Hier konzentrieren wir uns auf die Frage nach der analytischen Fortsetzung einer Menge von linear unabh¨angigen Vektoren bez¨uglich eines komplexen Parameters λ∈C. Grundlage hierf¨ur ist der folgende allgemeine1
B.1 Satz (¨uber implizite Funktionen[39]). Seien X und Y zwei komplexe Banach -r¨aume, und D⊂ X und Λ⊂ Y zwei Gebiete. Weiter sei die Abbildung F :D×Λ→ X analytisch und es gelte f¨ur einen Punkt (x0, λ0)∈D×Λ
F(x0, λ0) = 0 sowie
∂
∂xF(x0, λ0) ist invertierbar.
Dann existiert eine analytische Funktion x=x(λ)auf einer Umgebung Λ0 ⊂Λ von λ0 mit
F(x(λ), λ) = 0 f¨ur λ∈Λ0, x(λ0) =x0.
B.2 Lemma. Sei A ∈ Cn×m eine Matrix mit n ≥ m und rank(A) = m. Dann ist A∗A∈Cm×m invertierbar.
Beweis. Wir zeigen: ker(A∗A) = ker(A) = {0}. Dabei gilt das zweite Gleichheits-zeichen aufgrund der Tatsache, dass A vollen Rang besitzt.
1Eine endlich-dimensionale Version hiervon ist z. B. in dem Buch von Fritzsche und Grau-ert[23]zu finden.
(i) F¨ur x∈ker(A) gilt
Ax= 0 ⇒ A∗Ax= 0 und damit x∈ker(A∗A), also ker(A∗A)⊃ker(A).
(ii) F¨ur x∈ker(A∗A) erhalten wir
A∗Ax= 0 ⇒ x∗A∗Ax= 0
⇒ (Ax)∗Ax = 0
⇒ hAx, Axi= 0
⇒ kAxk22 = 0
⇒ Ax= 0 und somit x∈ker(A), d. h. ker(A∗A)⊂ker(A).
Aus (i) und (ii) folgt die Behauptung.
Damit kommen wir zum zentralen Resultat dieses Abschnittes, welches im Grunde auf die Arbeit vonBeyn[7] zur¨uckgeht.
B.3 Satz. SeiΛ⊂Cein Gebiet und seiA(λ)∈Cn×neine Matrix, welche analytisch von einem Parameter λ ∈ Λ abh¨angt. Weiter sei A(λ) f¨ur alle λ ∈ Λ hyperbolisch mit konstanter (in)stabiler Dimension ns bzw. nu. Dann existieren zu λ0 ∈ Λ eine Umgebung Λ0 ⊂ Λ von λ0 sowie in λ analytische Funktionen Es = Es(λ) ∈ Cn×ns undEu =Eu(λ)∈Cn×nu, so dass f¨ur λ∈Λ0 die Spalten vonEs(λ)bzw. Eu(λ)eine Basis des stabilen bzw. instabilen Unterraums vonA(λ) bilden.
Beweis. Sei λ0 ∈ Λ beliebig. Da A(λ0) eine hyperbolische Matrix ist, existieren MatrizenJ, Q∈Cn×n, Q invertierbar, mit
Q−1A(λ0)Q=J, (B-1)
J =
Ju 0 0 Js
, Ju ∈Cnu×nu, Js∈Cns×ns und
σ(Ju) = σu(A(λ0)), σ(Js) = σs(A(λ0)) (Jordansche Normalform von A(λ0)). Wir zerlegen Qin
Q= Qu Qs
, Qu ∈Cn×nu, Qs∈Cn×ns passend zu J und betrachten die analytische Abbildung
F : Λ×Cn×nu×Cnu×nu →Cn×nu×Cnu×nu, (λ, Eu, U)7→
A(λ)Eu −EuU Q∗uEu−Q∗uQu
.
B.1 Fortsetzung von Unterr¨aumen
Die Abbildung F hat die Nullstelle (λ0, Qu, Ju), denn F(λ0, Qu, Ju) =
A(λ0)Qu−QuJu
Q∗uQu−Q∗uQu
(B-1)
= 0.
