L¨ohr/Winter Wintersemester 2012/13
Ubungen zur Vorlesung ¨ Wahrscheinlichkeitstheorie II
Ubungsblatt 1¨
Radon-Nikodym Ableitungen
Aufgabe 1.1 (Rechenregeln f¨ur Radon-Nikodym Ableitungen). (4 Punkte) Sei (Ω,A) ein messbarer Raum und ν, µ, α endliche Maße auf (Ω,A) mit ν ≪µ≪α.
(a) Zeige, dass die Kettenregel f¨ur die Radon-Nikodym-Ableitung gilt:
dν dα = dν
dµ ·dµ
dα α-fast sicher (f.s.)
(b) Es sei f := dνdµ und es gelte zus¨atzlichµ≪ν, alsoµ≡ν. Zeige, dass dµdν = f1 µ-f.s.
(c) Zeige, dassf := d(µ+ν)dν existiert und dr¨ucke dνdµ mit Hilfe vonf aus.
Aufgabe 1.2 (einfache Beispiele). (4 Punkte)
(a) Ein Laplace-W¨urfel mit Werten 1 bis 6 werde 2-mal unabh¨angig geworfen. Sei P die Verteilung des Minimums, und Qdie des Maximums der beiden W¨urfe. Bestimme dPdQ. (b) Sei λ das Lebesguemaß auf [0,1], f(x) := x2, und P das Bildmaß von λunter f, also
P(A) :=λ f−1(A)
f¨ur A∈ B [0,1]
. Berechne dPdλ.
Aufgabe 1.3 (Gegenbeispiel). (4 Punkte)
Sei wieder λdas Lebesguemaß auf [0,1]. Finde WahrscheinlichkeitsmaßePn≪λ,n∈N, mit folgender Eigenschaft. (Pn)n∈Nkonvergiert schwach gegen ein WahrscheinlichkeitsmaßP, und fn:= dPdλn konvergiert fast sicher gegen eine Funktionf: [0,1]→R+, aber dPdλ existiert nicht.
Aufgabe 1.4 (Lebesgue-singul¨ares Maß ohne Atome). (4 Punkte) Betrachte [0,1] mit Lebesguemaßλ, sowie die GleichverteilungP auf der Cantormenge, d.h.
P ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf [0,1] mit P(A) = 12P h−11(A)
+12P h−21(A)
∀A∈ B [0,1]
f¨ur h1, h2: [0,1]→[0,1], h1(x) = x3 und h2(x) = x+23 .
(a) Zeige, dassP keinen zuλabsolut stetigen Anteil hat, also P ⊥λ.
(b) Zeige, dass P keine Atome hat, alsoP {x}
= 0 f¨ur allex∈[0,1] gilt.
Hinweis:Nimm an, es gibt ein Atom. Iteration mith1,h2f¨uhrt dann zum Widerspruch.
Abgabe bis Di, 30.10. am Anfang der ¨Ubungsstunde
Arbeitsgruppenvortr¨age:
Am 23.10.gibt Johannes Fiedler (Universit¨at Duisburg-Essen) einen Vortrag ¨uber Occupation time large deviations for branching Brownian motion and super-Brownian
motion inR3
Abstract: We derive a large deviation principle (LDP) for the occupation time functional. In 1993, Ian Iscoe and Tzong-Yow Lee already proved such an LDP for test functions whose Lebesgue integral over the space R3 is different from zero. However, if this integral is equal to zero, the LDP does not yield much information. Therefore, Jean-Dominique Deuschel and Jay Rosen dealt with this problem in 1997. They found out that the occupation time functional has to be multiplied by the fourth root of the time parameter in order to get a reasonable statement about the long-time behaviour. This quantity fulfills an LDP which depends on the structure of the test function.
Am 30.10.gibt Anita Winter (Universit¨at Duisburg-Essen) einen Vortrag.
Hierzu ergeht eine herzliche Einladung. Zeit: Di, 16.00 – 17.00. Raum: WSC-N-U-4.04
