L¨ohr/Winter Sommersemester 2014
Ubungen zur Vorlesung ¨ Wahrscheinlichkeitstheorie I
Ubungsblatt 11¨
Radon-Nikodym & Bedingte Erwartung
Aufgabe 11.1 (Rechenregeln f¨ur Radon-Nikodym Ableitungen). (4 Punkte) Sei (Ω,A) ein messbarer Raum und ν, µ, α endliche Maße auf (Ω,A) mit ν ≪µ≪α.
(a) Zeige, dass die Kettenregel f¨ur die Radon-Nikodym-Ableitung gilt:
dν dα = dν
dµ ·dµ
dα α-fast sicher (f.s.)
(b) Es sei f := dνdµ und es gelte zus¨atzlichµ≪ν, alsoµ≡ν. Zeige, dass dµdν = f1 µ-f.s.
(c) Zeige, dassf := d(µ+ν)dν existiert und dr¨ucke dνdµ mit Hilfe vonf aus.
Aufgabe 11.2 (einfache Radon-Nikodym Ableitungen). (4 Punkte) (a) Ein Laplace-W¨urfel mit Werten 1 bis 6 werde 2-mal unabh¨angig geworfen. Sei P die Verteilung des Minimums, und Qdie des Maximums der beiden W¨urfe. Bestimme dPdQ. (b) Sei λ das Lebesguemaß auf [0,1], f(x) := x2, und P das Bildmaß von λunter f, also
P(A) :=λ f−1(A)
f¨ur A∈ B [0,1]
. Berechne dPdλ.
Aufgabe 11.3 (Beispiele bedingter Erwartungen). (4 Punkte) (a) Seien X,Y unabh¨angig und exponentialverteilt zum Parameter 2.
Berechne E(eX+eY |X).
(b) Seien X,Y unabh¨angig und auf [0,1] gleichverteilt, sowieM = max(X, Y). Zeige, dass E(X|M) = 34M.
Hinweis: Berechne zun¨achst die Dichtefunktion von M.
(c) Seien U, V unabh¨angig und auf [0,1] gleichverteilt. BerechneE(UV |U).
Bitte wenden!
Aufgabe 11.4 (Eigenschaften bedingter Erwartungen). (4 Punkte) Seien X undY quadratintegrierbar.
(a) Zeige: E XE(Y | F)
= E E(X| F)Y f.s.
(b) Wir interpretieren E(X | F) als Sch¨atzung von X bei Kenntnis von F. Zeige, dass sich der quadratische Fehler beim schrittweisen Bedingen auf ineinander enthaltene σ-Algebren, F ⊆ G, im folgenden Sinne additiv verh¨alt:
E(X| F)−X
2 2 =
E(X | G)−X
2 2 +
E(X| F)−E(X| G)
2 2.
Wie immer ist dabeikXk22 :=E(X2). Insbesondere ist also der Fehler bei Vorliegen von mehr Information (G) kleiner, als wenn weniger Information (F) verf¨ugbar ist.
Abgabe bis Di, 08.07. am Anfang der ¨Ubungsstunde
Arbeitsgruppenvortr¨age:
Am 01.07.gibt Jonas T¨olle (Universit¨at Bielefeld) einen Vortrag ¨uber Stochastic singular evolution equations
Abstract: We consider stochastic evolution equations with monotone drift operators of linear grow- th, which minimize a singular convex potential, and general additive c`adl`ag noise or Lipschitz-type multiplicative Gaussian noise. We discuss general existence and uniqueness results encompassing the situation of set-valued drift operators as the 1-Laplace operator (total variation (TV) flow) and the sign fast diffusion in all space dimensions. Singular quasi-linear operators as the minimal surface flow and thep-Laplacian on a domain,p∈[1,2], are included. For additive Gaussian noise, we prove the Markov property for generalized solutions and provide new ergodicity results for the associated semi- groups, especially for the 2D-logarithmic fast diffusion and the TV-flow. Stability results for solutions and convergence of invariant distributions are proved.
joint work with Benjamin Gess, Chicago
Am08.07.gibt Stephen Tate (Ruhr-Universit¨at Bochum) einen Vortrag.
Hierzu ergeht eine herzliche Einladung. Zeit:Di, 16:15 – 17:15. Raum: WSC-S-U-4.01
