L¨ohr/Winter Wintersemester 2011/12
Ubungen zur Vorlesung ¨ Wahrscheinlichkeitstheorie II
Ubungsblatt 7¨
Optional Sampling
Aufgabe 7.1. (6 Punkte)
Seien Xk,k∈N, unabh¨angige, auf{ −1,1} gleichverteilte Zufallsvariablen, Sn:=Pn
k=1Xk. F¨ur a, b∈Ndefiniere T =Tab:= inf{n∈N|Sn=a oderSn=−b}. Zeige:
(a) T is eine f.s. endliche Stoppzeit.
(b) P {ST =a}
= b
a+b.
Aufgabe 7.2. (7 Punkte)
Seien Xk,Sn,a,bund Tab wie in Aufgabe 7.1. SeiTa:= inf{n∈N|Sn=a}.
(a) Berechne E(Tab).
Hinweis: Benutze die Doob-Zerlegung von (Sn2)n∈N
(b) Zeige, dass Ta eine f.s. endliche Stoppzeit ist und berechneE(Ta).
Aufgabe 7.3 (Gegenbeispiel). (3 Punkte)
Finde ein Martingal (Mn)n∈N und eine Folge von Stoppzeiten T1 ≤ T2 ≤ · · ·, so dass P {Tn<∞ }
= 1 f¨ur allenund
E(MTn) n−→ ∞.→∞
Insbesondere ist MTn
n∈Ndann kein Martingal.
Abgabe bis Di, 06.12. am Anfang der ¨Ubungsstunde
Arbeitsgruppenvortr¨age:
Am 06.12.gibt Roman Berezin (Technion - Haifa) einen Vortrag.
Hierzu ergeht eine herzliche Einladung. Zeit: Di, 16.15 – 17.15. Raum: T03 R04 D10
