L¨ohr/Winter Wintersemester 2015/16
Ubungen zur Vorlesung ¨ Wahrscheinlichkeitstheorie II
Ubungsblatt 2¨
Schwache Konvergenz
Aufgabe 2.1. (4 Punkte)
Seien X, Xn Zufallsvariablen mit Werten in einem metrischen Raum (E, d). Wir nehmen an, dass Xn stochastisch gegen X konvergiert. Zeige, dass es dann eine Teilfolge von (Xn)n∈N
gibt, die fast sicher gegenX konvergiert.
Hinweis:Verwende das Lemma von Borel-Cantelli.
Aufgabe 2.2 (Schwache Konvergenz auf diskreten R¨aumen). (4 Punkte) Seien µ, µn, n ∈N, Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf N(mit diskreter Topologie). Zeige, dass die folgenden Aussagen ¨aquivalent sind:
(a) (µn)n∈Nkonvergiert schwach gegen µ.
(b) µn(A) −→
n→∞
µ(A) f¨ur jede (messbare) MengeA⊆N.
Bemerkung: Diese Konvergenz heißt mengenweise Konvergenz oder starke Kon- vergenz.
(c) supA⊆Nµn(A)−µ(A) −→
n→∞
0.
Bemerkung: Diese Konvergenz heißt Variationskonvergenz.
Aufgabe 2.3 (Skalierungslimes geometrischer Verteilungen). (4 Punkte) Sei c >0 und Xn geometrisch verteilt mit Parameter pn := min{nc,1}. Betrachte die ska- lierten Zufallsvariablen Yn := Xn
n .
(a) Zeige, dass die Yn in Verteilung gegen eine Zufallsvariable Y konvergieren, wobei Y exponentialverteilt ist, mit Parameter c.
(b) Konvergieren die Verteilungen auch mengenweise, also PYn(A) −→
n→∞ PY(A) f¨ur alleA∈ B(R)?
Bitte wenden!
Zur Erinnerung: Seien (Ei,Ei) messbare R¨aume. Ein Markov-KernK von E1 nach E2 ist eine AbbildungK:E1× E2 →[0,1] mit
(a) F¨ur allex∈E1 ist K(x,·) ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf (E2,E2).
(b) F¨ur alleA∈ E2 istK(·, A) eine messbare Funktion auf (E1,E1).
Aufgabe 2.4 (stetige Kerne). (4 Punkte)
Seien Ei, i = 1,2 polnische R¨aume, K ein Markov-Kern von E1 nach E2. F¨ur ein Wahr- scheinlichkeitsmaß µ auf E1 definieren wir das Wahrscheinlichkeitsmaß µK auf E2 wie in Aufgabe 12.4 aus dem ersten Teil der Vorlesung, also
µK(A) :=
Z
K(x, A)µ(dx) ∀A∈ B(E1).
Ferner definieren wir f¨ur jede beschr¨ankte, messbare Funktion f:E2 → R eine Funktion Kf:E1 →Rdurch
Kf(x) :=
Z
f(y)K(x,dy) ∀x∈E1.
Wir versehenM1(Ei),i= 1,2, jeweils mit der schwachen Topologie. Zeige, dass die folgenden Bedingungen ¨aquivalent sind:
(a) Die Funktion E1 → M1(E2), x 7→ K(x,·) ist stetig (also xn → x in E1 impliziert K(xn,·)⇒K(x,·)).
(b) Die Funktion M1(E1)→ M1(E2), µ7→µK ist stetig.
(c) F¨ur allef ∈ Cb(E2) gilt Kf ∈ Cb(E1).
Bemerkung:Ein Markov-Kern, der diese Bedingungen erf¨ullt heißt stetig.
Hinweis:Zeige zun¨achst verm¨oge algebraischer Induktion: Kf ist messbar und Rfd(µK) =R
Kfdµ.
Abgabe Mi, 4.11. am Anfang der ¨Ubungsstunde
Arbeitsgruppenvortr¨age:
Am 3.11.gibt Leif D¨oring (University of Mannheim) einen Vortrag.
Hierzu ergeht eine herzliche Einladung. Di, 16:15 – 17:15in WSC-S-U-3.03
