L¨ohr/Winter Wintersemester 2010/11
Ubungen zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitstheorie II ¨
Ubungsblatt 10¨
Brownsche Bewegung
SeiB = (Bt)t≥0 eine standard Brownsche Bewegung.
Aufgabe 10.1. SeiX:= (Xn)n∈Nein stochastischer Prozess mit Werten in einem messbaren Raum (E,E) und (Fn)n∈Ndie zugeh¨orige Filtration. Zeige dass es f¨ur A∈ F :=σ S
n∈NFn
eine FolgeAn∈ Fnmit
nlim→∞P(An△A) = 0
gibt. Dabei istAn△A= (An\A)∪(A\An) die symmetrische Differenz.
Aufgabe 10.2. Sei (Xk) Folge unabh¨angig, identisch verteilter {−1,1}-wertiger ZV. Setze Sn=Pn
k=1Xk. Zeige, dass die folgenden Bedingungen ¨aquivalent sind:
(a) p := P(X1 = 1) = 12 (b) lim sup
n→∞
Sn = −lim inf
n→∞ Sn = ∞ f.s.
(c) f.s. ∃n∈N:Sn = 0.
(d) f.s. ist die Menge {n∈N|Sn= 0} unendlich.
(e) F¨ur dieGreens Funktion G(x) :=P
n∈NP(Sn=x) gilt: G(0) = ∞.
Aufgabe 10.3 (Eigenschaften der Brownschen Bewegung).
(a) Zeige, dass die endlichdimensionalen Verteilungen der Brownschen Bewegung konsis- tent sind (eine projektive Familie bilden) und somit verm¨oge des Kolmogorov’schen Fortsetzungssatzes tats¨achlich einen stochastischen Prozess definieren.
(b) Berechne E(Bt1Bt2Bt3) f¨ur 0≤t1 ≤t2≤t3.
(c) Berechne f¨ur s >0 Erwartungswert und Varianz von Ms :=
Z s
0
Btdt.
(d) Zeige: λ {t|Bt= 0}
= 0 f.s., wobei λdas Lebesgue-Maß aufR ist.
Hinweis: (t, ω)7→Bt(ω) darf als messbar angenommen werden.
Aufgabe 10.4 (Folgerung aus der Skalierungseigenschaft). SeiK, ε >0. Zeige P Bt≤Kt ∀t < ε
= 0.
Frohe Weihnachten und ein gutes neues Jahr!
