigkeit durch ein Medium oder auch durch das Vakuum fortbewegen, ohne dabei ihre Form zu verändern. Beispiele hierfür sind u. a. Wasserwellen, die sich kreisförmig ausbreiten, wenn man einen Stein in das Wasser wirft, oder elektroma- gnetische Wellen, die von einem Fernsehsender ausgehen und sich durch den Raum fortbewegen, oder auch Wellen im Kontext der Magnetohydrodynamik (MHD), welche sich im Inneren eines Plasmas ausbilden können. Aufgrund der Bewegung der Wellen spricht man in diesem Zusammenhang von laufenden Wellen (engl. travelling waves). Die Stabilität einer Travelling Wave beinhaltet die Fragestellung, ob eine ge- gebene Travelling Wave robust gegenüber gewissen Ungenauigkeiten bzw. Störungen und demzufolge in der Realität beobachtbar ist.

Aus mathematischer Sicht kann eine Travelling Wave als L¨osung U einer gegeben partiellen Differentialgleichung der Form

U(x, t) = Φ(ξ), ξ :=x·N −st

mit einer passenden Funktion Φ beschrieben werden. Hierbei sind

• x∈R^d die Ortsvariable,

• t ≥0 die Zeitvariable,

• s die Geschwindigkeit, mit der sich die Travelling Wave fortbewegt und

• N ∈S^d⁻¹ die Richtung, in der sich die Travelling Wave ausbreitet, wobeiS^d⁻¹ die Einheitssph¨are im R^d ist.

Die Variable ξ=x·N −stbezeichnet man als mitbewegte Koordinate.

In dieser Arbeit werden zwei Klassen von partiellen Differentialgleichungen betrachtet, welche eine Travelling-Wave-L¨osung generieren, und zwar

Ut =A(∂x)U +N(U) (1)

sowie

Ut+ Xd

j=1

fj(U)xj = 0. (2)

(14)

Dabei ist in Gleichung (1) A ein linearer Differentialoperator und N eine Nichtli- nearität. Gleichung (2) ist der allgemeine Vertreter eines Systems von Erhaltungs- gleichungen. Für d= 1 kann man sich eine Travelling Wave gut in einem Schaubild veranschaulichen, z. B. einen Puls als Lösung für Gleichung (1), der sich nach links fortbewegt:

←−−s<0

Ein weiteres Beispiel fürd = 1 ist eine sogenannte Schock-Lösung für Gleichung (2), welche sich nach rechts bewegt:

−−→s>0

Für die Analyse der Stabilität einer Travelling Wave ist das zentrale Konzept dieLi- nearisierungder Gleichungen (1) und (2) um die jeweilige Travelling Wave Φ sowie ein anschließenderExponentialansatzin der Zeittmit einem Faktor e^λt. Dabei ist λ∈C eine komplexe Zahl, welche als Spektralparameter oder auch als Eigenwert bezeichnet wird. Die Linearisierung und der Exponentialansatz liefern schließlich aus der partiellen Differentialgleichung eine gewöhnliche Differentialgleichung, ein sogenanntes Eigenwertproblem. Dieses stellt die konzeptionelle Basis dieser Arbeit dar.

Durch den Ansatz mit dem Faktor e^λt wird die Stabilität bzw. Instabilität der Tra- velling Wave Φ mithilfe des Realteils des Eigenwertsλentschieden. Und daher ist die Hauptaufgabe in der Stabilitätsanalyse einer Travelling Wave den oder die Eigen- werte zu finden. Ein grundlegendes Konzept hierfür sind die Evans-Funktion^[1,57]

und die Lopatinski-Determinante^[19,49,50], deren Nullstellen genau die Eigenwerte der zugrunde liegenden Travelling Wave sind. In den meisten F¨allen sind diese kom- plexwertigen Funktionen allerdings nicht explizit berechenbar, und daher spielt die Numerik ein wichtige Rolle in der Berechnung der Nullstellen der Evans-Funktion und derLopatinski-Determinante und damit in der Stabilit¨atsanalyse von Travel- ling Waves.

Der erste Teil dieser Arbeit behandelt dieEvans-Funktion, zu deren Definition nach

(15)

Einleitung

Linearisierung von (1) und dem Exponentialansatz ein Eigenwertproblem der Form

W^′ =A(ξ, λ)W, ξ∈R, W ∈Cⁿ (3)

dient mitk linear unabhängigen instabilen Moden W_i⁻(·, λ),i= 1, . . . , k und n−k linear unabhängigen stabilen ModenW_i⁺(·, λ),i= 1, . . . , n−k, welche fürξ → −∞

bzw. ξ→+∞abklingen. Damit kann die Evans-Funktion definiert werden durch D(λ) := det

W₁⁻, . . . , W_k⁻, W₁⁺, . . . , W_n⁺₋_k (ξ, λ)

ξ=0

. Diese hat die zentrale Eigenschaft

D(λ) = 0 ⇔ λ ist Eigenwert

und ist zudem analytisch¹ im Spektralparameter λ. F¨ur die numerische Berechnung der Evans-Funktion ist es wichtig diese beiden Eigenschaften zu erhalten, d. h., im Einzelnen sind folgende Punkte zu beachten:

(i) Die Sicherstellung, dass D analytisch in λ ist.

(ii) Die Moden W_i^± besitzen in der Regel unterschiedliche Wachstumsraten, was für das Lösen von Gleichung (3) zu numerischer Instabilität führt; man spricht in diesem Zusammenhang von numerischer Steifheit.

Beide Punkte betreffen die numerische (glatte) Fortsetzung von Unterräumen, und zwar im Fall (i) bezüglich λ und im Fall (ii) bezüglich ξ. Das Hauptaugenmerk in dieser Dissertation richtet sich auf die Analyse von Punkt (ii) und basiert auf der Arbeit vonHumpherysundZumbrun^[30], deren Ansatz es ist, die einzelnen Moden W_i⁻bzw.W_i⁺als kompletten Unterraum aufzufassen, der bezüglich dem Problem (3) integriert werden muss. Eine Zerlegung der Basis des entsprechenden Unterraums inPolarkoordinaten resultiert aus (3) schließlich in dem System

Q^′ = (In−QQ^∗)A(ξ, λ)Q,

γ^′ = Spur (Q^∗A(ξ, λ)Q)γ, (4)

in welchem die matrixwertige GrößeQ∈Cⁿ^×^l, Q^∗Q=Il2 den Unterraum repräsen- tiert und die skalare Größe γ das Wachstum der Moden beinhaltet. Das System (4) bietet eine alternative Möglichkeit dieEvans-Funktion D zu berechnen und ist insbesondere aus numerischer Sicht interessant, da dieser Ansatz einen effizienten und robusten Algorithmus liefert.^[30] Die Untersuchung der Q-Gleichung aus (4) in Bezug auf die Erhaltung der Eigenschaft

Q^∗Q=I_l

1Es wird hier die Bezeichnung

”analytisch“ f¨ur eine holomorphe – also auf einer offenen Menge inCkomplex differenzierbare – Funktion verwendet.

2Eine Matrix mit dieser Eigenschaft wird als orthogonal bezeichnet; dabei istl=koderl=n−k, je nachdem ob die instabilen oder die stabilen Moden betrachtet werden.

