7.2 Nicht-parallele Lax-Schocks
7.2.3 Ergebnisse f¨ur den nicht-parallelen langsamen Lax-Schock . 144
In diesem letzten Abschnitt fassen wir die numerischen Ergebnisse f¨ur den langsamen Lax-Schock zusammen. Um der Situation des parallelen Lax-Schocks zu entspre-chen, ersetzen wir in den Ergebnissen den Parametermdurch die Dichtekomponente ρ+ und schreiben ∆a,ρ+,c statt ∆a,m,c.
Symmetriebrechung:
Wir betrachten in (7-23) den Vektor x = (β, a, m), setzen also die Nullstellenglei-chung bez¨uglich den Parametern β, a und m fort, wobei α und c fixiert sind, und zwar durch
• α = 0,
• c∈ {−0.02,−0.019, . . . ,−0.001,0} bzw. c∈ {0,0.001, . . . ,0.019,0.02}.
Dabei starten wir gem¨aß (7-24) mit c = 0 und erh¨ohen den Wert |c| sukzessive, damit der Startwertx0 in Schritt 3 des Algorithmus 7.22 zum aktuellen cdurch die
7.2 Nicht-parallele Lax-Schocks
1.5
2
2.5
3
1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3
−0.015
−0.01
−0.005 0 0.005 0.01 0.015
ρ+ a
β
c= 0
|c| 6= 0 klein
Abbildung 7.8: St¨orung der Kurve ρ+ = aa22+2+1 f¨ur |c| 6= 0 klein – 3D-Ansicht.
mit dem vorherigen cberechneten Werte vonβ, a und m festiteriert wird.
Abbildung 7.7 beantwortet die Frage, was passiert, wenn wir den Parametercleicht von der Null weg st¨oren: Es entsteht eine Schar von Kurven, auf welcher die Lopa-tinski-Determinante ∆a,ρ+,cverschwindet mit α= Re(λ) = 0. Dabei korrespondiert die rote Kurve zu derjenigen aus Abbildung 7.5 im Fall c = 0. Was mit dem Ima-gin¨arteil β = Im(λ) des Spektralparameters passiert, ist in Abbildung 7.8 zu sehen:
Dieser ist im Fallc6= 0 nicht mehr trivial.
Des Weiteren halten wir Folgendes fest:
• Im Fall c= 0 hatten wir die ¨Aquivalenz
∆a,ρ+,0(0,1) = 0 ⇔ ∆a,ρ+,0(0,−1) = 0
f¨ur den Nulleigenwert λ= 0. Diese Symmetrie spaltet sich f¨ur c6= 0 auf in
∆a,ρ+,c(iβ,1) = 0 ⇔ ∆a,ρ+,c(−iβ,−1) = 0 mit β 6≡0.
• Im a-ρ+-Schaubild (vgl. Abbildung 7.9 oben) entsprechen die Kurven mit c exakt denjenigen mit −c.
• Im a-β-Schaubild (vgl. Abbildung 7.9 unten) entsprechen die Kurven mit c exakt denjenigen mit −can der roten Kurve gespiegelt.
1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3
• S¨amtliche Kurven sind definiert f¨ur a≥amin(c) mit einem minimalenamin(c), welches vom Parameter cabh¨angt.
Insgesamt erhalten wir als Ergebnis die folgende
7.23 Numerische Beobachtung. Es existieren ein ε > 0 und zwei glatte Funk-tionen R und γ mit
R =R(a, c), gerade in c und R(a,0) = a2+ 2
a2+ 1 sowie γ =γ(a, c), ungerade in c
und dem gemeinsamen Definitionsbereich
Ωε ={(a, c) :a≥amin(c),−ε < c < ε}, so dass gilt:
∆a,R(a,c),c(±iγ(a, c),±1) = 0
7.2 Nicht-parallele Lax-Schocks
−3 −2 −1 0 1 2 3
x 10−3 1.29
1.3 1.31 1.32 1.33 1.34 1.35 1.36 1.37 1.38 1.39
c
R
−3 −2 −1 0 1 2 3
x 10−3
−0.08
−0.06
−0.04
−0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08
c
γ
Abbildung 7.10: Die FunktionenR (links) und γ (rechts) zum Werta = 1.25.
f¨ur alle c∈(−ε, ε) und a ≥amin(c).
