L¨ohr/Winter Wintersemester 2015/16
Ubungen zur Vorlesung ¨ Wahrscheinlichkeitstheorie II
Ubungsblatt 12¨
Brownsche Bewegung II
Sei (Bt)t≥0 eine standard Brownsche Bewegung.
Aufgabe 12.1 (Quadratvariation der Brownschen Bewegung).
Seit >0,tn,k:=tk2−n, und ∆n,k:=Btn,k −Btn,k−1 (n∈N,k= 1, . . . ,2n). Beweise
2n
X
k=1
∆2n,k → t f.s. und in L2.
Hinweis:Zeige zun¨achst die L2-Konvergenz. Verwende dann Borel-Cantelli um die fast si- chere Konvergenz zu erhalten
Bemerkung:Man kann zeigen, dass die klassiche Quadratvariation eines Brownschen Pfades (definiert als Supremum ¨uber alle endlichen Zerlegungen von [0, t]) f.s. unendlich ist.
Das Optional-Stopping Theorem gilt auch f¨ur stetige Martingale in stetiger Zeit: Ist (Xt)t≥0
ein Martingal mit stetigen Pfaden undτ eine Stoppzeit, so ist auch (Xτ∧t)t≥0 ein Martingal.
Dies darf im Folgenden verwendet werden.
Aufgabe 12.2 (Brownsche Bewegung und optional sampling).
(a) Sei a <0,b >0 und τ := inf t≥0
Bt∈ {a, b} . BerechneP {Bτ =b} . (b) Sei τ wie in (a). Berechne E(τ).
(c) Sei nun τb = inf{t≥0|Bt=b}. Zeige, dass E e−sτb
= e−b√2s ∀s≥0.
Hinweis: Verwende, dass analog zu Aufgabe 11.1 (exBt−12x2t)t≥0 ein Martingal ist.
Aufgabe 12.3.
Zeige: limt→01tBt= 0 f.s.
Hinweis: Verwende das Spiegelungsprinzip und die Markoveigenschaft.
Bitte wenden!
Satz von Donsker: Sei C [0,1]
der Raum der stetigen Abbildungen von [0,1] nach R, versehen mit der Supremumsnorm. Seien Y1, Y2, . . . unabh¨angige, identisch verteilte Zufalls- variablen mit E(X1) = 0, Var(X1) =σ2, 0< σ2 <∞. F¨ur t∈[0,1] sei
Stn:=
P⌊nt⌋ i=1 Yi
√σ2n . Dann gilt
(Stn)t∈[0,1] n=→∞⇒ (Bt)t∈[0,1], im Sinne der schwachen Konvergenz auf dem RaumC [0,1]
. Aufgabe 12.4 (Donsker f¨ur die Brownsche Br¨ucke).
Seien U1, U2, . . . unabh¨angig und gleichverteilt auf [−1,1], und f¨ur n∈N
Zt(n) := (1− nt)
⌊t⌋
X
k=1
Uk−nt n
X
k=⌊t⌋+1
Uk+ t− ⌊t⌋ U⌊t⌋+1.
Zeige, dass
q3 nZnt(n)
t∈[0,1]
n=→∞⇒ (Xt)t∈[0,1],
wobei (Xt)t≥0 eine Brownsche Br¨ucke und die Konvergenz die schwache Konvergenz auf dem PfadraumC [0,1]
ist.
Hinweis:Verwende Donsker und eine geeignete Abbildung F:C [0,1]
→ C [0,1]
.
Das Blatt wird am 03.02. in der ¨Ubung besprochen, braucht aber nicht abgegeben zu werden und wird nicht korrigiert.
Arbeitsgruppenvortr¨age:
Am 26.01.gibt Mihail Zervos (London School of Economics) einen Vortrag.
Am02.02. gibt Georgiy Shevchenko (Taras Shevchenko University Kiev) einen Vortrag ¨uber Fine integral representations through small deviations of quadratic variation
Hierzu ergeht eine herzliche Einladung.Di, 16:15 – 17:15in WSC-S-U-3.03
