L¨ohr/Winter Wintersemester 2010/11
Ubungen zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitstheorie II ¨
Ubungsblatt 4¨
Bedingte Dichten & ¨ Ubergangswahrscheinlichkeiten
Aufgabe 4.1 (bedingte Dichten).
(a) SeienX, Y Zufallsvariablen mit Werten in [0,1], deren gemeinsame Verteilung die Dichte f(x, y) =x+y besitzt. Bestimme die bedingte Dichte vonX gegebenY undE(X |Y).
(b) Seien X, Y unabh¨angig exponentialverteilt mit Parameter 1, also P(X > x) =e−x. Sei Z =X+Y. Berechne die bedingte Dichte vonX gegebenZ und E(X |Z).
Aufgabe 4.2 (Ubergangswahrscheinlichkeiten).¨ Sei K: R×B(R) → [0,1] eine ¨Uber- gangswahrscheinlichkeit von R nach R und µ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf R. Definiere WahrscheinlichkeitsmaßeµK auf Rund µ⊗K auf R2 durch
µK(B) = Z
K(x, B)µ(dx) und µ⊗K(A×B) = Z
A
K(x, B)µ(dx) f¨ur A, B ∈B(R). SeienX, Y ZV mit gemeinsamer Verteilungµ⊗K.
(a) Gib die Verteilung von X und die Verteilung vonY an.
(b) Gib die bedingte Verteilung von Y gegebenX an.
(c) Zeige: IstLeine weitere ¨Ubergangswahrscheinlichkeit vonRnachRmitµ⊗K =µ⊗L, so sind die Maße K(x,·) undL(x,·) µ-fast sicher gleich.
Aufgabe 4.3 (regul¨are bedingte Wahrscheinlichkeiten).
(a) Gib einen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,A,P) und eine Teil-σ-AlgebraF ⊆ Amit folgen- der Eigenschaft an: Es gibt zwei regul¨are Versionen der Bedingten Wahrscheinlichkeit ge- gebenF, die nirgends auf Ω ¨ubereinstimmen. Finde also ¨Ubergangswahrscheinlichkeiten K, LmitK(ω, A) =P(A| F)(ω) =L(ω, A) f.s. f¨ur alleA∈ A, aberK(ω, ·)6=L(ω,·) f¨ur alleω ∈Ω.
Hinweis: Setze Ω = [0,1], A ={A⊆Ω |A abz¨ahlbar oder Ω\A abz¨ahlbar} und F = A. Nat¨urlich sollte P nicht diskret sein.
(b) SeiAabz¨ahlbar erzeut. Eine regul¨are Version der bedingten Wahrscheinlichkeit gegeben F (deren Existenz wir voraussetzen) heisstproper, falls
P(F | F)(ω) = 1 ∀ω ∈F ∈ F (1)
und fast proper, falls (1) fast sicher gilt, also immer wenn ω 6∈N f¨ur eine Nullmenge N die nicht vonF abh¨angen darf.
Zeige: Ist F abz¨ahlbar erzeugt, so istP(· | F) fast proper.
Bemerkung: Ist F nicht abz¨ahlbar erzeugt, so kann man zeigen, dass P(· | F) nicht proper ist.
Abgabe: Di, 16.11. in der ¨Ubungsstunde
Arbeitsgruppenvortr¨age:
Am 16.11.gibt Monika Meise einen Vortrag.
Hierzu ergeht eine herzliche Einladung. Zeit: 16.00 – 17.00. Raum: S05 T03 B72