Als zus¨atzliche Best¨atigung f¨ur diese Beobachtung visualisieren wir f¨ur den Wert a = 1.25 die beiden Funktionen R(a,·) und γ(a,·) in einem Schaubild, vgl. Abbil-dung 7.10. F¨ur deren Berechnung wurde das Problem (7-23) bez¨uglich β, m und c fortgesetzt mit fixiertenα= 0 und a= 1.25.
Auftreten instabiler Schock-L¨osungen:
Wir setzen jetzt (7-23) bez¨uglichα,βundafort (mit fixiertenmundc), interessieren uns also insbesondere f¨ur das Verhalten des Realteilsα des Spektralparameters λ.
Wir beginnen zun¨achst mit der Untersuchung von parallelen Schocks, betrachten demnach c = 0. F¨ur den Parameter m setzen wir wie gewohnt m = q
a2+2 a2+1 und beginnen die Rechnungen auf der roten Kurve aus Abbildung 7.8 zu verschiedenen 1.5 ≤ a0 ≤ 3 als Startwerte f¨ur den Parameter a. Das Ergebnis ist in Abbildung 7.11 zu sehen.
Wir halten Folgendes fest:
• Die gr¨unen Kurven stehen f¨ur instabile paralleleLax-Schocks (f¨ur den Realteil des Spektralparameters gilt α= Re(λ)>0).
• Der Imagin¨arteil β des Spektralparameters λ ist bei s¨amtlichen Rechnungen im Fall c= 0 identisch Null.
• Die Berechnungen entsprechen den bisherigen Ergebnissen f¨ur den parallelen Lax-Schock: Es existieren lediglich rein reelle instabile Eigenwerteλ.
Kommen wir nun zu nicht-parallelen Schock-L¨osungen. Hier setzen wir beispielhaft c= 0.01 und beginnen die Rechnungen auf der oberen bzw. unteren mittleren blauen Kurve in Abbildung 7.8, je nachdem ob wir ω2 = 1 oder ω2 =−1 nehmen. Wie im
1.5
2
2.5
3
1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025
ρ+ a
α
α= 0 α>0
Abbildung 7.11: Auftreten instabiler Schock-L¨osungen f¨ur den parallelen Lax -Schock (c= 0).
Fallc= 0 w¨ahlen wir verschiedene 1.5≤a0 ≤3 sowie jeweilsα= 0 als Startwerte f¨ur den Parameterabzw. den Realteil des Spektralparameters. Die Startwerte f¨urβ 6≡0 sowie der jeweils fixierte Wert f¨ur m sind durch die Rechnungen aus Abbildung 7.8 gegeben. Die Resultate sind in den Abbildungen 7.12 (ω2 = 1) und 7.13 (ω2 =−1) sowie 7.14 zu sehen.
Wir halten fest:
• Die gr¨unen (Realteil des Spektralparameters) und magentafarbenen (Ima-gin¨arteil des Spektralparameters) Kurven stehen f¨ur instabile nicht-parallele Lax-Schocks.
• Die Realteile des Spektralparameters sind f¨ur ω2 = 1 und ω2 =−1 identisch.
Der Imagin¨arteil des Spektralparameters f¨ur ω2 = 1 entspricht demjenigen f¨ur ω2 =−1 mit negativem Vorzeichen, und ist insbesondere nicht mehr identisch Null.
• Die Druckkomponente ρ+ ist w¨ahrend den Rechnungen jeweils konstant, vgl.
Abbildung 7.14:
– Links: 2D-Ansicht im a-ρ+-Schaubild f¨ur den Realteil des Spektralpara-meters (ω2 =±1).
