L¨ohr/Winter Wintersemester 2012/13
Ubungen zur Vorlesung ¨ Wahrscheinlichkeitstheorie II
Ubungsblatt 10¨
Brownsche Bewegung
Sei (Bt)t≥0 eine standard Brownsche Bewegung.
Aufgabe 10.1 (Konsistenz der endlichdimensionalen Verteilungen). (4 Punkte) Rechne nach, dass die endlichdimensionalen Verteilungen der Brownschen Bewegung konsis- tent sind (eine projektive Familie bilden).
Aufgabe 10.2. (3 Punkte)
(a) Berechne E(Bt1Bt2Bt3) f¨ur 0≤t1≤t2 ≤t3.
(b) Sei Xt := Bt−tB1 die Brownsche Br¨ucke. Zeige, dass Xs und Xu f¨ur s < 1 < u unabh¨angig sind.
Aufgabe 10.3 (Anwendungen von Fubini auf die BB). (5 Punkte) (a) Zeige: λ {t|Bt= 0}
= 0 f.s., wobei λdas Lebesgue-Maß aufR ist.
Hinweis: (t, ω)7→Bt(ω) darf ohne Beweis als messbar angenommen werden.
(b) Berechne f¨ur s >0 Erwartungswert und Varianz von Ms :=
Z s
0
Btdt.
Aufgabe 10.4 (Folgerung aus der Skalierungseigenschaft). (4 Punkte) SeiK, ε >0. Zeige
P {Bt≤Kt ∀t≤ε}
= 0.
Abgabe bis Di, 15.01. am Anfang der ¨Ubungsstunde
Arbeitsgruppenvortr¨age:
Am 15.01.gibt Alexander Schnurr (Universit¨at Dortmund) einen Vortrag ¨uber Quo vadis symbol (et ubi venis)?
Hierzu ergeht eine herzliche Einladung. Zeit:Di, 16.00 – 17.00. Raum: WSC-N-U-4.04
