Wolfgang L¨ohr Sommersemester 2018
Ubungen zur Vorlesung ¨ Stochastik
Ubungsblatt 11¨
Bedingte Erwartung & bedingte Dichte
Aufgabe 11.1 (Beispiele bedingter Erwartungen). (4 Punkte) (a) SeiXstandardnormalverteilt undY eineR-wertige Zufallsvariable mitE(Y |X) =−X.
Berechnen Sie E(Y).
(b) SeienX,Y unabh¨angig, exponentialverteilt zum Parameter 2. Berechnen SieE(eX+eY |X).
(c) Seien X, Y unabh¨angig, gleichverteilt auf [0,1]. Berechnen SieE(X |X+Y).
Aufgabe 11.2 (mehr Beispiele bedingter Erwartungen). (4 Punkte) (a) Seien U, V unabh¨angig und auf [0,1] gleichverteilt. Berechnen Sie E √
U +V
U
. (b) Seien X1, X2 unabh¨angig und exponentialverteilt zum Parameter 1, sowieY =X1∧X2
das Minimum der beiden Werte. Berechnen Sie E(Y |X1).
Aufgabe 11.3 (Markov-Kerne & bedingte Verteilung). (4 Punkte) Sei E ein polnischer Raum, K:E× B(E)→[0,1] eine Markov-Kern, und µein Wahrschein- lichkeitsmaß aufE. SeienX, Y Zufallsvariablen mit gemeinsamer VerteilungL(X, Y) =µ⊗K.
(a) Geben Sie die bedingte Verteilung L(Y |X) von Y gegebenX an.
(b) Zeigen Sie: Ist L ein weiterer Markov-Kern von E nach E mitµ⊗K =µ⊗L, so sind die Maße K(x, ·) undL(x,·) f¨ur µ-fast alle x∈E gleich.
Aufgabe 11.4 (bedingte Dichten). (4 Punkte)
(a) SeienX, Y Zufallsvariablen mit Werten in [0,1], deren gemeinsame Verteilung die Dichte f(x, y) = x+y besitzt. Bestimmen Sie die bedingte Dichte von X gegeben Y, sowie E(X |Y).
(b) SeienX, Y unabh¨angig exponentialverteilt mit Parameter 1, undZ :=X+Y. Berechnen Sie die bedingte Dichte vonX gegebenZ, sowie E(X|Z).
Abgabe Mi, 20.06.2018 in der ¨Ubung