7.3 Fazit f¨ur den langsamen Lax-Schock
1.5
2
2.5
3
1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025
ρ+ a
α
α= 0 α>0
1.5 2 2.5 3
1 1.2 1.4
−0.02
−0.015
−0.01
−0.005 0 0.005 0.01
ρ+ a
β
α= 0 α>0
Abbildung 7.12: Auftreten instabiler Schock-L¨osungen f¨ur den nicht-parallelenLax -Schock (c= 0.01): links der Realteil und rechts der Imagin¨arteil des Spektralparameters – ω2 = 1.
– Rechts: 2D-Ansicht ima-ρ+-Schaubild f¨ur den Imagin¨arteil des Spektral-parameters (ω2 =±1).
Insgesamt erhalten wir in Bezug auf das Auftreten instabiler nicht-paralleler lang-samerLax-Schocks folgende
7.24 Numerische Beobachtung. Es existieren ein δ >0und eine glatte Funktion ζ+iη: Ωε×[0, δ)→C mit
ζ(a0, c,0) = 0, η(a0, c,0) =γ(a0, c) und ζ(a0, c, t)>0 f¨ur t >0,
so dass gilt:
∆a0+t,R(a0,c),c(ζ(a0, c, t)±iη(a0, c, t),±1) = 0 f¨ur alle t ∈[0, δ). Das bedeutet: F¨ur t >0 ist
λ∗ =ζ±iη ein instabiler Eigenwert f¨ur ω2 =±1.
7.3 Fazit f¨ ur den langsamen Lax-Schock
Als Fazit f¨ur den langsamen Lax-Schock k¨onnen wir aufgrund der gemachten Un-tersuchungen Folgendes festhalten:
• Parallele Schocks (c = 0) besitzen reelle Eigenwerteλ∗ ≥ 0. In Bezug auf die Parameter a und ρ+ gilt hierbei:
λ∗ = 0, falls ρ+ = a2+ 2 a2+ 1,
1.5
Abbildung 7.13: Auftreten instabiler Schock-L¨osungen f¨ur den nicht-parallelenLax -Schock (c= 0.01): links der Realteil und rechts der Imagin¨arteil des Spektralparameters – ω2 =−1.
λ∗ ist reell mitλ∗ >0, falls ρ+ > a2+ 2 a2+ 1.
• Nicht-parallele Schocks (c6= 0) generieren – ausgehend vom parallelen Schock – Eigenwerte λ∗ mit nicht-trivialem Imagin¨arteil des Spektralparameters. Dabei sind folgende Konstellationen m¨oglich:
– λ∗ ∈iR, d. h., der Eigenwert ist rein imagin¨ar (vgl. Numerische Beobach-tung 7.23),
– λ∗ ∈ C, d. h., der Eigenwert ist voll komplex mit Re(λ∗) > 0 f¨ur t > 0, also insbesondere instabil (vgl. Numerische Beobachtung 7.24).
Hierbei tritt λ∗ jeweils als komplex konjugiertes Paar auf.
1.5 2 2.5 3
Abbildung 7.14: Konstanz des Drucks ρ+ w¨ahrend den Rechnungen f¨ur c = 0.01 und ω2 = ±1: links der Realteil und rechts der Imagin¨arteil des Spektralparameters – 2D-Ansichten.
