L¨ohr/Winter Wintersemester 2011/12
Ubungen zur Vorlesung ¨ Wahrscheinlichkeitstheorie II
Ubungsblatt 11¨
Brownsche Bewegung
Sei (Bt)t≥0 eine standard Brownsche Bewegung.
Aufgabe 11.1 (Eigenschaften der Brownschen Bewegung). (6 Punkte) (a) Berechne E(Bt1Bt2Bt3) f¨ur 0≤t1≤t2 ≤t3.
(b) Berechne f¨ur s >0 Erwartungswert und Varianz von Ms :=
Z s
0
Btdt.
(c) Zeige: λ {t|Bt= 0}
= 0 f.s., wobei λdas Lebesgue-Maß aufR ist.
Hinweis: (t, ω)7→Bt(ω) darf als messbar angenommen werden.
Aufgabe 11.2 (Folgerung aus der Skalierungseigenschaft). (4 Punkte) SeiK, ε >0. Zeige
P {Bt≤Kt ∀t≤ε}
= 0.
Aufgabe 11.3. (6 Punkte)
Seit >0,tn,k:=tk2−n, und ∆n,k:=Btn,k −Btn,k−1 (n∈N,k= 1, . . . ,2n). Beweise
2n
X
k=1
∆2n,k → t f.s. und in L2.
Hinweis: Zeige, dass die Varianz der linken Seite schnell genug gegen 0 konvergiert und verwende Borel Cantelli um die fast sichere Konvergenz zu erhalten.
Abgabe bis Di, 17.01. am Anfang der ¨Ubungsstunde
Arbeitsgruppenvortr¨age:
Am 10.01. (heute)gibt Guillaume Voisin (Universit¨at Duisburg-Essen) einen Vortrag ¨uber Pruning of a L´evy tree, on nodes and skeleton
Abstract: I consider a general L´evy tree. I construct a pruning procedure on the infinity nodes and on the skeleton of the L´evy tree such that the remaining subtrees are still L´evy trees. Then by cutting more and more the tree by the same procedure, we obtain a family of L´evy trees which are smaller and smaller, it is a fragmentation process. We can have some properties of this process but a complete characterization is still open.
Am 17.01.gibt Peter Seidel (Universit¨at Erlangen) einen Vortrag ¨uber
The spatial Moran model with mutation carrying the family structure Hierzu ergeht eine herzliche Einladung. Zeit: Di, 16.15 – 17.15. Raum: T03 R04 D10
