L¨ohr/Winter Wintersemester 2011/12
Ubungen zur Vorlesung ¨ Wahrscheinlichkeitstheorie II
Ubungsblatt 9¨
Martingalkonvergenzsatz
Aufgabe 9.1 (Wald’sche Identit¨at f¨ur Stoppzeiten). (4 Punkte) Seien X1, X2, . . . unabh¨angig, identisch verteilte, integrierbare Zufallsvariable und T eine in- tegrierbare Stoppzeit (bezgl. der kanonischen Filtration). Zeige f¨ur Sn:=Pn
k=1Xk: (a) E(ST) = E(X1)E(T)
(b) Ist X1 quadratintegrierbar mitE(X1) = 0, so gilt Var(ST) = Var(X1)E(T).
Aufgabe 9.2. (5 Punkte)
Sei X := (Xn)n∈N ein stochastischer Prozess mit Werten in einem messbaren Raum (E,E) und (Fn)n∈N die zugeh¨orige Filtration. Zeige dass es f¨ur A ∈ F := σ S
n∈NFn
eine Folge An∈ Fn mit
nlim→∞P(An△A) = 0
gibt. Dabei ist An△A= (An\A)∪(A\An) die symmetrische Differenz.
Aufgabe 9.3. (7 Punkte)
(a) Sei (Xn)n∈Nein Martingal mit Xn+1 ≥Xn−af¨ur eina∈R. Zeige:
B :=
lim sup
n→∞
Xn=∞ ⊆ lim inf
n→∞ Xn=−∞ =: C modulo P, also P(B\C) = 0.
(b) Seien Xn, n ∈ N, unabh¨angig mit P {Xn=−1}
= nn+1 und P {Xn=n}
= n+11 . Zeige, dass f¨ur Sn:=Pn
k=1Xk gilt:
P {lim sup
n→∞
Sn=∞ }
= P {lim inf
n→∞ Sn=−∞ }
= 1.
(c) Finde ein Martingal (Mn)n∈N mitMn n→∞−→ ∞ f.s.
Abgabe bis Di, 20.12. am Anfang der ¨Ubungsstunde
Arbeitsgruppenvortr¨age:
Am13.12. (heute)gibt Guillaume Voisin (Universit¨at Duisburg-Essen) einen Vortrag ¨uber Pruning of a L´evy tree, on nodes and skeleton
Abstract: L´evy trees are random continuous trees defined by a functional of a L´evy process : the so- called height process. They also can be viewed as limited objects of Galton-Watson trees. I consider a general L´evy tree and I construct a pruning procedure on the infinite nodes and on the skeleton of the tree using some snakes. Then I prove that the pruned tree is again a L´evy tree defined by an explicit L´evy process. This procedure has already been studied for other cases : Brownian tree (Abraham &
Serlet, 2004), L´evy without brownian part (Abraham & Delmas, 2008). There is also some related results on Galton-Watson trees : Aldous & Pitman (1998) or Abraham & Delmas & Hui (2011). (This is a joint work with Abraham & Delmas, 2011)
Hierzu ergeht eine herzliche Einladung. Zeit: Di, 16.15 – 17.15. Raum: T03 R04 D10 Am 20.12.gibt Lisa Beck (Universit¨at Bonn) einen Vortrag. Die Uhrzeit wird noch bekannt gegeben.
Am 20.12. findet ab 16.00 eine stochastische Weihnachtsfeier statt. Der Ort wird noch bekannt gegeben.