Zusammenfassung
Der erste Teil dieser Dissertation behandelt die numerische Berechnung derEvans -Funktion im Kontext der Stabilit¨atsanalyse von Travelling Waves auf Basis eines Eigenwertproblems, welches als System erster Ordnung die Grundlage zur Definition derEvans-Funktion bildet. Aus Sicht der Numerik sind hierbei die folgenden beiden Punkte zu beachten: (i) Die Sicherstellung der Analytizit¨at derEvans-Funktion im komplexen Spektralparameter und (ii) die unterschiedlichen Wachstumsraten beim L¨osen des Eigenwertproblems. Beide Punkte betreffen – wenn auch aus unterschied-licher Sichtweise – die numerische Fortsetzung von Unterr¨aumen, und zwar im Fall (i) bez¨uglich des Spektralparameters und im Fall (ii) bez¨uglich der mitbewegten Koordinate der Travelling Wave. Problem (i) wird gel¨ost durch einen Algorithmus, welcher auf dem Satz ¨uber implizite Funktionen basiert und die Analytizit¨at im Spektralparameter sichert. Eine L¨osung f¨ur Problem (ii) ergibt sich, in dem das zu-grunde liegende Eigenwertproblem auf die komplexeStiefel-Mannigfaltigkeit pro-jiziert wird, um anschließend als Differential-algebraische Gleichung mit der passen-den Orthogonalit¨atsbedingung gel¨ost zu werpassen-den. Die praktische Umsetzung hierf¨ur wird mit einem Verfahren f¨ur Index-2-Probleme realisiert, dem sogenannten modifi-zierten SPARK-Newton-Verfahren. Vier Beispiele werden erfolgreich getestet zur Demonstration der in Teil I entwickelten numerischen Verfahren.
Teil II der vorliegenden Arbeit behandelt die Lopatinski-Determinante f¨ur das zweidimensionale ideale isotherme MHD-System. Die in diesem Zusammenhang auf Stabilit¨at zu untersuchenden Schock-L¨osungen sind die sogenannten langsamen und schnellen Lax-Schocks, welche die Rankine-Hugoniot-Bedingung erf¨ullen. Eine weitere Unterteilung dieser Schocks wird in parallel und nicht-parallel vorgenom-men. Parallele langsame Lax-Schocks generieren beim Nulleigenwert eine kritische Mannigfaltigkeit im Parameterraum in einer einfachen algebraischen Darstellung, was beim parallelen schnellen Lax-Schock nicht der Fall ist. Nicht-parallele langsa-me Lax-Schocks werden anschließend auf Basis der Ergebnisse des parallelenLax -Schocks untersucht. Hierbei spielt insbesondere die Numerik eine wichtige Rolle, da in diesem Fall f¨ur die Lopatinski-Determinante keine explizite Darstellung mehr realisierbar ist. Um die Glattheit der Lopatinski-Determinante in den auftreten-den Parametern zu sichern, muss das Konzept der Fortsetzung von Unterr¨aumen in die numerischen Verfahren mit eingearbeitet werden. Numerische Rechnungen zeigen, dass f¨ur nicht-parallele langsame Lax-Schocks ein instabiles Paar komplex konjugierter Eigenwerte existiert mit nicht-verschwindendem Imagin¨arteil.
Teil III
Anhang
A Grundlagen aus der linearen Algebra
In diesem Kapitel werden einige Definitionen und bekannte Sachverhalte aus der linearen Algebra zusammengefasst. Wir beginnen mit Eigenwerten und Eigenvekto-ren.
A.1 Definition. a) Das Spektrum einer Matrix A∈Cn×n ist definiert durch σ(A) :={µ∈C: det(A−µIn) = 0}.
Die algebraische Vielfachheit eines Eigenwertes µ ∈ σ(A) ist die Vielfach-heit der Nullstelle des charakteristischen Polynoms det(A−µIn) und wird mit ma(µ) bezeichnet.
b) F¨ur µ∈σ(A) ist der verallgemeinerte Eigenraum Eµ gegeben durch Eµ := ker (A−µIn)ma(µ)
. c) Eine Matrix A∈Cn×n heißt hyperbolisch, falls
σ(A)∩ {z ∈C: Re(z) = 0}=∅.
Das Konzept des verallgemeinerten Eigenraums spielt f¨ur die folgende Definition eine wichtige Rolle. Dabei verwenden wir f¨ur die direkte Summe zweier Vektorr¨aume die
¨
ubliche Bezeichnung ⊕.
A.2 Definition. Sei A∈Cn×n eine beliebige Matrix. Dann heißen σs(A) := {µ∈σ(A) : Re(µ)<0} und Es := M
µ∈σs(A)
Eµ
das stabile Spektrum und der stabile Unterraum von A. Analog sind σu(A) :={µ∈σ(A) : Re(µ)>0} und Eu := M
µ∈σu(A)
Eµ
das instabile Spektrum und der instabile Unterraum vonA.