(16)

w¨ahrend der numerischen Integration ist Gegenstand der vorliegenden Dissertation.

Als Basis hierf¨ur dient die Arbeit vonJay^[34], mithilfe derer dieQ-Gleichung aus (4)

¨aquivalent in eine Differential-algebraische Gleichung umgeschrieben werden kann.

Diese Umformulierung ermöglicht die Entwicklung eines Algorithmus, welcher die OrthogonalitätsbedingungQ^∗Q=I_l explizit beinhaltet und diese dadurch während der Rechnung bis auf Maschinengenauigkeit erhalten kann. Im Kontext derEvans- Funktion ist der Ansatz über eine Differential-algebraische Gleichung neu³ und liefert eine wettbewerbsfähige Alternative zur Lösung der Q-Gleichung im Vergleich zu den Methoden von Humpherys und Zumbrun^[30] und damit zur numerischen Berechnung derEvans-Funktion.

Teil II dieser Arbeit behandelt dieLopatinski-Determinante für hyperbolische Glei- chungen der Form (2). Während Teil I einen Algorithmus zur allgemeinen numerischen Berechnungen derEvans-Funktion liefert, liegt der Fokus im zweiten Teil auf der Betrachtung eines konkreten Beispiels für das System (2), und zwar auf dem zweidimensionalen idealen isothermen MHD-System

0 = ρ_t+ div(ρV), 0 = (ρV)t+ div

ρV ⊗V +

p+1 2|B|²

I2−B⊗B

, 0 = Bt+ div(B⊗V −V ⊗B)

(5)

mit der zus¨atzlichen Bedingung div(B) = 0. Dabei bezeichnen ρ > 0 die Dichte, p >0 den Druck und V ∈R² das Geschwindigkeits- sowie B ∈R² das Magnetfeld.

Das System (5) besitzt eine Travelling Wave als Schock-L¨osung der Form Φ(ξ) =

(U⁺, fallsξ > 0, U⁻, fallsξ < 0

mit konstanten ZuständenU⁺ undU⁻, an welche dieRankine-Hugoniot-Beding- ung gefordert wird. Dadurch generiert das MHD-System (5) eine ganze Schar von Schock-Lösungen, welche unterteilt werden können in sogenannte langsame und schnelle sowie zusätzlich in parallele und nicht-parallele Lax-Schocks. Diese Lax-Schocks werden in der vorliegenden Arbeit mithilfe der Lopatinski-Determi- nante auf Stabilität untersucht. Ähnlich wie bei der Evans-Funktion basiert die Lopatinski-Determinante auf einem Eigenwertproblem der Form (3), welches aufgrund der Betrachtung von Schock-Lösungen abschnittsweise für ξ >0 bzw. ξ < 0 autonom ist. DieLopatinski-Determinante ist damit schließlich definiert durch

∆(λ, ω) := det R⁻_s(λ, ω), J(λ, ω), R⁺_u(λ, ω)

, ω·N = 0,

wobei die Matrizen R⁻_s(λ, ω) und R⁺_u(λ, ω) die beschr¨ankten L¨osungen des Eigen- wertproblems charakterisieren und jeweils eine Basis des stabilen bzw. instabilen

3Zumindest ist dem Autor dieser Arbeit noch nichts dergleichen in anderweitiger Literatur be- gegnet.

(17)

Einleitung

Unterraums der bez¨uglich ξ ≷ 0 konstanten Systemmatrix des Eigenwertproblems bilden⁴;J(λ, ω) ist der Sprungvektor an der Stelleξ= 0 und die Gleichheitω·N = 0 charakterisiert die St¨orungen des Lax-Schocks senkrecht zur Ausbreitungsrichtung N. Die beiden zentralen Eigenschaften

• ∆(λ, ω) = 0 ⇔ λ ist Eigenwert,

• ∆ ist analytisch im Spektralparameter λ

gelten analog zurEvans-Funktion und sind Kernpunkt bei der (numerischen) Sta- bilitätsanalyse der Lax-Schocks. Hierbei stehen insbesondere die langsamen Lax- Schocks im Vordergrund, für welche in der Situation λ = 0 und der parallelen Schocks sogar eine explizite Darstellung derLopatinski-Determinante möglich ist.

Im Fall Re(λ)>0 ist dieLopatinski-Determinante f¨ur langsameLax-Schocks allerdings nur noch numerisch zu berechnen. Dabei muss darauf geachtet werden, dass durch die Rankine-Hugoniot-Bedingung die Lax-Schocks und damit schließlich auch die Lopatinski-Determinante von mehreren Parametern abh¨angen. Eine ab- strakte Formulierung des Nullstellenproblems ∆(λ, ω) = 0 der Form

F(x) = 0, F :R^N⁺¹ →R^N

mitN = 2 und in Abhängigkeit der auftretenden Parameter dient als Grundlage für die weitere numerische Analyse der langsamenLax-Schocks. Die benötigte Glattheit vonF wird durch den sogenannten CIS⁵-Algorithmus vonDieciund Friedman^[15]

gesichert und ist der zentrale Baustein für die Umsetzung der numerischen Rech- nungen im Matlab-Paket MatCont.^[13] Diese Herangehensweise für das System (5) und die zugehörige Lopatinski-Determinante ist bisher in der Literatur noch nicht vertreten, ebenso wenig wie die damit erzielten (numerischen) Ergebnisse in Bezug auf die Stabilitätsanalyse der langsamenLax-Schocks.⁶

S¨amtliche numerischen Resultate dieser Dissertation – sowohl im Fall der Evans- Funktion als auch im Fall derLopatinski-Determinante – wurden mit der Software Matlaberzielt.

Eine kapitelweise ¨Ubersicht dieser Arbeit liefert der folgende Abriss:

Teil I: Die Evans-Funktion

Kapitel 1: In diesem Kapitel wird die Evans-Funktion eingef¨uhrt sowie deren wichtigsten Eigenschaften aufgezeigt. Grundlage hierf¨ur ist insbesondere die Arbeit von Sandstede.^[57]

4Damit entf¨allt aus numerischer Sicht das Problem der Steifheit, was die numerische Berechnung derLopatinski-Determinante entscheidend vereinfacht im Vergleich zurEvans-Funktion.

5CIS =Continuation of InvariantSubspaces.

6Auch hier beruht diese Tatsache auf dem Wissen des Autors dieser Arbeit; weitere Resultate f¨ur den schnellenLax-Schock sind z. B. in der Arbeit von Trakhinin^[61]zu finden.

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Kapitel 2: Dieses Kapitel widmet sich der numerischen Berechnung der Evans- Funktion, gr¨oßtenteils auf Basis der Arbeit von Humpherys und Zumbrun.^[30]

Das zentrale Thema hierbei ist die Integration von Unterr¨aumen.

Kapitel 3: Die Problematik der Erhaltung der Orthogonalitätsbedingung der Lö- sungQdes Systems (4) ist Gegenstand dieses Kapitels. Der Kernpunkt hierfür ist die Formulierung einer zur ersten Zeile aus (4) äquivalenten Differential-algebraischen Gleichung und daran anschließend die Entwicklung eines passenden numerischen Verfahrens auf Basis der Arbeit von Jay.^[34]

Kapitel 4:Das letzte Kapitel aus Teil I widmet sich der Anwendung des in Kapitel 3 hergeleiteten numerischen Verfahrens für die Q-Gleichung aus (4) und damit der Berechnung derEvans-Funktion. Grundlage hierfür sind vier konkrete Beispiele der Problemklasse (1) mit zugehöriger Travelling-Wave-Lösung.