Wir zeigen nun, dass der lineare Operator
∂F
∂(Eu, U)(λ0, Qu, Ju) :Cn×nu×Cnu×nu →Cn×nu ×Cnu×nu
invertierbar ist. Da alles endlich-dimensional ist, reicht es zu zeigen, dass der Kern von ∂(E∂Fu,U)(λ0, Qu, Ju) lediglich die Null enth¨alt. Zun¨achst berechnen wir
F(λ, Eu+H1, U +H2) =
A(λ)(Eu+H1)−(Eu+H1)(U+H2) Q∗u(Eu+H1)−Q∗uQu
=F(λ, Eu, U) +
A(λ)H1−EuH2−H1U−H1H2
Q∗uH1
=F(λ, Eu, U) +
A(λ)H1−EuH2−H1U Q∗uH1
+
−H1H2
0
, d. h., wir erhalten
∂F
∂(Eu, U)(λ0, Qu, Ju) H1
H2
=
A(λ0)H1−QuH2−H1Ju
Q∗uH1
. Damit machen wir den Ansatz
A(λ0)H1−QuH2−H1Ju = 0, (B-2)
Q∗uH1 = 0. (B-3)
Multipliziert man (B-2) von links mitQ∗u, so ergibt sich mit (B-3)
0 =Q∗uA(λ0)H1−Q∗uQuH2−Q∗uH1Ju =Q∗uA(λ0)H1 −Q∗uQuH2. Wegen Lemma B.2 istQ∗uQu ∈Cnu×nu invertierbar und wir erhalten somit
H2 = (Q∗uQu)−1Q∗uA(λ0)H1. (B-4) Eingesetzt in (B-2) liefert dies
A(λ0)H1−Qu(Q∗uQu)−1Q∗uA(λ0)H1−H1Ju = 0. (B-5) Da Q∈Cn×n invertierbar ist, k¨onnen wir H1 folgendermaßen zerlegen:
H1 =QQ−1H1 = Qu Qs
Hu Hs
=QuHu+QsHs,
wobei wir Hu
Hs
:=Q−1H1 gesetzt haben mit MatrizenHu ∈Cnu×nu,Hs∈Cns×nu. Damit gilt
A(λ0)H1 =A(λ0)QuHu+A(λ0)QsHs (B-1)
= QuJuHu+QsJsHs. Setzen wir dies und H1 =QuHu+QsHs in (B-5) ein, so folgt
QuJuHu +QsJsHs−Qu(Q∗uQu)−1Q∗uA(λ0)H1−QuHuJu−QsHsJu = 0
⇔ Qu JuHu−HuJu−(Q∗uQu)−1Q∗uA(λ0)H1
+Qs(JsHs−HsJu) = 0
⇔ Qu Qs
JuHu−HuJu−(Q∗uQu)−1Q∗uA(λ0)H1
JsHs−HsJu
= 0
⇔
JuHu−HuJu −(Q∗uQu)−1Q∗uA(λ0)H1
JsHs−HsJu
= 0, daQ= Qu Qs
invertierbar ist. Damit folgt insbesondere
JsHs−HsJu = 0. (B-6)
Da das Spektrum von Js und Ju disjunkt ist, folgt nach Satz A.5 dass Hs = 0 die einzige L¨osung der Gleichung (B-6) ist. Damit gilt H1 = QuHu und aus (B-3) erhalten wir
0 = Q∗uH1 =Q∗uQuHu Lemma B.2
⇒ Hu = 0.
Damit istH1 = 0, und aus (B-4) folgt schließlich H2 = 0, d. h.
ker
∂F
∂(Eu, U)(λ0, Qu, Ju)
={0}.
