L¨ohr/Winter Wintersemester 2011/12
Ubungen zur Vorlesung ¨ Wahrscheinlichkeitstheorie II
Ubungsblatt 1¨
Radon-Nikodym Ableitungen
Aufgabe 1.1 (Rechenregeln f¨ur Radon-Nikodym Ableitungen). (4 Punkte) Sei (Ω,A) ein messbarer Raum und ν, µ, α endliche Maße auf (Ω,A) mit ν ≪µ≪α.
(a) Zeige, dass die Kettenregel f¨ur die Radon-Nikodym-Ableitung gilt:
dν dα = dν
dµ ·dµ
dα α-fast sicher (f.s.)
(b) Es sei f := dνdµ und es gelte zus¨atzlichµ≪ν, alsoµ≡ν. Zeige, dass dµdν = f1 µ-f.s.
(c) Zeige, dassf := d(µ+ν)dν existiert und dr¨ucke dνdµ mit Hilfe vonf aus.
Aufgabe 1.2 (einfache Beispiele). (4 Punkte)
(a) Ein Laplace-W¨urfel mit Werten 1 bis 6 werde 2-mal unabh¨angig geworfen. Sei P die Verteilung des Minimums, und Qdie des Maximums der beiden W¨urfe. Bestimme dPdQ. (b) Sei λ das Lebesguemaß auf [0,1], f(x) := x2, und P das Bildmaß von λunter f, also
P(A) :=λ f−1(A)
f¨ur A∈ B [0,1]
. Berechne dPdλ.
Aufgabe 1.3 (Gegenbeispiel). (4 Punkte)
Sei wieder λdas Lebesguemaß auf [0,1]. Finde WahrscheinlichkeitsmaßePn≪λ,n∈N, mit folgender Eigenschaft. (Pn)n∈Nkonvergiert schwach gegen ein WahrscheinlichkeitsmaßP, und fn:= dPdλn konvergiert fast sicher gegen eine Funktionf: [0,1]→R+, aber dPdλ existiert nicht.
Aufgabe 1.4 (Lebesgue-singul¨ares Maß ohne Atome). (4 Punkte) Betrachte [0,1] mit Lebesguemaßλsowie die GleichverteilungP auf der Cantormenge (siehe Aufgabe 9.4 aus WT-I), d.h.P ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf [0,1] mit
P(A) = 12P h−11 (A)
+12P h−12 (A)
∀A∈ B [0,1]
f¨ur h1, h2: [0,1]→[0,1], h1(x) = x3 und h2(x) = x+23 .
(a) Zeige, dassP keinen zuλabsolut stetigen Anteil hat, also P ⊥λ.
(b) Zeige, dass P keine Atome hat, alsoP {x}
= 0 f¨ur allex∈[0,1] gilt.
Hinweis:Nimm an, es gibt ein Atom. Iteration mith1,h2f¨uhrt dann zum Widerspruch.
Abgabe bis Di, 18.10. am Anfang der ¨Ubungsstunde
Arbeitsgruppenvortr¨age:
Am 18.10.gibt Anton Klimovsky (Universit¨at Eindhoven) einen Vortrag ¨uber Rather conventional Gaussian random fields in the light of spin glasses Hierzu ergeht eine herzliche Einladung. Zeit:Di, 16.15 – 17.15. Raum: T03 R04 D10