Teil II: Die Lopatinski-Determinante

Kapitel 5: Das erste Kapitel in diesem Teil beschäftigt sich mit der Problemklas- se (2) im Kontext der hyperbolischen Erhaltungsgleichungen und den zugehörigen Schock-Lösungen. Im Zusammenhang mit der Stabilität dieser Lösungen wird die Lopatinski-Determinante definiert und deren wichtigsten Eigenschaften genannt.

Als Grundlage hierf¨ur ist die Arbeit vonFreist¨uhler und Plaza^[19] zu nennen.

Kapitel 6: Dieses Kapitel behandelt das zweidimensionale ideale isotherme MHD- System (5) als konkretes Beispiel f¨ur die allgemeine Situation aus Kapitel 5. In diesem Zusammenhang bilden langsame und schnelle, parallele und nicht-parallele Schock-L¨osungen vom Lax-Typ die Grundlage zur Berechnung der Lopatinski- Determinante des vorliegenden MHD-Systems.[11,44,49,50]

Kapitel 7: Das abschließende Kapitel widmet sich der Stabilit¨atsuntersuchung der Lax-Schocks aus Kapitel 6 mittels der Lopatinski-Determinante. Hierbei stehen die langsamen Lax-Schocks im Vordergrund, welche sowohl mit expliziten als auch mit numerischen Rechnungen analysiert werden.

Teil III: Anhang

Abgerundet wird die Arbeit mit einem recht ausf¨uhrlichen Anhang, in welchem grundlegende Sachverhalte und Algorithmen formuliert sowie langwierige Rechnun- gen nachgeholt werden. Insbesondere werden auch spezielle Techniken im Kontext der (numerischen) Berechnung der Evans-Funktion und der Lopatinski-Determi- nante aufgezeigt, die in den Hauptteilen I und II dieser Arbeit keinen Platz gefunden haben.

(19)

Teil I

Die Evans-Funktion

(20)

(21)

1 Die Evans-Funktion –

Herleitung und Eigenschaften

Dieses einführende Kapitel richtet sich größtenteils nach der Arbeit von Sandste- de^[57] und behandelt neben dem Konzept der Stabilitätsanalyse von Travelling Wa- ves eine kurze Herleitung und die grundlegenden Eigenschaften derEvans-Funktion.

1.1 Stabilit¨ at von Travelling Waves

Wir betrachten folgende allgemeine Klasse von partiellen Differentialgleichungen:

Ut=A(∂x)U +N(U), x∈R, U(t,·)∈ X. (1-1) Dabei ist A : X → X ein linearer Differentialoperator auf einem passenden Ba- nachraum X, der abgeschlossen und dicht definiert ist. Weiter ist N : X → X eine Nichtlinearität, welche vonU und möglicherweise auch von Ableitungen von U abhängt.

Eine wichtige Klasse von Lösungen für die Gleichung (1-1) ist die der Travelling Wa- ves. Travelling-Wave-Lösungen (oder auch Travelling-Wave-Profile genannt) haben allgemein die Form

U(x, t) = Φ(x−st),

sind also Lösungen von (1-1), welche nur von der mitbewegten Koordinateξ :=x−st abhängen. Hierbei ist s der Parameter für die Geschwindigkeit, mit der sich die Travelling Wave fortbewegt.

Man betrachtet (1-1) ¨ublicherweise in den (ξ, t)-Koordinaten und erh¨alt in diesem Fall

Ut =A(∂ξ)U +s∂ξU +N(U), ξ∈R, U(t,·)∈ X, (1-2) folglich eine Gleichung in der mitbewegten Koordinateξ. Das bedeutet, die Travel- ling Wave Φ = Φ(ξ) ist eine stationäre Lösung von (1-2), erfüllt also die Gleichung

0 =A(∂ξ)U +s∂ξU +N(U). (1-3)

(22)

1.1 Beispiel. Wir betrachten als Beispiel die Boussinesq-Gleichung^[2]

utt =uxx−uxxxx− u²

xx, welche mittels der Definition U =

U1

U2

:=

u ut

∈R² in die Form (1-1) ¨uberf¨uhrt werden kann:

Ut=A(∂x)U +N(U), wobei

A(∂x) :=

0 1

∂_xx−∂_xxxx 0

, N(U) :=

0

−(U₁²)_xx

.

Die Boussinesq-Gleichung besitzt die Schar von Travelling-Wave-L¨osungen Φ(ξ) = 3

2(1−s²) sech² √

1−s²

2 ξ

, ξ =x−st, |s|<1,

wobei sech(x) = _cosh(x)¹ der Sekans Hyperbolicus ist. In Abbildung 1.1 ist die Travel- ling-Wave-L¨osung f¨ur den Parameter s = 0.4 abgebildet.

−100 −5 0 5 10

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

ξ= x−st

Φ(ξ)

Abbildung 1.1: Travelling-Wave-L¨osung der Boussinesq-Gleichung f¨ur den Para- meter s= 0.4.

Eine natürliche Frage in der Untersuchung von Travelling Waves ist die nach der Stabilität, d. h. die Frage nach dem Langzeitverhalten einer LösungU von (1-2), falls

(23)

1.1 Stabilit¨at von Travelling Waves

deren Anfangsbedingung hinreichend nahe bei der Travelling-Wave-Lösung Φ ist. Da wegen (1-3) eine ganze Familie {Φ(·+τ) :τ ∈R} von Travelling-Wave-Lösungen existiert, fordern wir, dass U(·, t) für alle t ≥ 0 nahe bei dieser Familie bleibt und sagen Φ ist nichtlinear stabil. Formal haben wir folgende

1.2 Definition (Nichtlineare Stabilit¨at). Sei Φ eine Travelling-Wave-L¨osung von (1-2) und Uγ(Φ), γ >0 bezeichne eine Umgebung von Φ in X.

(i) Wir sagen Φ ist nichtlinear stabil, falls für jedes ε > 0 ein δ > 0 mit der folgenden Eigenschaft existiert: Eine LösungU von (1-2)mit dem Anfangswert U(·,0)∈ U^δ(Φ) erfüllt die Bedingung U(·, t)∈ U^ε({Φ(·+τ) :τ ∈R}) für alle t >0.

(ii) Die Travelling-Wave-LösungΦist nichtlinear stabil mit asymptotischer Phase, falls (i) gilt und zusätzlich ein τ_∗ ∈R existiert mit der Eigenschaft U(·, t)→ Φ(·+τ_∗) für t→ ∞.

Das Standardvorgehen bei der Untersuchung der Stabilität einer Travelling-Wave- Lösung ist die Betrachtung der Linearisierung von (1-2) an der Travelling-Wave- Lösung Φ:

Ut=A(∂ξ)U +s∂ξU +N^′(Φ)U.