Damit sind die Voraussetzungen des Satzes ¨uber implizite Funktionen (vgl. Satz B.1) f¨ur das Problem
F(λ, Eu, U) = 0
erf¨ullt, also existieren f¨ur eine Umgebung U1 ⊂Λ von λ0 analytische Funktionen Eu :U1 →Cn×nu und U :U1 →Cnu×nu
mit den Eigenschaften
Eu(λ0) = Qu, U(λ0) =Ju, A(λ)Eu(λ) = Eu(λ)U(λ),
Q∗uEu(λ) = Q∗uQu (B-7)
f¨urλ ∈U1. Durch Betrachtung der analytischen Abbildung F˜ : Λ×Cn×ns ×Cns×ns →Cn×ns×Cns×ns,
B.1 Fortsetzung von Unterr¨aumen
(λ, Es, S)7→
A(λ)Es−EsS Q∗sEs−Q∗sQs
kann man analog die Existenz einer Umgebung U2 ⊂ Λ von λ0 sowie analytischer Funktionen
Es:U2 →Cn×ns und S:U2 →Cns×ns zeigen mit den Eigenschaften
Es(λ0) = Qs, S(λ0) =Js, A(λ)Es(λ) = Es(λ)S(λ),
Q∗sEs(λ) = Q∗sQs
f¨urλ ∈U2. Zusammengefasst bedeutet das mit E(λ) := Eu(λ) Es(λ) : A(λ)E(λ) =E(λ)
U(λ) 0 0 S(λ)
, λ ∈Λ0 :=U1∩U2.
Aufgrund der Oberhalbstetigkeit des Spektrums (vgl. Kapitel 25 aus dem Buch von Amann[5]) k¨onnen wir durch eine eventuelle Verkleinerung von Λ0 annehmen, dass f¨urλ ∈Λ0 gilt:
E(λ) ist invertierbar und
σ(U(λ)) =σu(U(λ)), σ(S(λ)) =σs(S(λ)).
Damit erhalten wir
E(λ)−1A(λ)E(λ) =
U(λ) 0 0 S(λ)
sowie (B-8)
σ(U(λ)) =σu(A(λ)), σ(S(λ)) = σs(A(λ))
f¨ur alle λ∈Λ0. D. h., die Spalten von Eu(λ) bzw. Es(λ) bilden f¨ur alle λ ∈Λ0 eine Basis des (in)stabilen Unterraums vonA(λ).
F¨ur die praktische Berechnung der Funktionen Es und Eu aus Satz B.3 dient das folgende
B.4 Lemma. Sei B(λ) ∈ Cn×nu eine Matrix (nicht notwendigerweise analytisch in λ), dessen Spalten den instabilen Unterraum von A(λ) aus Satz B.3 aufspannen.
Dann ist f¨ur einλ0 ∈Λ0 das lineare Gleichungssystem B∗(λ0)B(λ)d(λ) =B∗(λ0)B(λ0)
f¨ur eine geeignete Umgebung von λ0 eindeutig l¨osbar nach d(λ) ∈ Cnu×nu und die Spalten von B(λ)d(λ) bilden eine analytische Basis des instabilen Unterraums von A(λ). Analoges gilt f¨ur den stabilen Unterraum vonA(λ).
Beweis. Ohne Einschr¨ankung nehmen wir an, dass B(λ0) =Eu(λ0) = Qu
mit Qu ∈ Cn×nu aus Beweis von Satz B.3 gilt (sonst existiert eine regul¨are Matrix Ku ∈ Cnu×nu mit B(λ0) = QuKu und wir erhalten eine in λ analytische Matrix E˜u(λ), dessen Spalten den instabilen Unterraum von A(λ) aufspannen). Weiter gilt
• B∗(λ0)Eu(λ0) = Q∗uQu ist invertierbar (nach Lemma B.2) und
• B∗(λ0)Eu(λ) ist wegen der Analytizit¨at insbesondere stetig in λ.
Damit erhalten wir die Invertierbarkeit von B∗(λ0)Eu(λ) f¨ur eine geeignete Umge-bung von λ0. Da sowohl die Spalten von B(λ) als auch die von Eu(λ) eine Basis des instabilen Unterraums von A(λ) bilden, existiert f¨ur jedes λ in der besagten Umgebung eine TransformationsmatrixT(λ)∈Cnu×nu mit
B(λ) =Eu(λ)T(λ).