Als Konsequenz dieser Definition erhalten wir folgende beide Sachverhalte (vgl. z. B.
Proposition 2.1.20 in dem Buch von Kapitula und Promislow[37]):
• F¨ur eine MatrixA∈Cn×ngilt eAξEs/u ⊂Es/uf¨ur alleξ∈R; deswegen spricht man in diesem Zusammenhang auch von invarianten Unterr¨aumen.
• Falls A zus¨atzlich hyperbolisch ist, so gilt Cn =Es⊕Eu.
A.3 Definition. F¨ur A∈Cn×n heißt ein Vektor 06=y ∈Cn Linkseigenvektor von A, falls es ein µ∈C gibt mit
y∗A=µy∗.
A.4 Bemerkung. a) Ist(µ, y)ein Linkseigenpaar vonA, so ist(¯µ, y)ein Rechts-eigenpaar von A∗ und umgekehrt, denn es gilt
y∗A=µy∗ ⇔ A∗y= ¯µy.
b) Sind (λ, x) ein Rechts- und (µ, y) ein Linkseigenpaar vonA und gilt λ6=µ, so folgt
hx, yi=x∗y= 0, denn
(µ−λ)hy, xi=hµy, x¯ i − hy, λxi=hA∗y, xi − hy, Axi=hy, Axi − hy, Axi= 0
λ6=µ
⇒ hy, xi= 0 ⇒ hx, yi= 0.
c) Sei A∈Cn×n gegeben mit einem vollen Satz von Rechtseigenvektoren, d. h., es gibt eine Diagonalmatrix D (aus Eigenwerten von A) mit
R−1AR=D.
Dabei sind die Spalten von R die Rechtseigenvektoren von A. Schreiben wir dies um, so gilt
L∗A=DL∗,
mit L:= (R−1)∗. D. h., nach Definition bilden die Spalten von L einen vollen Satz von Linkseigenvektoren von A und es gilt
L∗R =R−1R=In.
Jetzt wollen wir uns kurz um die L¨osbarkeit der sogenanntenSylvester-Gleichung k¨ummern. Diese hat die Form
AX−XB =C
mit Matrizen A ∈ Cn×n, B ∈ Cm×m und C ∈ Cn×m. Dazu betrachten wir den linearen Operator
T :Cn×m →Cn×m, X 7→AX−XB.
A.5 Satz. Der lineare Operator T ist invertierbar genau dann, wenn σ(A)∩σ(B) =∅.
Ein Beweis dieses Satzes findet sich z. B. im Buch vonStewartund Sun(Theorem 1.3 auf Seite 222).[59]
Zum Schluss dieses Kapitels besch¨aftigen wir uns noch kurz mit demKronecker -Produkt zweier Matrizen.
A.6 Definition. F¨ur zwei MatrizenA ∈Rm×n und B ∈Rp×r heißt
A⊗B :=
a11B . . . a1nB ... . ..
am1B . . . amnB
∈Rmp×nr
das Kronecker-Produkt.
Wir fassen die wichtigsten Eigenschaften davon in folgendem Lemma zusammen.
Ein Beweis dazu ist z. B. in dem Buch von Steeb und Hardy[58] zu finden.
A.7 Lemma. Es gelten folgende Rechenregeln f¨ur das Kronecker-Produkt:
a) (A+B)⊗C =A⊗C+B⊗C, b) (AC)⊗(BD) = (A⊗B)(C⊗D), c) (A⊗B)T =AT ⊗BT.
d) Sind A, B quadratisch und invertierbar, so gilt (A⊗B)−1 =A−1⊗B−1.
B Parameterabh¨ angige Matrizen
In diesem Kapitel geht es um Matrizen A ∈ Cn×n, welche glatt von einem reellen oder komplexen Parameter abh¨angen.