Durch den ¨ublichen Ansatz

U(ξ, t) = e^λtU¯(ξ)

mit λ∈C erhalten wir die gew¨ohnliche Differentialgleichung λU¯ =A(∂ξ) ¯U +s∂ξU¯+N^′(Φ) ¯U oder kompakt geschrieben das folgende Eigenwertproblem:

λU¯ =LU¯ (1-4)

mit dem linearen Operator

L:D(L)→ X, L:=A(∂ξ) +s∂ξ+N^′(Φ), wobeiD(L)⊂ X der Definitionsbereich des Operators L ist.

1.3 Bemerkung. Bisher traten in unserem Kontext weder Funktionenr¨aume (z. B.

für X) noch irgendwelche entsprechende Normen auf, mit welchen die Umgebungen in Definition 1.2 charakterisiert werden können. Der Grund dafür ist, dass diese stark von der Struktur der partiellen Differentialgleichung (1-2) und speziell von der Linearisierung L an der Travelling-Wave-Lösung abhängen. Da dies für die Einführung der Evans-Funktion aber nicht relevant ist, werden wir auch im Fol- genden nicht auf Funktionenräume eingehen. Für Details sei z. B. auf das Buch von Henry^[28] verwiesen.

(24)

Im Folgenden untersuchen wir die Stabilit¨at der Travelling Wave Φ in Bezug auf das Eigenwertproblem (1-4). Wir betrachten also den OperatorLund dessen Spektrum σ(L).

1.4 Definition. F¨ur L:D(L)→ X heißt

ρ(L) :={λ ∈C:L −λ ist bijektiv} die Resolventenmenge vonL und

σ(L) := C\ρ(L) das Spektrum vonL.

1.5 Beispiel. Ist Φ eine nichtkonstante Travelling-Wave-Lösung von (1-2), dann gilt 0∈σ(L) mit zugehöriger Eigenfunktion Φξ. Dies lässt sich wie folgt zeigen: Da Φ die Gleichung

0 =A(∂_ξ)Φ +sΦ_ξ+N(Φ)

erf¨ullt, k¨onnen wir beide Seiten nach ξ differenzieren und erhalten 0 = A(∂ξ)Φξ+s(Φξ)_ξ+N^′(Φ)Φξ,

d. h., Φξ erf¨ullt die Gleichung λU =LU f¨ur λ = 0.

Bezüglich des Operators L und der Stabilitätsuntersuchung sprechen wir nun von spektraler Stabilität (anstatt von nichtlinearer Stabilität).

1.6 Definition (Spektrale Stabilit¨at). Falls das Spektrum σ(L) des OperatorsL = A(∂ξ) +s∂ξ+N^′(Φ) den beiden Bedingungen

(i) es existiert ein δ >0 mit

σ(L)\ {0} ⊂ {λ: Re(λ)<−δ}; (ii) λ = 0 ist einfacher Eigenwert von L

genügt, so heißt die Travelling-Wave-Lösung Φ spektral stabil. Falls ein λ ∈ σ(L) existiert mit Re(λ)>0, so nennen wir die Travelling-Wave-Lösung Φ instabil.

F¨ur gewisse Konstellationen besteht ein enger Zusammenhang zwischen spektraler und nichtlinearer Stabilit¨at, der kurz zusammengefasst Folgendes besagt:

Spektrale Stabilit¨at impliziert nichtlineare Stabilit¨at mit asymptotischer Phase.

Unter welchen Voraussetzungen und für welche Gleichungen (1-2) dieses Ergebnis gilt, dazu sei auf die Arbeiten von Sandstede^[57] oder Henry^[28] verwiesen. Wir gehen darauf nicht weiter ein, sondern interessieren uns in dieser Arbeit nur für die spektrale Stabilität. Wir sprechen in diesem Fall auch von der linearen Stabilität oder in unserem Kontext einfach nur von der Stabilität.

(25)

1.2 Die Evans-Funktion

Ziel dieses Abschnitts ist es, eine Funktion D – die sogenannte Evans-Funktion – anzugeben, mithilfe derer man bequem (insbesondere aus Sicht der Numerik) das Punktspektrum des OperatorsL untersuchen kann.

1.2.1 Spektrum und Fredholm-Eigenschaften

Für die Konstruktion derEvans-Funktion ist es üblich, das Eigenwertproblem (1-4) als System erster Ordnung zu betrachten. Wir schreiben also (1-4) um in ein äqui- valentes System der Form

W^′(ξ) = A(ξ, λ)W(ξ), W(ξ)∈Cⁿ, ξ∈R, (1-5) wobei λ ∈ C wieder der Eigenwertparameter ist, und analysieren die zugeh¨orige Operatorfamilie

T(λ) :D → H, W 7→W^′−A(·, λ)W

mit Definitionsbereich D ⊂ H und Wertebereich H. Dabei treffen wir folgende Annahmen:

• F¨ur λ ∈Cist T(λ) ein abgeschlossener und dicht definierter Operator;

• die Matrix A∈Cⁿ^×ⁿ aus (1-5) ist von der Form

A(ξ, λ) = ˜A(ξ) +λB(ξ), (1-6) wobei ˜A, B ∈C∞(R,Rⁿ×n).

1.7 Bemerkung. Beispielsweise kann man als Funktionenr¨aume f¨ur D bzw. H die Wahl

D=C_unif¹ (R,Cⁿ), H =C_unif⁰ (R,Cⁿ)¹ oder

D =H¹(R,Cⁿ), H=L²(R,Cⁿ)

treffen, vgl. Kapitel 3.1 in der Arbeit von Sandstede.^[57] Detaillierter soll hier darauf aber nicht eingegangen werden.

Wir interessieren uns im Folgenden für diejenigen λ ∈ C, für die T(λ) nicht invertierbar ist, d. h., wir suchen nichttriviale Lösungen (Eigenfunktionen) des Problems

T(λ)W = 0.

Um dies zu pr¨azisieren, gehen wir kurz auf die Theorie der Fredholm-Opera- toren^[37,57] ein.

1Hierbei ist C_unif⁰ (R,Cⁿ) der Raum der beschr¨ankten, gleichm¨aßig stetigen Funktionen;

C_unif¹ (R,Cⁿ)-Funktionen sind zus¨atzlich noch einmal stetig differenzierbar.

(26)

1.8 Definition. Gegeben sei ein linearer, dicht definierter Operator L auf einem Hilbertraum H. Dann heißt L ein Fredholm-Operator, falls

(i) der Kern ker(L) endlich-dimensional ist, und

(ii) das Bild im(L)⊂H abgeschlossen ist mit endlicher Kodimension.

Die Gr¨oße

ind(L) := dim (ker(L))−codim (im(L)) bezeichnet man als Fredholm-Index.

Damit können wir das Spektrum von T(λ) : D → H, W 7→ W^′ −A(·, λ)W definieren. Der Übersicht halber schreiben wir im Folgenden für die Familie T(λ) einfach kurz T.

1.9 Definition. a) F¨ur den Operator T definieren wir

σ(T) := {λ∈C:T(λ) ist nicht invertierbar} und bezeichnen σ(T) als das Spektrum von T.

b) Die Menge

σ_pt(T) :={λ∈σ(T) :T(λ) ist ein Fredholm-Operator mit ind(T) = 0} heißt das Punktspektrum von T und λ∈σpt(T) bezeichnen wir als Eigenwert von T.

c) Das Komplement

σ_ess(T) := σ(T)\σ_pt(T) heißt das wesentliche oder essentielle Spektrum von T.