D. h., auch die Matrix B∗(λ0)B(λ) = B∗(λ0)Eu(λ)T(λ) ist invertierbar und wir erhalten die lokale eindeutige L¨osbarkeit des Gleichungssystems durch
d(λ) = (B∗(λ0)B(λ))−1B∗(λ0)B(λ0)
= (B∗(λ0)Eu(λ)T(λ))−1B∗(λ0)B(λ0)
=T−1(λ) (B∗(λ0)Eu(λ))−1B∗(λ0)B(λ0)
=T−1(λ) (Q∗uEu(λ))−1Q∗uQu (∗)
= T−1(λ) (Q∗uQu)−1Q∗uQu
=T−1(λ).
Dabei gilt die Gleichheit in (∗) aufgrund der Formelzeile (B-7). Das bedeutet insge-samt
B(λ)d(λ) =Eu(λ)
und damit folgt schließlich die lokale Analytizit¨at inλ der Basis B(λ)d(λ).
F¨ur die Berechnung einer glatten Basis aus Lemma B.4 auf einer diskreten Punkt-menge Λλ :={λ0, λ1, λ2, . . .} ⊂Λ erhalten wir schließlich den folgenden
B.5 Algorithmus.
0. Berechne zuλ0 eine MatrixB(λ0), deren Spalten eine instabile Basis vonA(λ0) bilden.
1. F¨uhre f¨ur λj, j = 1,2, . . . folgende Rechnungen durch:
2. Berechne zu λj eine Matrix B(λj), deren Spalten eine instabile Basis von A(λj) bilden.
B.1 Fortsetzung von Unterr¨aumen
3. L¨ose das lineare Gleichungssystem
B∗(λ0)B(λj)d(λj) =B∗(λ0)B(λ0) auf nach d(λj).
4. Setze f¨ur die j-te Basis
B(λj) := B(λj)d(λj).
Die Berechnung einer glatten stabilen Basis von A(λ) erfolgt analog.
B.6 Bemerkung. In Algorithmus B.5 gehen wir stillschweigend davon aus, dass die geeignete Umgebung vonλ0 aus Lemma B.4 die diskrete Punktmenge Λλ vollst¨andig umfasst. Das Lemma B.4 liefert n¨amlich nur eine bez¨uglich λ lokale Aussage zur L¨osbarkeit des Systems
B∗(λ0)B(λ)d(λ) = B∗(λ0)B(λ0).
F¨ur unsere Anwendungen reicht diese ”lokale Berechnung“ aber v¨ollig aus und wir m¨ussen uns nicht darum k¨ummern, ob die geeignete Umgebung groß genug ist: In un-seren Beispielen funktioniert diese Vorgehensweise immer! M¨ochte man aber unter Garantie eine auf ganz Λ global analytische Basis berechnen, so kann man beispiels-weise wie in der Arbeit von Humpherys, Sandstede und Zumbrun[29] vorgehen.
Da wir dies aber nicht brauchen, wird hier darauf nicht weiter eingegangen.
Fazit f¨ur Algorithmus B.5:
⊕ Der Algorithmus ist einfach und effizient zu implementieren. Es muss f¨ur jedes λj lediglich ein lineares Gleichungssystem gel¨ost werden.
⊕ Der Algorithmus liefert eine glatte Basis bez¨uglich dem skalaren Parameter λ ∈ C; diese Methode ist auch f¨ur die glatte Fortsetzung bez¨uglich einem vektorwertigen Parameter anwendbar.[7]
⊖ F¨ur jedesλjmuss die instabile (bzw. stabile) Basis vonA(λj) berechnet werden (vgl. Schritt 0 und Schritt 2), d. h., f¨ur jedes λj muss das Vorzeichen des Realteils der Eigenwerte von A(λj) ¨uberpr¨uft werden.