Gegeben ist die Funktion

Prof. Dr. Lars Diening Robert Graf

Maximilian Wank 20.05.2014

Topologie und Differentialrechnung mehrerer Variablen Präsenzaufgaben 5

Aufgabe 1:

Gegeben ist die Funktion

f : R ² → R ² x 7→

2 1 0 2

x.

Skizzieren Sie das Vektorfeld von f .

Aufgabe 2:

Bestimmen Sie die Jacobi-Matrizen der folgenden Funktionen:

(a) f : R ² → R ³ , f(x) :=





sin(x 1 x ² ₂ ) e ^x

^+x

log(1 + |x| ² )



;

(b) g : R ³ → R ² , g(x) :=

x 1 x 2 x 3

arctan(x 1 x 2 )

.

Aufgabe 3:

Für eine partiell differenzierbare Funktion f : R ⁿ → R definieren wir die Divergenz durch

div f (x) :=

n

X

i=1

∂ i f (x)

und für g : R ³ → R ³ die Rotation durch

curl g := (∂ 2 g 3 − ∂ 3 g 2 )e 1 + (∂ 3 g 1 − ∂ 1 g 3 )e 2 + (∂ 1 g 2 − ∂ 2 g 1 )e 3

wobei e ₁ , e ₂ und e ₃ die Standardbasisvektoren des R ³ darstellen. Zeigen Sie für ein zweimal stetig partiell differenzierbares Vektorfeld h : R ³ → R ³ die Gleichung div(curl(h)) = 0.

Aufgabe 4:

Die Funktion f : R × (0, ∞) → R sei durch f (x 1 , x 2 ) := |x 1 | ^x

definiert. Bestimmen Sie, an welchen Punkten des Definitionsbereichs f differen-

zierbar ist und geben Sie dort die Jacobi-Matrix an.