1.10 Bemerkung. Das Spektrum von L :D(L)→ X, L := A(∂ξ) +s∂ξ+N^′(Φ), aus dem vorigen Abschnitt und das Spektrum vonT :D → H, W 7→W^′−A(·, λ)W ist dasselbe, d. h., es gilt

σ(L) = σ(T).

In Bezug auf dieEvans-Funktion interessieren wir uns speziell f¨ur das Punktspek- trumσpt(T) des linearen Operators T.

1.2.2 Konstruktion der Evans-Funktion: Spezialfall

In gewissen Situationen^[36] ist es relativ einfach die Evans-Funktion anzugeben.

Dazu treffen wir in diesem Abschnitt folgende Voraussetzungen an die MatrixA(ξ, λ) des Systems (1-5):

(27)

• Die Matrix A hat die Form

A(ξ, λ) = ˜A(ξ) +B(λ) mit einer in λ analytischen Matrix B(λ)∈Cⁿ^×ⁿ;

• es gilt

ξ→±∞lim

A(ξ) = 0˜ und die Konvergenz ist exponentiell;

• f¨ur eine Teilmenge Ω⊂C ist die Matrix A^±(λ) := lim

ξ→±∞A(ξ, λ) =B(λ)

f¨ur alle λ ∈Ω hyperbolisch und alle Eigenwerte dieser Matrix sind einfach.

F¨ur die Konstruktion der Evans-Funktion seien die n Eigenwerte von A^±(λ) fol- gendermaßen verteilt: Wir haben

k Stück instabile Eigenwerte µ⁻_j (λ) mit Re(µ⁻_j(λ))>0, j = 1, . . . , k und n−k Stück stabile Eigenwerteµ⁺_j (λ) mit Re(µ⁺_j(λ))<0, j = 1, . . . , n−k, jeweils mit den dazugehörigen (in)stabilen Eigenvektoren v_j⁻(λ), j = 1, . . . , k bzw.

v_j⁺(λ), j = 1, . . . , n−k.

1.11 Bemerkung. Die Eigenvektoren k¨onnen nach Kato^[38] analytisch im Spek- tralparameter λ gew¨ahlt werden.

Unter den oben genannten Voraussetzungen (siehe Theorem 2, Kapitel IV im Buch vonCoppel^[12]) existiert ein Fundamentalsystem von L¨osungenW_j^±(ξ, λ) der Glei- chung (1-5), welche die Eigenschaft

ξ→−∞lim W_j⁻(ξ, λ) e⁻^µ⁻^j^(λ)ξ =v_j⁻(λ), j = 1, . . . , k,

ξlim→∞W_j⁺(ξ, λ) e⁻^µ⁺^j^(λ)ξ =v_j⁺(λ), j = 1, . . . , n−k

erfüllen und für festes ξ analytisch in λ sind (siehe Lemma 2.1.4 im Buch von Kapitula und Promislow^[37]). Mit diesem Fundamentalsystem können wir die Evans-Funktion definieren.

1.12 Definition (Evans-Funktion). Die Evans-Funktion ist f¨ur λ ∈ Ω definiert durch

D(λ) := det W₁⁻(ξ, λ), . . . , W_k⁻(ξ, λ), W₁⁺(ξ, λ), . . . , W_n⁺₋_k(ξ, λ) ξ=0.

(28)

1.2.3 Konstruktion der Evans-Funktion im allgemeinen Fall

Wir kehren nun wieder zur Annahme (1-6) zurück. Dass in diesem Fall die Eigen- werte der Matrix A^±(λ) = lim_ξ_→±∞A(ξ, λ) wie im vorigen Abschnitt alle einfach sind, ist in der Regel nicht erfüllt. Deswegen gibt es einen anderen Zugang – und zwar den über exponentielle Dichotomien, mit deren Hilfe man analog zum Spezial- fall über die Lösungen des Problems (1-5) eine FunktionDkonstruieren kann. Dazu betrachten wir im Folgenden das Problem (1-5) etwas genauer.

1.13 Definition. Für das Problem (1-5) sei φ =φ(ξ, ξ0) : Cⁿ → Cⁿ der Lösungs- operator, d. h., für ξ, τ, ζ ∈R gilt

φ(ξ, ξ) = id, φ(ξ, τ)φ(τ, ζ) = φ(ξ, ζ)

und f¨ur W0 ∈Cⁿ l¨ost W(ξ) =φ(ξ, ξ0)W0 das Problem (1-5) mit W(ξ0) =W0. Die Idee der exponentiellen Dichotomien ist, das Konzept der Analyse einer Diffe- rentialgleichung der Form

W^′(ξ) =A(λ)W(ξ), ξ ∈R

mit einer bezüglich ξ konstanten Matrix A(λ) auf den Fall des nicht-autonomen Systems (1-5) zu übertragen, um so dessen Lösungen und deren Eigenschaften zu charakterisieren.

1.14 Definition (Exponentielle Dichotomien). Sei I = R⁺, R⁻ oder R und sei λ^∗ ∈ C fest gew¨ahlt. Das System (1-5) besitzt auf I eine exponentielle Dichotomie zu λ = λ^∗, falls Konstanten K > 0 und κs < 0 < κu sowie eine Familie von Projektionen(P(ξ))_ξ_∈_I :Cⁿ→Cⁿ,P stetig inξ∈I, existieren, so dass f¨ur ξ, ξ0 ∈I Folgendes gilt:

(i) F¨ur φ^s(ξ, ξ0) :=φ(ξ, ξ0)P(ξ0) gilt f¨ur alle ξ, ξ0 ∈I mit ξ ≥ξ0

kφ^s(ξ, ξ₀)k ≤Ke^κ^s^(ξ⁻^ξ⁰⁾.

(ii) Für φû(ξ, ξ0) := φ(ξ, ξ0)(id−P(ξ0)) gilt für alle ξ, ξ0 ∈I mit ξ≤ξ0

kφ^u(ξ, ξ0)k ≤Ke^κ^u^(ξ⁻^ξ⁰⁾.

(iii) Die Projektionen kommutieren mit dem L¨osungsoperator, d. h.

φ(ξ, ξ0)P(ξ0) =P(ξ)φ(ξ, ξ0) und es gilt f¨ur W0 ∈Cⁿ und ξ, ξ0 ∈I

φ^s(ξ, ξ0)W0 ∈im(P(ξ)) für ξ ≥ξ0, φû(ξ, ξ0)W0 ∈ker(P(ξ)) für ξ ≤ξ0.

(29)

Die vonξ unabhängige Dimension vonker(P(ξ))heißt Morse-Index der exponentiellen Dichotomie aufI. Falls (1-5)beiλ=λ^∗ exponentielle Dichotomien aufR⁺und R⁻ besitzt, so schreibt man für die zugehörigen Morse-Indizes i+(λ^∗) bzw. i₋(λ^∗).

Man beachte, dass in obigen Definitionen sowohl der Lösungsoperator φ, die Pro- jektionenP als auch die Lösung W selbst vom Spektralparameterλ abhängen. Aus Gründen der Übersicht lassen wir diesen in den Notationen aber häufig einfach weg.

Einen Zusammenhang zwischen Spektraleigenschaften vonT und der Existenz von exponentiellen Dichotomien von (1-5) liefert der folgende Satz, dessen Beweis auf die Arbeiten vonPalmer^[53,54] zur¨uckgeht.

1.15 Satz. F¨ur λ∈C gilt

λ∈σpt(T) ⇔ (1-5) hat exponentielle Dichotomien auf R⁺ und R⁻ mit i+(λ) = i₋(λ) und dim(ker(T(λ))>0.

Bezeichnet man in diesem Fall mitP_±(ξ, λ) die zu den exponentiellen Dichotomien aufR^±geh¨origen Projektionen, so sind die R¨aumeker (P₋(0, λ))∩im (P+(0, λ))und ker(T(λ)) via W(0)7→W(·) isomorph zueinander.

1.16 Lemma. Sei P :Cⁿ →Cⁿ eine Projektion. Dann gilt ker(P) = im(id−P).

Beweis. Zun¨achst sei x∈ker(P), d. h., es gilt

P x= 0 ⇔ x−P x=x ⇔ (id−P)x=x

und damit x ∈ im(id−P). Haben wir umgekehrt x ∈ im(id−P), so existiert ein

˜

x∈Cⁿ mit

(id−P)˜x=x.

MitP² =P erhalten wir

(P −P²)˜x=P x ⇒ 0 =P x und somit x∈ker(P).

Als Konsequenz von Satz 1.15 erhalten wir folgendes

1.17 Korollar. Fürλ ∈σpt(T) existiert einW0 ∈ker (P₋(0, λ))∩im (P+(0, λ))mit W0 6= 0, so dass für die nichttriviale Lösung W(ξ) =φ(ξ,0)W0 gilt:

∃K, κ >0 ∀ξ ∈R:|W(ξ)| ≤Ke⁻^κ^|^ξ^||W0|,

d. h., Eigenfunktionen von (1-5) mit λ ∈ σpt(T) sind beschr¨ankt und klingen exponentiell ab f¨ur |ξ| → ∞.

(30)

Beweis. Nach Satz 1.15 ist der Schnitt ker (P₋(0, λ))∩im (P+(0, λ)) nichttrivial, d. h., f¨ur 0 6=W₀ ∈ker (P₋(0, λ))∩im (P₊(0, λ)) ist die L¨osung W ebenfalls nichttrivial.

(i) Da W0 ∈ im(P+(0, λ)), existiert ein X+ ∈ Cⁿ mit W0 = P+(0, λ)X+. Da P+(0, λ) eine Projektion ist, erhalten wir nach Definition 1.14 f¨ur ξ≥0

|W(ξ)|=|φ(ξ,0)W0|=|φ(ξ,0)P+(0, λ)X+|=

φ(ξ,0) (P+(0, λ))²X+

≤ kφ(ξ,0)P+(0, λ)k |P+(0, λ)X+| ≤Ke^κ^s^ξ|W0|.

(ii) Da nach Lemma 1.16 die Gleichheit ker(P₋(0, λ)) = im(id−P₋(0, λ)) gilt sowie W0 ∈ker(P₋(0, λ)), existiert einX₋ ∈Cⁿ mit W0 = (id−P₋(0, λ))X₋. Damit erhalten wir analog zu (i) f¨ur ξ ≤0

|W(ξ)|=|φ(ξ,0)W0|=|φ(ξ,0)(id−P₋(0, λ))X₋|=

φ(ξ,0)(id−P₋(0, λ))²X₋

≤ kφ(ξ,0)(id−P₋(0, λ))k |(id−P₋(0, λ))X₋| ≤Ke^κ^u^ξ|W0|. Mitκ:= min{−κs, κu}>0 folgt die Behauptung.

Wie wir gesehen haben, ist das Spektrum vonT die Vereinigung des Punktspektrums σpt(T) und des wesentlichen Spektrums σess(T). Da f¨ur viele Typen von Travelling- Wave-L¨osungen das wesentliche Spektrum direkt berechnet werden kann^[57], kon- zentrieren wir uns im Folgenden auf das Punktspektrum. Wir nehmen also an, dass gilt:

λ /∈σess(T), d. h. λ∈σpt(T).

Nach Satz 1.15 folgt aus dieser Annahme, dass die Gleichung (1-4) exponentielle Di- chotomien aufR⁺ undR⁻ hat mit zugeh¨origen Projektionen P+(ξ, λ) und P₋(ξ, λ), und dass dieMorse-Indizes i₊(λ) und i₋(λ) dieselben sind:

dim (ker(P+(0, λ))) = dim (ker(P₋(0, λ))). Insbesondere haben wir die wichtige Eigenschaft

λ∈σpt(T) ⇔ ker(T(λ))∼= ker (P₋(0, λ))∩im (P+(0, λ))6={0}, welche die Grundlage zur Definition der Evans-Funktion ist.

Sei nun Ω⊂ C\σess(T) eine einfach-zusammenh¨angende Menge. F¨ur λ ∈ Ω ist der Morse-Index konstant^[57] und wir bezeichnen ihn mit

k := dim (ker(P+(0, λ))) = dim (ker(P₋(0, λ))). Wir w¨ahlen zu diesem k eine Basis

W₁⁻(λ), . . . , W_k⁻(λ) von ker(P₋(0, λ)) und eine Basis

W₁⁺(λ), . . . , W_n⁺₋_k(λ) von im(P₊(0, λ)), so dass die einzelnen Vektoren analytisch von λ∈Ω abh¨angen.^[38] Damit kommen wir zur zentralen

(31)

1.18 Definition (Evans-Funktion). Die Evans-Funktion ist f¨ur λ ∈ Ω definiert durch

D(λ) := det W₁⁻(λ), . . . , W_k⁻(λ), W₁⁺(λ), . . . , W_n⁺₋_k(λ) .

1.19 Bemerkung. Die Definition der Evans-Funktion D ist offensichtlich nicht eindeutig, denn sie h¨angt von der speziellen Wahl der Basisvektoren W₁⁻(λ), . . . , W_k⁻(λ) und W₁⁺(λ), . . . , W_n⁺₋_k(λ) ab. Zwei beliebige Evans-Funktionen unterschei- den sich demnach nur durch einen nichtverschwindenden Faktor, der aus den Deter- minanten der Basiswechselmatrizen entsteht. Trotz der Nichteindeutigkeit sprechen wir vonder Evans-Funktion.

1.2.4 Eigenschaften der Evans-Funktion

Hier werden die wichtigsten Eigenschaften der Evans-Funktion zusammengefasst.

Weitere Details und Hintergr¨unde dazu sind z. B. auch in der Arbeit von Alexan- der,Gardner und Jones^[1] zu finden.

1.20 Satz. F¨ur die Evans-Funktion gilt

λ∈σpt(T) ⇔ D(λ) = 0.

Beweis. Die Behauptung folgt aus

λ∈σpt(T) ⇔ ∃W ∈ker (P₋(0, λ))∩im (P+(0, λ)) mit W 6= 0 ⇔ D(λ) = 0.

Weitere Eigenschaften der Evans-Funktion sind im folgenden Satz (vgl. Theorem 4.1 in der Arbeit vonSandstede^[57]) zusammengefasst.

1.21 Satz. Die Evans-Funktion D: Ω→C ist analytisch in λ∈Ω und es gilt:

a) Falls λ∈R∩Ω, so ist D(λ) reell.

b) D(0) = 0.

Dabei hatten wir die Eigenschaft b) des letzten Satzes bereits am Anfang dieses Kapitels gesehen, vgl. Beispiel 1.5.

1.22 Bemerkung. Die Analytizit¨at der Evans-Funktion im Parameter λ ist eine wichtige Eigenschaft. Beispielsweise kann man dadurch (insbesondere aus der numerischen Sicht) global nach Nullstellen von D suchen, in dem man das Argu- mentprinzip aus der Funktionentheorie anwendet.

(32)

1.2.5 Hyperbolizit¨ at und asymptotisches Verhalten

In diesem Abschnitt geht es um den Zusammenhang des Spektrums des Operators T und der Endmatrizen

A^±(λ) := lim

ξ→±∞A(ξ, λ)

des Systems (1-5). Dazu betrachten wir verschiedene Typen von Travelling-Wave- L¨osungen Φ der partiellen Differentialgleichung (1-2):

1. Homogene stationäre Lösung: Die Lösung Φ ist unabhängig von der Variablen ξ, so dass auch die Linearisierung der partiellen Differentialgleichung (1-2) an der Lösung Φ unabhängig von ξ ist. Wir können in diesem Falls das Eigen- wertproblem (1-5) schreiben als

W^′(ξ) = A(λ)W(ξ), ξ∈R, wobei die Matrix A(λ) nicht mehr von ξ abh¨angt.

2. Front: Die L¨osung Φ bezeichnet man als Front, falls Φ nichtkonstant ist und der Grenzwert

Φ^±:= lim

ξ→±∞Φ(ξ) existiert mit Φ⁺ 6= Φ⁻.

3. Puls: Die L¨osung Φ bezeichnet man als Puls, falls Φ nichtkonstant ist und der Grenzwert

Φ^±:= lim

ξ→±∞Φ(ξ)

existiert mit Φ⁺ = Φ⁻. Dies ist also ein Spezialfall einer Front-L¨osung.

Folgender Satz (vgl. Kapitel 3.4 in der Arbeit vonSandstede^[57]) fasst den Zusam- menhang Spektrum vs. Endmatrizen des OperatorsT zusammen.

1.23 Satz. Sei λ∈C. Dann gilt f¨ur obige drei F¨alle:

1. Homogene station¨are L¨osung:

λ ist in der Resolventenmenge von T ⇔ A(λ) ist hyperbolisch.

Insbesondere ist das Punktspektrum σpt(T) leer.

2. Front:

λ∈σpt(T) ⇔ A^±(λ) sind beide hyperbolisch und es gilt dim(ker(T(λ))) >0.

(33)

1.3 Ein explizites Beispiel f¨ur die Evans-Funktion

3. Puls:

λ∈σpt(T) ⇔ A⁰(λ) := lim

ξ→±∞A(ξ, λ) ist hyperbolisch und es gilt dim(ker(T(λ))) >0.

Dieser Satz hat zur Folge, dass f¨ur nichttriviale Eigenfunktionen die Endmatrizen A^±(λ) bzw. A⁰(λ) automatisch hyperbolisch sind.

Des Weiteren spielt die Asymptotik der Eigenfunktionen des Systems (1-5) eine wichtige Rolle, es gilt n¨amlich^[57]

U(λ) :={W0 ∈Cⁿ:W(ξ, λ)→0 f¨urξ → −∞}= ker(P₋(0, λ)) sowie S(λ) :={W₀ ∈Cⁿ:W(ξ, λ)→0 f¨urξ → ∞}= im(P₊(0, λ)).

Dabei istW jeweils eine nichttriviale Lösung von (1-5) zum AnfangswertW(0, λ) = W0 und P_± sind die Projektionen der jeweiligen exponentiellen Dichotomien aus Satz 1.15. Genauer haben wir sogar folgenden Zusammenhang zum (in)stabilen Un- terraum vonA^±(λ) bzw.A⁰(λ): Die Lösungen von (1-5) verhalten sich fürξ → ±∞

wie die L¨osungen des Systems

W^′(ξ) = A^±(λ)W(ξ) bzw. W^′(ξ) = A⁰(λ)W(ξ),

d. h., für ξ → ±∞ verhalten sich die Lösungen aus U(λ) bzw. S(λ) wie die (ver- allgemeinerten) (in)stabilen Eigenvektoren vonA^±(λ) bzw. A⁰(λ) (für Details siehe Kapitel 3 aus der Arbeit von Zumbrun und Howard^[63]).

1.3 Ein explizites Beispiel f¨ ur die Evans-Funktion

In diesem Abschnitt wollen wir ein Beispiel^[36] betrachten, anhand dessen wir die Evans-Funktion konkret angeben k¨onnen. Gegeben sei die folgende skalare partielle Differentialgleichung (Reaktionsdiffusionsgleichung):

Ut(ξ, t) = Uξξ(ξ, t)−U(ξ, t) + 2 (U(ξ, t))³, U(ξ, t)∈R, ξ ∈R, t ≥0. (1-7) 1.24 Lemma. Die Gleichung (1-7) hat die station¨are Puls-L¨osung

Φ(ξ) = sech(ξ). (1-8)

Beweis. Mit Φ(ξ) = sech(ξ) = _ex+ e²⁻^x und Φ^′′(ξ) = ^{2 e}^2x_(ex⁻+ e^{12+2 e}⁻^x)³⁻^2x gilt Φ^′′(ξ)−Φ(ξ) + 2 (Φ(ξ))³ = 2 e^2x−12 + 2 e⁻^2x

(e^x+ e⁻^x)³ − 2

e^x+ e⁻^x + 16 (e^x+ e⁻^x)³

(34)

= 2 e^2x−12 + 2 e⁻^2x−2(e^x+ e⁻^x)²+ 16 (e^x+ e⁻^x)³

= 0.

−100 −5 0 5 10

0.2 0.4 0.6 0.8 1

ξ

Φ(ξ)

Abbildung 1.2: Travelling-Wave-L¨osung der Reaktionsdiffusionsgleichung (1-7).

Da der Geschwindigkeitsparameter s hier nicht auftaucht (d. h., hier gilt s = 0), spricht man in diesem Fall von einer stehenden Welle.

Linearisieren wir die Gleichung (1-7) um die L¨osung (1-8), so erhalten wir die lineare partielle Differentialgleichung

Ut(ξ, t) =Uξξ(ξ, t) + 6(Φ(ξ))²−1

U(ξ, t) bzw.

Ut(ξ, t) = Uξξ(ξ, t) + (6 sech²(ξ)−1)U(ξ, t).

Das dazu assoziierte Eigenwertproblem lautet damit

λU¯(ξ) = ¯Uξξ(ξ) + (6 sech²(ξ)−1) ¯U(ξ) (1-9)

(35)

bzw. geschrieben als System erster Ordnung

W^′(ξ) =A(ξ, λ)W(ξ), (1-10)

wobeiW(ξ) :=

U¯(ξ) U¯ξ(ξ)

undA(ξ, λ) :=

0 1

λ+ 1−6 sech²(ξ) 0

. F¨ur dieses System gilt:

• die Matrix A hat die Form

A(ξ, λ) = ˜A(ξ)+B(λ) mit A(ξ) =˜

0 0

−6 sech²(ξ) 0

, B(λ) =

0 1 λ+ 1 0

;

• es gilt

ξ→±∞lim

A(ξ) = 0 (und zwar exponentiell schnell);˜

• f¨ur Ω :={λ ∈C: Re(λ)>−1} ⊂C hat die Matrix A⁰(λ) = lim

ξ→±∞A(ξ, λ) =

0 1 λ+ 1 0

die einfachen Eigenwerte µ⁻(λ) =√

λ+ 1 und µ⁺(λ) = −√ λ+ 1.

Insbesondere ist die Matrix A⁰(λ) auf Ω hyperbolisch.

Damit befinden wir uns in der Situation aus Abschnitt 1.2.2.

1.25 Lemma. Die zu µ^±(λ) geh¨origen Eigenvektoren lauten v⁻(λ) =

1 + ^λ₃ +√ λ+ 1

1 3

√λ+ 1(λ+ 3) +λ+ 1

und v⁺(λ) =

1 + ^λ₃ +√ λ+ 1

−¹₃√

λ+ 1(λ+ 3)−(λ+ 1)

. Beweis. Nachrechnen liefert

A⁰(λ)v^± =

0 1 λ+ 1 0

1 + ^λ₃ +√ λ+ 1

∓¹₃√

λ+ 1(λ+ 3)∓(λ+ 1)

=

∓¹₃√

λ+ 1(λ+ 3)∓(λ+ 1) (λ+ 1) 1 + ^λ₃ +√

λ+ 1

=∓√ λ+ 1

₁

3(λ+ 3) +√ λ+ 1

∓√

λ+ 1 1 + ^λ₃ +√ λ+ 1

=∓√ λ+ 1

1 + ^λ₃ +√ λ+ 1

∓¹₃√

λ+ 1(λ+ 3)∓(λ+ 1)

=µ^±(λ)v^±(λ).

(36)

Da f¨ur λ ∈ Ω die Eigenwerte µ⁻(λ) und µ⁺(λ) beide einfach sind, existiert ein Fundamentalsystem von L¨osungen W^± zu (1-10) mit der Eigenschaft

ξ→−∞lim W⁻(ξ, λ) e⁻^µ⁻^(λ)ξ =v⁻(λ) und lim

ξ→∞W⁺(ξ, λ) e⁻^µ⁺^(λ)ξ =v⁺(λ). (1-11) Zur expliziten Berechnung der Evans-Funktion benötigen wir die Lösungen W^±, welche die asymptotischen Bedingungen in (1-11) erfüllen.

1.26 Lemma (Sandstede^[56]). Die L¨osungen W⁻ und W⁺ sind gegeben durch W⁻(ξ, λ) = e^√^λ+1ξ

1+^λ₃−√

λ+1 tanh(ξ)−sech²(ξ)

1 3

√λ+1(λ+3)−(λ+1) tanh(ξ)−2 sech²(ξ)(^√^λ+1−tanh(ξ))

und

W⁺(ξ, λ) = e⁻^√^λ+1ξ

1+^λ₃+√

λ+1 tanh(ξ)−sech²(ξ)

−¹₃√

λ+1(λ+3)−(λ+1) tanh(ξ)+2 sech²(ξ)(^√λ+1+tanh(ξ))

.

Beweis. Wir rechnen die Behauptung nur für W⁻ nach, für W⁺ läuft der Beweis analog. Definieren wir

u(ξ, λ) := W⁻(ξ, λ)

1 = e^√^λ+1ξ

1 + λ 3 −√

λ+ 1 tanh(ξ)−sech²(ξ)

, so folgt

u_ξ(ξ, λ) = e^√^λ+1ξ 1

3

√λ+ 1(λ+ 3)−(λ+ 1) tanh(ξ)

−2 sech²(ξ)√

λ+ 1−tanh(ξ) , uξξ(ξ, λ) = 1

12e^√^λ+1ξsech⁴(ξ) ((λ+ 1) cosh(2ξ) +λ−11)

−3√

λ+ 1 sinh(2ξ) + (λ+ 3) cosh(2ξ) +λ−3

. Damit gilt

uξ(ξ, λ) = W⁻(ξ, λ)

2

sowie

uξξ(ξ, λ) + 6 sech²(ξ)−1−λ

u(ξ, λ) = 0, d. h.,u erf¨ullt die Eigenwertgleichung (1-9).

Somit k¨onnen wir die Evans-Funktion auf Ω angeben:

D(λ) = det W⁻(0, λ), W⁺(0, λ)

(37)

= det

_λ

3

λ 1 3

3

√λ+ 1(λ+ 3)−2√

λ+ 1 −¹₃√

λ+ 1(λ+ 3) + 2√ λ+ 1

=−2

9λ(λ−3)√ λ+ 1.

F¨ur die Nullstellen vonD gilt auf Ω

D(λ) = 0 ⇔ λ∈ {0,3},

d. h., f¨ur das Punktspektrum des zugrunde liegenden OperatorsT erhalten wir σpt(T) ={0,3}.

Oder anders ausgedrückt: Fürλ = 0 undλ = 3 sind die LösungenW⁻undW⁺linear abhängig und generieren eine nichttriviale beschränkte Eigenfunktion von (1-10). Im Detail heißt das fürλ= 0:

W⁻(ξ,0) = e^ξ

1−tanh(ξ)−sech²(ξ)

1−tanh(ξ)−2 sech²(ξ) (1−tanh(ξ))

=

−tanh(ξ) sech(ξ) sech(ξ)−2 sech³(ξ)

, W⁺(ξ,0) = e⁻^ξ

1 + tanh(ξ)−sech²(ξ)

−1−tanh(ξ) + 2 sech²(ξ) (1 + tanh(ξ))

=

tanh(ξ) sech(ξ)

−sech(ξ) + 2 sech³(ξ)

, und f¨urλ = 3:

W⁻(ξ,3) = e^2ξ

2−2 tanh(ξ)−sech²(ξ)

4−4 tanh(ξ)−2 sech²(ξ) (2−tanh(ξ))

=

sech²(ξ)

−2 tanh(ξ) sech²(ξ)

, W⁺(ξ,3) = e⁻^2ξ

2 + 2 tanh(ξ)−sech²(ξ)

−4−4 tanh(ξ) + 2 sech²(ξ) (2 + tanh(ξ))

=

sech²(ξ)

.

Die Ergebnisse dieses Abschnitts fassen wir in folgendem Korollar zusammen.

1.27 Korollar. (i) F¨ur λ= 0 ist W1(ξ) :=

tanh(ξ) sech(ξ)

−sech(ξ) + 2 sech³(ξ)

(38)

eine Eigenfunktion, welche (1-10) erfüllt und exponentiell für ξ → ±∞ ab- klingt. Gleiches gilt für λ = 3 mit der Eigenfunktion

W2(ξ) :=

sech²(ξ)

.

(ii) Die station¨are Puls-L¨osung (1-8) ist instabil.